专题九 考点四 抛物线和曲线与方程-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

考点四抛物线和曲线与方程 一、选择题 1.(2026·全国I卷，5)已知抛物线C1:y2=2p1x（p1>0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经过点 (4,8),则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为 () A.12 B.4√5 C.6 D.65 2 整 2.(多选)(2026·全国Ⅱ卷，11)已知抛物线E:y2=8x,有一斜率为k(k>0)的直线1经过点 (一1,0)，等边三角形ABC的顶点A在E上，顶点B,C均在1上.下列结论正确的有() 斯 A.E的准线方程为x=一2 B.若L与E没有公共点，则k>√2 C.若1与E的唯一公共点为B,则E的焦点在直线AB上 D,若大=2，则△ABC面积的最小值为令 杯 3.(2025·全国二卷，6)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过点A作C的准 线的垂线，垂足为B,若直线BF的方程为y=一2x十2，则|AF|= () A.3 B.4 C.5 D.6 4.(多选)(2025·全国一卷，10)设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线交C于A、B两点， 如 过A作直线1：x= 多的垂线，垂足为D,过F作垂直于AB的直线交1于E,则 ( 御 A.AD-AFI B.AEI=ABI C.|AB|≥6 D.|AE·IBE≥18 5.(多选)(2024·新课标I卷，11)设计一条美丽的丝带，其造型“ ○”可以做成美丽的丝带，将 器 其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O,且C上的点满足：横坐标大于一2，到点 F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则 61 A.a=-2 B.点(2√2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 n当点)在C上时≤2 6.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，10)抛物线C:y=4x的准线为l,P为C上的动点.过P作⊙A: x2十(y一4)2=1的一条切线，Q为切点.过P作1的垂线，垂足为B.则 ( ) A.1与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，|PQ=√J15 C.当|PB|=2时，PA⊥AB D.满足|PA|=|PB的点P有且仅有2个 二、填空题 7.(2026·天津卷，15)在平面内，O为坐标原点，抛物线y=2x上有A,B,C,D四个点，A,B,C, D的纵坐标分别为yAyB,yC,yD,直线AB、直线CD交x轴于点P,AC交x轴于点M,BD交 x轴于点N,以下说法正确的有 ①若M与抛物线焦点重合，则yAyB=一2； ②yA·yB=yc·yD ③|OMION|=2|OP|2; lyA-ycIIOPI=l-ypIOMI; ⑤SAr 1OM)2 S△BDP 8.(2025·北京卷，11)抛物线y=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= 9.(2024·北京卷，11)已知抛物线y2=16x,则焦点坐标为 10.(2024·上海卷，7)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距 离为 11.(2024·天津卷，12)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合，A为 两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为 62所以b2= 又m≠是，所以6≠，10 1062 3 3 36+1得6≠3， 所以∈03U(3,]又b>0, 数的取位花周是05U〔原，) 考点四 1.D由64=8p1得p1=8,由16=16p2得2 1.周为扩=2px的焦点为（台0）=2py 的焦点为(0，号)，所以两焦点为C(4,0 c(o,》cl+()-n 2 2.ABDA选项：由y2=8.x得2p=8即p=4,准 线方程为x=一2，A正确；B选项：由题意可知 直线l的方程为y=k(x十1)，与y2=8x联立并 化简，得k2x2十(2k2-8)x十k2=0,△=（2k2 8)2一4k4=32(2-k2),若1与E没有公共点，则 △<0，得k>√2，B正确.C选项：直线过点（一1， 0),联立直线l:y=k(x十1)与抛物线y2=8.x, 得k2x2+(2k2-8)x+k2=0, 若1与抛物线相切，则△=0，即(2k2一8)2一4k =0,解得k=√2（负舍），l的方程为y=√2(x十 1D,由y1+)得B点坐标为1,22)，抛 ly=8x 物线的焦点坐标为F(2,0),L上取一点 B'(2,3√2)，设1与FB所成角的0，cos0= 1-2)2+(22-0)2+(2-12+(32-222-(2-2)2-(0-322 2√(1-2)2+(22-0)2×√(2-1)2+(32-22F 3 由此可见△ABC不为等边三角形，C错误；D选 项：当k=2时，l的方程为y=2x十2，取BC的 中点M,则AM⊥l,则当S△ABc最小时，|AM也 小，设A小1AM1 2×8-1+2 √5 12-4t+81_(t-2)2+41 4√5 4√5 5 当当1=2，即A合2 正确. 3.C 由直线y=-2x十2知F(1,0),所以=1， p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线为x=一1， 所以B(一1,4)，所以yA=4,代入抛物线方程得 A(4,4),所以|AF=号+xA=1+4=5. 12 4.ACDL恰为抛物线的准 线，由抛物线定义可知A 选项正确.设∠AFx=0, 连接AE易知△ADE≌ △AFE, .∠DAE E ∠FAE=吉∠FAD=号 0 则|AE= AFI 0 c052 、0 (1-cos 0)cos2 ABl=AFl+|BFl=1-6o9+1+Os 品。递项B错说。 |AB1=2史≥2p=6,选项C正确； sin0 |AE·|BEI= 力 (1-cos 0)cos 2 (1+cos 0)cos 0+π 2 品。≥1，线装D医京.故本短正确适时 为ACD 5.ABD对于A,由题知图象经过O点，OF|= 2,则-a·2=4,a=-2,故A正确； 对于B,由A知曲线方程：x十2√(x-2)2+y =4, 点(2√2,0)代入得(2√2-2)·(2√2-(-2)) =4,故B正确； 对于C解得y-(千)-(x-2,◆f -(4)--2f=- 32 -2(x-2), 又f(2)=1, 且f(2)=- <0,于是x=2不是极值，故C 1 错误； 对于D,y2= 4) (xo十2 -（x。-2)2≤ (千八，即≤十2故D三确：藏达 (4 12 择：ABD. 6.ABDA显然正确；B正确，A(0,4),当P、A、B 共线时P(4,4),于是PQ=√PA-r2= √4-1=√15；C错，当PB=2时易知P(1,2), B(一1,2)，易知PA与AB并不垂直；D正确， 焦点F(1,0),PB=PF,则PA=PB等价于P 在AF的中套线上，演线的方程为y=宁十侣。 易知它与抛物线有两交点. 7.解析：因为A,B,C,D均在抛物线y=2x上，所 以A(学B(受小C(管 D(艺y0小当直线AB的斜率存在时，直线AB 的方指为-》◆=0，得 直线AB与x轴交点的横坐标为x=一y, 2 当直线AB的斜率不存在时上式仍成立.同理 可得直线CD与x轴交点的横坐标为x= -yCD,所以yyB=ycy,故@正确. 2 其他说法可以通过举反例或者计算验证对错： 取yA=1,yB=2,yc=-1,yD=一2，满足直线 AB、直线CD交x轴于一，点，且M与抛物线的 焦点重合，但yyB=2≠一2，故①错误； 此时S△r= OM|)2 SABDP 而（）-故⑤错误 由上述分析可得xp=一 2 2,xM= yAyC.IN 2 =-yByD 2 yAyB=ycyD,OM ON= |OP|2,故③错误；lya-ycI|OP|=ya-ycI Tp yAy Byc_yAyB 2 yAy Byc yAy cyD 2 2 =yB-yD ZM= yB一yD|OM,故④正确. 综上，正确的为②④： 答案：②④ 8.解析：根据抛物线的几何性质可求p的值. 因为抛物线的顶点到焦距的距离为号，故合 3,故p=6. 答案：6 9.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则 p=8,所以其焦点坐标为(4,0). 答案：(4,0) 10.解析：设P点坐标为(xoyo),P到准线的距离 为9，即xo十1=9，x0=8,代入抛物线方程，可 得yo=士4√2，则P到x轴的距离为4√2. 答案：4√2 11.解析：圆(x-1)2十y2=25的圆心为F(1,0), 故号-1即p=2,由1)+y=25,可得 {2=4x x2+2x-24=0,故x=4或x=-6(舍)， 故A4,士)，故直线方程为y=士专（红-1… 即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0, 故原点到直线AF的距离为d=41=4 55 答案：青 Is 专题十计数原理 考点一 1.C由于A,B两组是有标号的，我们首先考虑 将除甲、乙、丙、丁外的其余4人进行分配.甲、 乙必须在同组，丙、丁不能在同组，因此共有两 类可能：第一类：甲、乙都在A组.此时A组还 需要2人，B组需要4人.因为丙、丁不能同组， 所以丙、丁中必须有一个分在A组，另一个分在B 组：若丙在A组，丁在B组：A组已有{甲，乙，丙}， 还需从剩下的4人中选1人，有C=4种；若丁在 A组，丙在B组：同理有C=4种.共计4十4=8 种.第二类：甲、乙都在B组.同理对称的有8种方 案.所以，总的分配方案数为8十8=16种. 2.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人， 共有A·A=288种. 答案：288 3.解析：第一空：A=4！=24; 第二空：15+21+33+43=112. 答案：24112 4.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异， 且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数， 先研究集合中无重复数字的三位偶数； (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种； (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C8·C8= 256种； 所以集合元素个数最大值为256+72十1= 329种. 答案：329 考点二 1.A(a-√)7的展开式的通项T,+1=Ca' (-√x),r=0,1,2,…,7.令r=4,得T5= Ca3x2,所以Ca3=280,解得a=2. 2.A(x-√G)的展开式的通项T+1 Cx(-a)=(-1)rCx,令4-令=3， 解得k=2,所以在(x一√()的展开式中，x3的 系数为(-1)2C=6. 3.解析：(x+2y)中T+1=Cx(2y)'=2rCxy 受样到项需：13。 .r=1, .所求项的系数为C2=8. 答案：8 4.解析：由题意，通项为C5·(x2)5·x'=C5· x0”,则10-r=7,解得r=3,x7项的系数为 C=10. 答案：10 5.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法. (2.x-1)展开式的通项T,+1=C5(2x)5 (-1)'=(-1)C525-·x5-', 令5-r=3, 得r=2, .x3的系数为：C23(-1)2=80. 答案：80 60