精品解析：重庆市秀山县2026年春期期末考试八年级数学试题

2026年春期学生期末考试八年级数学试题（A卷） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 4，6，8 3. 如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 7. “勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（ ） A. 512 B. 1023 C. 2047 D. 2048 8. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 10. 已知等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； 其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 已知点，在一次函数的图象上，如果，那么______（请写出一个符合条件的值）． 13. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四分位数是______． 14. 若为正整数，且满足，则的值为______． 15. 如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于，百位数字与个位数字之和也等于，那么称这个数为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记．例如：，因为，所以是一个“吉利数”，．若是“吉利数”，请写出一个满足条件的_____；若一个四位自然数是“吉利数”，且为整数，则满足条件的四位自然数的最大值与最小值之差为______． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算：． 18. 如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 炎热的夏天来啦，同学们游泳的心已经蠢蠢欲动．为了增强同学们的安全意识，某学校举行了以“珍爱生命·预防溺水”为主题的知识竞赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及以上为优秀），将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的比赛成绩分别是： 83，84，85，86，87，89，90，90，91，92，92，93，94，96，96，96，98，99，99，100； 八年级被抽取的20名学生的比赛成绩在C等级中的数据分别是： 90，91，92，92，93，94； 七、八年级抽取学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 92 b 八年级 92 a 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有900人、八年级有850人参加了这次知识竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 20. 如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． （1）求证：； （2）连接，分别交，于点，．求证：． 21. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； （2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 22. 如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 23. 如图，在中，，，，E点是BC边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点M与点C重合时，停止运动．在运动过程中，设动点M运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数y的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的值．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元． （1）求这两种花卉的单价； （2）在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式． 25. 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，若，连接，求的面积； （2）如图2，若，连接交于，求证：； （3）若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期学生期末考试八年级数学试题（A卷） （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、含开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 4，6，8 【答案】C 【解析】 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 3. 如图，在平行四边形中，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 4. 若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可． 【详解】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360° ∴正多边形的边数是360°÷45°=8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键． 5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质；先由一次函数的图象经过第一、二、四象限，来判断的范围，再得出一次函数的图象大致位置． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 6. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的概念与结构，统计量的识别，准确识别箱线图中各部分对应的统计量是解题关键． 根据箱线图的结构，可直接读取下四分位数、中位数、最大值等统计量，但平均数没有体现． 【详解】解：据图可知，该箱线图的最大值为，下四分位数为，中位数为，没有体现平均数． 故选：． 7. “勾股树”是基于勾股定理构造的经典递归分形图形，其迭代生成过程满足自相似分形特征．图中的图形是“勾股树”，也是“递归分形树”的一种，其中第①个图中有3个正方形，第②个图中有7个正方形，第③个图中有15个正方形……按照这一规律，则第⑨个图中正方形的个数是（ ） A. 512 B. 1023 C. 2047 D. 2048 【答案】B 【解析】 【分析】写出前3组图形对应的正方形数量，将数值改写为多个相乘再减的结构，总结出第个图形的计算式子，把代入式子算出数值，匹配对应选项． 【详解】解：第①个图形正方形个数：， 第②个图形正方形个数：， 第③个图形正方形个数：． 归纳规律：第个图形中正方形个数为个相乘再减去． ∴第⑨个图形正方形的个数． 8. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 9. 如图，在边长为8的正方形中，点，分别为，边上的点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，证明，可得，，再证，有，，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：过作于，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 10. 已知等式，其中为正整数，下列说法： ①； ②当时，； ③当为奇数时，； 其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二项式展开式的系数特征及代数恒等式的应用，结合特殊值代入法进行计算验证即可． 【详解】解：①展开式的最高次项系数，常数项； 当为偶数时，； 当为奇数时，；故①不一定成立，说法错误； ②当时，展开式为，系数分别为，，， 则绝对值之和为，故说法②正确； ③当为奇数时，令， 则 ， 令， 则 ， ∴， ，故③正确， 综上，正确的②③，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，根据二次根式除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知点，在一次函数的图象上，如果，那么______（请写出一个符合条件的值）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先将和用含的代数式表示，根据列出不等式组，求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴将横坐标代入函数解析式得，， ∵， ∴， 该不等式等价于两种情况： ①，解得； ②，无解； 因此的取值范围是，任取该范围内的一个值即可，例如． 13. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，据工作人员统计，某段时间天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据上四分位数的计算规则求解即可． 【详解】解： 方法1：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，，，，， ∵本组数据总个数为，上四分位数即分位数， ∴计算位置得， ∵不是整数，向上取整得， ∴上四分位数为排序后第个数据，即． 方法2：这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，，，，， 中位数为， ∵后半段：， ∴上四分位数为后半段数据的中位数． 14. 若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 15. 如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分求出，的长，取中点构造三角形中位线，将转化到直角三角形中，利用勾股定理求解. 【详解】解： 四边形是菱形 ， ，，， 点为的中点 ， ， 取的中点，连接，如图所示， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线，  ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 点在线段上，， ，  在中，． 16. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且千位数字与十位数字之和等于，百位数字与个位数字之和也等于，那么称这个数为“吉利数”．对于一个“吉利数”，记．例如：，因为，所以是一个“吉利数”，．若是“吉利数”，请写出一个满足条件的_____；若一个四位自然数是“吉利数”，且为整数，则满足条件的四位自然数的最大值与最小值之差为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题理解新定义“吉利数”，将吉利数用数位数字表示出来，再根据整除条件找出满足要求的最大和最小吉利数，计算差值即可，用到整式化简和整除的性质． 【详解】解：第一问，根据吉利数定义，取千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，四个数字互不相同，满足吉利数要求，因此是一个符合条件的吉利数，答案不唯一； 第二问，设吉利数的千位数字为，百位数字为，可得十位数字为，个位数字为，其中，，为整数，且四个数位数字互不相同，则，， 为整数， 能被整除，可得能被整除． 欲使最大，取最大可能值，当时，，是的倍数且，得，此时四个数位数字互不相同，符合要求，得最大； 欲使最小，取最小可能值，当时，，是的倍数且，得，此时四个数位数字互不相同，符合要求，得最小； 因此最大值与最小值的差为． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 【答案】（1）解：如图， （2），，，， 【解析】 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）首先证明四边形为平行四边形．再利用三个角是直角的四边形是矩形，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 炎热的夏天来啦，同学们游泳的心已经蠢蠢欲动．为了增强同学们的安全意识，某学校举行了以“珍爱生命·预防溺水”为主题的知识竞赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及以上为优秀），将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．． 下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的比赛成绩分别是： 83，84，85，86，87，89，90，90，91，92，92，93，94，96，96，96，98，99，99，100； 八年级被抽取的20名学生的比赛成绩在C等级中的数据分别是： 90，91，92，92，93，94； 七、八年级抽取学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 92 b 八年级 92 a 98 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有900人、八年级有850人参加了这次知识竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好， 理由：因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率都高于七年级，所以八年级的成绩更好； （3）估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有655人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数定义可得，的值，根据优秀率的定义可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生的比赛成绩中，96出现的次数最多，故众数， 八年级抽取20名学生，根据扇形统计图，A等级人数为人，B等级人数为人，C等级有6人（已知等级数据：），则D等级人数为人， 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有655人． 20. 如图，四边形是正方形，点，分别是和的中点，连接和． （1）求证：； （2）连接，分别交，于点，．求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和线段中点的定义得到条件，即可证明； （2）证明再证明，根据线段的和差即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； （2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 【答案】（1），； （2）； （3）吨． 【解析】 【分析】（）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费； （）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可； （）把代入法（）所得对应的函数解析式计算即可求解； 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式． 【小问1详解】 解：∵(元吨)， ∴不超过吨时，每吨收费元， ∵(元吨)， ∴超过吨时，每吨收费元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，设， 把，代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 把，代入得， ， 解得， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴用水量超过吨， 把代入得， ， 解得， 答：该户居民用水吨． 22. 如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】（1） 解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）818万元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 23. 如图，在中，，，，E点是BC边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点M与点C重合时，停止运动．在运动过程中，设动点M运动的时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数y的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的值．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）函数的图象如图所示： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的边角关系，计算出、的长度，确定动点在段和段的时间分界点，作为分段讨论的依据，当在上运动时，因为要计算的面积，所以过作的垂线，利用特殊直角三角形的边的关系求出该垂线的长度，结合底，推导该段与的函数关系及对应的范围；当在上运动时，因为，所以，即到的距离等于的长度，结合的运动路程表示出，推导该段与的函数关系及对应的范围； （2）画函数图象时，根据两段函数的类型和对应的取值范围，描出关键点后连线；观察图象的单调性、最值等特征总结函数性质； （3）求时的值，分别代入两段函数解析式求解，结合的取值范围筛选符合条件的解，也可结合图象读取对应横坐标． 【小问1详解】 解：当时，点在上，， 如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 当时，点在上，， 如图所示， ∴； 综上可得，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分两段解方程： 当时，令，得； 当时，令，得； ∴的值为或． 24. 某学校准备购买两种造型花卉来装扮校园，已知购买株种花卉和株种花卉共需元；购买株种花卉和株种花卉共需元． （1）求这两种花卉的单价； （2）在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：种花卉按原价的七折销售，购买种花卉株以上，超出部分按原价的五折销售．设购买株种花卉需要元，购买株种花卉需要元，分别求出，关于的函数解析式． 【答案】（1） 种花卉单价为元，种花卉单价为元 （2） （为非负整数） 【解析】 【分析】（1）设种花卉单价为元，种花卉单价为元，列二元一次方程组解题； （2）根据题意分别求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设种花卉单价为元，种花卉单价为元， 则有， 解得， ∴种花卉单价为元，种花卉单价为元； 【小问2详解】 解：由题意知，（为非负整数）； 当，且为整数时，， 当，且为整数时，； ∴（为非负整数）； ． 25. 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，若，连接，求的面积； （2）如图2，若，连接交于，求证：； （3）若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）10 （2） 证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，由此即可得证； （3）如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，从而可得当点在边上运动时，点在上运动，再根据点到直线的距离、垂线段最短可得当时，线段取得最小值，根据直角三角形的性质可得，，，然后可证四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， 如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴图1中，， 图2中，， 即在图1和图2中，均有， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当点在边上运动时，点在上运动， 由点到直线的距离、垂线段最短可知，当时，线段取得最小值， ∴此时在中，， ∴，， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $