规范练55 抛物线-2027年高三数学一轮复习试题

**基本信息** 以抛物线定义与几何性质为核心，通过基础巩固与综合提升分层训练，系统覆盖标准方程、焦点准线关系及综合应用，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题（含定义应用、标准方程等）|定义法求距离、标准方程设列、焦点准线转化|从定义到标准方程，再到几何性质及简单应用，形成概念-性质-应用链条| |综合提升|6题（含圆结合、最值问题等）|定义转化、几何关系分析、综合应用|综合应用定义与几何性质，结合圆、直线知识，提升复杂问题解决能力|

课时规范练55　抛物线 (分值:81分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.若抛物线C的焦点到准线的距离为3,且抛物线C的开口朝左,则抛物线C的标准方程为(　　) A.y2=-6x B.y2=6x C.y2=-3x D.y2=3x 2.(2025·安徽皖江模拟)抛物线y=x2的焦点坐标是(　　) A.(0,2) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(2,0) 3.(2025·甘肃白银模拟)已知抛物线C的方程为x2=my,则“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·新疆模拟)已知圆C的圆心在抛物线y2=8x上,且圆C过定点(2,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离 5.(2025·山东济南模拟)以坐标原点为焦点,直线y=2为准线的抛物线的方程为(　　) A.x2=-4y-4 B.x2=-4y+4 C.x2=4y+4 D.x2=-2y+2 6.(2025·广西南宁模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3,则p的值为(　　) A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9 7.(2025·江苏灌云模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为(　　) A.2- B.2± C.4-2 D.4±2 8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B两点,且∠AFB=60°,则|AB|=(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 9.(2023·全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　 .  10.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P(1,4)为抛物线C上方一点,M为抛物线C上一动点,|MP|+|MF|的最小值为10,则p=　　　　.  综合提升练 11.(2025·湖南郴州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,H(m,4)(m>)是抛物线C上一点,以点H为圆心的圆与直线x=相切于点T.若sin∠HFT=,则圆H的标准方程为(　　) A.(x-4)2+(y-4)2=9 B.(x-4)2+(y-4)2=16 C.(x-2)2+(y-4)2=4 D.(x-3)2+(y-4)2=9 12.(2026·河北衡水模拟)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,l是抛物线C的准线,N是抛物线C上一点且位于第一象限,直线FN的斜率为正数,且直线FN与圆A:x2+y2-6x+6=0相切,过点N作l的垂线,垂足为P,则△PFN的面积为(　　) A.2 B.4 C.4 D.16 13.已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 14.(多选题)(2025·八省联考,9)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 15.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　　　　.  16.过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F作圆C:(x-2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,若△FMN为等边三角形,则p的值为　　　　.  参考答案 课时规范练55　抛物线 1.A　解析 设抛物线C的标准方程为y2=-2px(p>0),由题意得p=3,所以抛物线C的标准方程为y2=-6x.故选A. 2.A　解析 y=x2,即x2=8y,则p=4,则其焦点坐标为(0,2).故选A. 3.D　解析 若抛物线x2=my经过点(4,1),则m=16,所以抛物线的方程为x2=16y,则抛物线的焦点坐标为(0,4),故充分性不成立;若抛物线C的焦点为(0,2),则=2⇒m=8,所以抛物线的方程为x2=8y,则42≠8×1,即抛物线x2=8y不经过点(4,1),所以必要性不成立. 故“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的既不充分也不必要条件.故选D. 4.A　解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,根据抛物线的定义可知,圆心C到焦点的距离等于到准线的距离,所以圆C与直线x+2=0相切. 又因为抛物线y2=8x的图象在x轴的右侧,所以圆C与直线x+1=0相交.故选A. 5.B　解析 不妨设点P(x,y)为抛物线上一点,由题意可知,点P到原点的距离等于点P到直线y=2的距离,所以=|y-2|,化简得出x2=4-4y,即抛物线的方程为x2=-4y+4.故选B. 6.B　解析 由题意不妨设点A的坐标为(x0,3),代入y2=2px(p>0)得9=2px0,则x0=.由抛物线定义x0+=5,即=5,解得p=1或p=9.故选B. 7.D　解析 由题可知焦点(,0),准线方程为x=-,设等边三角形的边长为a,所以acos 30°+1=a或1-acos 30°=a,则a=4±2.故选D. 8.D　解析 由抛物线定义可知|BF|=|AB|,因为∠AFB=60°, 所以△ABF为等边三角形,故|AF|=|AB|=|BF|,∠BAF=60°,所以∠AFO=60°. 设准线l与x轴的交点为P,则|PF|=2,故|AF|==4,所以|AB|=4. 9.　解析 因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+. 10.12　解析 设点M在抛物线C的准线上的射影为D,则|MF|=|MD|,要使|MP|+|MF|取最小值,即|MP|+|MD|取得最小值,当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|取得最小值,由4-(-)=10,解得p=12. 11.A　解析 过点H作HM垂直于直线x=-,垂足为M,则|HF|=|HM|=m+,|TH|=m-. 由sin∠HFT=,得,解得m=2p. 由H(m,4)是抛物线C上一点,得2pm=16. 因此p=2,m=4,|TH|=3,H(4,4),所以圆H的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=9.故选A. 12.C　解析 由题意可知F(1,0),l:x=-1,∵圆A:(x-3)2+y2=3,∴圆心A(3,0),半径r=. 如图,设H为直线FN与圆A的切点,则|AH|=,AH⊥FN,|AF|=2, ∴sin∠HFA=,则∠HFA=,kFN=tan∠HFA=, ∴直线FN:y=(x-1). 联立即3x2-10x+3=0,解得x=(舍去)或x=3,∴N(3,2),∴|PN|=3-(-1)=4, ∴S△PFN=×4×2=4. 故选C. 13.D　解析 由抛物线y2=8x知,焦点F(2,0),准线方程为l1:x=-2,根据题意作图如下. 记点P到直线l:4x-3y+12=0的距离为|PA|,到准线l1:x=-2的距离为|PB|,由抛物线的定义知|PB|=|PF|,所以点P到直线l:4x-3y+12=0和准线l1:x=-2的距离之和为|PF|+|PA|,且点F(2,0)到直线l:4x-3y+12=0的距离为d==4, 所以d1+d2的最小值为4.故选D. 14.ABC　解析 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,故A正确;设M(x0,y0),由M在抛物线C上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+=|OF|,故B正确;因为以M(x0,y0)为圆心且过F的圆的半径为|MF|=x0+2,等于点M到抛物线C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,故C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,=tan 60°=,且=8x0,不妨令y0>0,所以-8y0-16=0,解得y0=4(负值舍去).所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,故D错误.故选ABC. 15.x=-　解析 由题意,不妨设P(,p),Q(x,0).因为PQ⊥OP,所以=(x-,-p)·(,p)=(x-)-p2=0,即x-p2=0,得x=p.又|FQ|=6,即p-p=6,解得p=3,所以抛物线C的准线方程为x=-. 16.4　解析 如图,过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F作圆C:(x-2)2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N.△FMN为等边三角形,则在直角三角形MCF中,∠CMF=,∠MFC=. 因为|CM|=2,|CF|=2+, 所以sin∠MFC=,即,得p=4. 学科网（北京）股份有限公司 $