规范练53 椭圆 2027届高三数学 一轮复习试题

**基本信息** 聚焦椭圆定义与几何性质，通过分层训练构建“定义应用-离心率计算-综合几何模型”的解题体系，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|9题|定义法判断轨迹、代入法求方程、离心率公式应用|从椭圆定义生成标准方程，通过离心率公式连接a,b,c关系| |综合提升练|6题|焦点三角形性质、角平分线定理、基本不等式求最值|综合几何性质（如直角/等边三角形）与代数运算，拓展轨迹与范围问题|

课时规范练53　椭圆 (分值:76分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8.若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是(　　) A.直线 B.线段 C.圆 D.椭圆 2.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)和一动点P,若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 3.(2024·新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.=1(y>0) B.=1(y>0) C.=1(y>0) D.=1(y>0) 4.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. 5.(2025·江西新余模拟)已知椭圆C:=1(0<a<b)的左、右焦点分别为F1,F2,经过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A在点B上方),点F2在l上的射影恰为AF1的中点,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 6.已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点.若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·湖北武汉模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为,过点F1作直线l(与y轴不重合)交椭圆C于M,N两点,△MNF2的周长为12,则椭圆C的标准方程是(　　) A.+y2=1 B.+x2=1 C.=1 D.=1 8.(多选题)(2025·湖南长沙雅礼中学模拟)已知椭圆E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,则下列说法正确的有(　　) A.椭圆E的长轴长为5 B.椭圆E的离心率为 C.1≤|PF1|≤9 D.恰好存在两个点P使得=0 9.(2025·四川凉山州模拟)点M在椭圆=1上,F是椭圆的一个焦点,N为MF的中点,O为坐标原点,|ON|=4,则|OM|=　　　　.  综合提升练 10.(2025·湖南岳阳模拟)设椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,cos∠F1PF2=,∠F1PF2的平分线与x轴交于点A,则|PA|=(　　) A. B.2 C. D. 11.(2025·湖南长沙模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,B为椭圆C的上顶点,直线BF1与椭圆C交于另一点E,且BF2⊥EF2,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 12.已知曲线M:=4,圆N:(x-5)2+y2=1,若A,B分别是曲线M,圆N上的动点,则|AB|的最小值是(　　) A.2 B.2 C.3 D.2+ 13.(2025·山东泰安模拟)已知P为椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点,M,N是椭圆上的点,O为坐标原点.若四边形OPMN满足,∠PON∈(),则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.(0,) B.(0,) C.(0,) D.(,1) 14.(2025·安徽合肥模拟)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则的最小值为　　　　　.  15.(2021·全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　.  参考答案 课时规范练53　椭圆 1.B　解析 动点M到F1,F2两点的距离之和等于8,而8正好等于两定点F1,F2之间的距离,则动点M的轨迹是以F1,F2为端点的线段. 2.B　解析 ∵F1(-1,0),F2(1,0),∴|F1F2|=2.∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,且该椭圆的长轴长2a=4,a=2,半焦距c=1,∴短半轴长b=,因此,椭圆的方程是=1.故选B. 3.A　解析 设P(x0,y0)(y0>0), 则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=,又=16,所以x2+4y2=16,即=1(y>0).故选A. 4.A　解析 由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,∴e1=.在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,∴e2=.∵e2=e1,∴,解得a=.故选A. 5.C　解析 连接F2A,则由中垂线的性质|AF2|=|F1F2|. 又∠AF1F2=,所以△AF1F2为等边三角形. 由椭圆的对称性,A为其上顶点,所以a=2c⇒e=.故选C. 6.C　解析 如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=, 由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=>0,得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=. 7.D　解析 如图,依题意,△MNF2的周长为4a=12,a=3.设椭圆C的半焦距为c,因为椭圆C的离心率为,所以e=,解得c=2.所以b=.故椭圆C的标准方程为=1.故选D. 8.BC　解析 对于椭圆E:=1,a=5,b=3,c=4,故椭圆的长轴长为2a=10,故A错误;椭圆的离心率为e=,故B正确;点P(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,则a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤|PF1|≤9,故C正确;由=0可知点P位于以F1F2为直径的圆上,F1(-4,0),F2(4,0),则该圆的方程为x2+y2=16,与=1联立,解得x=±,y=±,则P()或P(,-)或P(-)或P(-,-),故满足题意的点P有4个,故D错误.故选BC. 9.5　解析 对于椭圆=1,a=7,b=2,c=5,设左焦点为F1,右焦点为F,连接ON,MF1. 因为N为MF的中点,O为F1F的中点,|ON|=4,所以|F1M|=8,|MF|=2a-8=14-8=6,|F1F|=10,所以∠F1MF=90°,所以|OM|=|F1F|=5. 10.D　解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4. 在△F1PF2中,4=|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2=16-mn,则mn=. 不妨令点P在第一象限,则可得m=,n=,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,则PF2⊥F1F2. 由PA平分∠F1PF2,得,而|AF2|+|AF1|=2,则|AF2|=. 所以|PA|=.故选D. 11.A　解析 如图, 由题意可知|BF1|=|BF2|=a,设|EF1|=m,则|EF2|=2a-m. 因为BF2⊥EF2,所以由勾股定理可得|BF2|2+|EF2|2=|BE|2,即a2+(2a-m)2=(a+m)2,解得m=a. 故|BE|=a+m=a,所以cos∠F1BF2=,由余弦定理可得cos∠F1BF2= =,即1-2e2=,又0<e<1,故可得e=.故选A. 12.C　解析 根据题意,曲线M上的点到点(0,)和(0,-)的距离之和为4>2,根据椭圆定义知曲线M是以(0,)和(0,-)为焦点的椭圆,其中c=,a=2,则b==1,所以曲线M的方程为+x2=1.圆N:(x-5)2+y2=1的圆心为(5,0),半径为1,所以结合图形可知|AB|的最小值是5-1-1=3.故选C. 13.B　解析 由题意知P(-a,0),由知四边形OPMN为平行四边形,则M,N关于y轴对称,设M(-,t),N(,t)(不妨设t>0),将点N的坐标代入椭圆方程可得t=b. 因为∠PON∈(),设α为直线ON的倾斜角,则α∈(),所以tan α=∈(),所以∈(,1),所以e=∈(0,).所以椭圆离心率的取值范围为(0,).故选B. 14.　解析 F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在椭圆C上,|MF1|+|MF2|=6,所以×()·(|MF1|+|MF2|)=(2+)≥,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立,所以的最小值为. 15.8　解析 由题意得a=4,b=2,c=2, 则|PQ|=|F1F2|=4. ∵|OQ|=|OF1|=|OF2|=2, ∴QF1⊥QF2, 即四边形PF1QF2为矩形. ∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48, ∴|QF1|·|QF2|=[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8, 即四边形PF1QF2的面积为8. 学科网（北京）股份有限公司 $