精品解析：重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年春期学生期末考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数范围内，要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 数据2025，2024，2023，2025，2026，2023，2025，2026的众数是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 3. 在以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A 1，1， B. 1，2，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6 4. 下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. ， 6. 如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而（　　） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 有时增大有时减小 7. 如图，在菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 估计的运算结果应在（ ） A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间 9. 下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（ ） A. 91 B. 106 C. 121 D. 141 10. 已知，，下列说法正确个数是（ ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____． 12. 直线与y轴的交点坐标为________． 13. 《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则________． 14. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 1 4 3 2 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__________小时． 15. 在矩形ABCD中，，，对角线交于点O，将沿着翻折得到，过点D作于点M，则________；连接、，则________． 16. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则________；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是________． 三、解答题（本大题共9个小题，17—18题各8分，其余每小题各10分，共86分） 17. 计算： 18. 如图，已知四边形平行四边形． （1）请用直尺和圆规作线段垂直平分线，与交于点M，与交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，连接，若，求的度数． 解：由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线， ____①____； ____②____； 四边形是平行四边形 ____③____； ； ____④____； 19. 为让“绿水青山就是金山银山”的环保理念深入人心，提高学生对环境保护问题的重视，某校组织了以“拥抱绿色，共建生态文明”为主题的环保知识竞赛，竞赛规定：每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分和70分．负责竞赛的杨老师将八年级1班和八年级2班的成绩进行整理并绘制成如下统计图表． 八年级1班和2班所抽学生成绩统计表 成绩 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） B级及以上的人数 八年级1班 88.4 a 100 c 八年级2班 88.4 90 b 18 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）在本次竞赛中，八年级1班C级的人数有多少？ （3）通过以上数据分析，你认为该校八年级1班和2班中哪个班级学生的环保知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 如图，在平行四边形中，点M是的中点，且． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，，求线段的长． 21. 某商场购进一批毛衣，若按每件200元销售，则每月能卖36件；若按每件240元销售，则每月能卖21件．假定每月的销售量y（单位：件）是销售单价x（单位：元）的一次函数． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）如果计划每月销售30件这种毛衣，那么每件毛衣的售价应定为多少元？ 22. 如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． （1）亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ （2）求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 23. 如图，在矩形ABCD中，，，点M从点B出发，沿折线运动，到点A停止；点M以每秒的速度运动4秒，之后以每秒的速度运动，设点M运动的时间是x秒，的面积是，请回答下列问题： （1）请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接写出当时x的值． 24. 某物资配送中心在北京和上海两个站点同时储备应急物资若干吨，北京站点可支援外地10吨，上海站点可支援外地4吨，现在决定给重庆调运8吨应急物资，武汉调运6吨应急物资。已知从北京、上海两个站点运往重庆和武汉的运费如下表： 出发地 目的地 北京站点（元/吨） 上海站点（元/吨） 重庆 800 500 武汉 400 300 （1）若总运费为8400元，则上海站点运往武汉多少吨？ （2）若要求总运费不超过8200元，则共有几种调运方案？ （3）总运费最低的调运方案是哪种？总运费最低是多少元？ 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，过点A作于点M，连接，过点C作交于点N，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点Q是直线上的一个动点，若，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期学生期末考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数范围内，要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得： 故选：B． 2. 数据2025，2024，2023，2025，2026，2023，2025，2026的众数是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数，根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数，统计各数的出现次数即可确定答案． 【详解】解：将数据依次列出：2025，2024，2023，2025，2026，2023，2025，2026． 其中2023出现2次，2024出现1次，2025出现3次，2026出现2次． 其中2025出现的次数最多（3次）， 因此众数为2025， 故选：C 3. 在以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 1，2，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边满足 （其中为最长边），则该三角形为直角三角形．逐项判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，符合题意； B．，不能构成直角三角形，不合题意； C．，不能构成直角三角形，不合题意； D．，不能构成直角三角形，不合题意； 故选A． 4. 下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合该形式． 【详解】解：选项A：次数为2，不符合正比例函数的一次形式． 选项B： 符合（），是正比例函数． 选项C： 可写为，次数为，不符合正比例函数． 选项D： 是一次函数，但含常数项，不符合正比例函数无常数项的要求． 故选：B 5. 如图，在平行四边形中，与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项可知，结论不一定成立的是选项A， 故选：A． 6. 如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而（　　） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 有时增大有时减小 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象可以得到y随x的增大如何变化，本题得以解决． 详解】解：由函数图象可得， y随x的增大而增大， 故选：A． 【点睛】本题考查函数的图象，明确题意，利用数形结合的思想解答是关键． 7. 如图，在菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的性质可得出，，结合已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C 8. 估计的运算结果应在（ ） A. 在和之间 B. 在和之间 C. 在和之间 D. 在和之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，由，得，即，故有，从而求解，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的运算结果在和之间， 故选：． 9. 下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（ ） A. 91 B. 106 C. 121 D. 141 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑧个图形中棋子的颗数也就容易计算了． 【详解】解：∵第①个图形中棋子的个数为： 第②个图形中棋子的个数为： 第③个图形中棋子的个数为： … ∴第个图形中棋子的个数为： 则第⑧个图形中棋子的颗数为： 故选：D． 10. 已知，，下列说法正确的个数是（ ） ①若不含二次项，则； ②若不含二次项，则； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，恒成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，多项式乘以多项式不含某一项问题，完全平方公式，根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式的法则，完全平方公式分解因式，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：①：， 不含二次项， 则二次项系数 ． 解得 ． 结论正确． ②： 不含二次项时，系数 ， 解得 ，而非 ． 结论错误． ③：． 与 无关时，二次项系数 ． 解得，而非． 结论错误． ④：当，． 恒成立． 结论正确． 综上，正确的说法为①和④，共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则：. 12. 直线与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟知一次函数的性质． 令，即可解得直线与y轴交点． 【详解】解：当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 13. 《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设折断后的竹子的高度为x尺，则．利用勾股定理列式即可． 【详解】解：如图， 由题意得，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 1 4 3 2 则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是__________小时． 【答案】6.6 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数=小时． 故答案为：6.6． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是解题关键． 15. 在矩形ABCD中，，，对角线交于点O，将沿着翻折得到，过点D作于点M，则________；连接、，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据勾股定理可直接求出的长；设于交于点E，过点D作于点F，先根据矩形的性质和折叠可得，然后在中利用勾股定理求出和的长，然后利用面积法求出长，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设于交于点E，过点D作于点F， ∵矩形ABCD中，，， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得：，， ∴， 在中，，即， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 16. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则________；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是________． 【答案】 ①. 6 ②. 9682 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵是一个“平分秋色数”， ∴， ∵， ∴， ∵n为完全平方数，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，且b、d互不相等， ∴， ∵为整数， ∴，或，， 当，时，解得：，，此时，，，，； 当，时，解得：，，此时，，，； 综上所述，最大的 故答案为6；9682． 三、解答题（本大题共9个小题，17—18题各8分，其余每小题各10分，共86分） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算二次根式的乘法和除法以及零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 18. 如图，已知四边形平行四边形． （1）请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，与交于点M，与交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，连接，若，求的度数． 解：由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线， ____①____； ____②____； 四边形是平行四边形 ____③____； ； ____④____； 【答案】（1）见解析 （2）①②③④． 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图方法，即可解答； （2）由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线，得到，则，由四边形是平行四边形，则，即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图 【小问2详解】 由（1）的作法可知，为线段的垂直平分线， ； ； 四边形是平行四边形 ； ； ； ． 故答案为：①②③④． 19. 为让“绿水青山就是金山银山”的环保理念深入人心，提高学生对环境保护问题的重视，某校组织了以“拥抱绿色，共建生态文明”为主题的环保知识竞赛，竞赛规定：每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分和70分．负责竞赛的杨老师将八年级1班和八年级2班的成绩进行整理并绘制成如下统计图表． 八年级1班和2班所抽学生的成绩统计表 成绩 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） B级及以上的人数 八年级1班 88.4 a 100 c 八年级2班 88.4 90 b 18 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）在本次竞赛中，八年级1班C级的人数有多少？ （3）通过以上数据分析，你认为该校八年级1班和2班中哪个班级学生的环保知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）80，90，12 （2）9 （3）八年级2班的成绩较好，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数及众数，解题的关键是从条形统计图，扇形统计图获得正确的数据． （1）利用平均数，中位数及众数的定义求解即可； （2）根据八年级2班的总人数乘以八年级1班C级的百分比，计算即可； （3）分别从平均分和中位数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可以知道，八年级1班的中位数落在C等级， 故a是80； 由条形统计图可知：八年级2班B等级的人数最多， 故八年级2班的众数是90，即． （人）． 故答案为：80，90，12． 【小问2详解】 （人）． 答：在本次竞赛中，八年级1班C级的人数有9人． 【小问3详解】 虽然两个班级的平均数相同，但八年级1班的中位数为80分，八年级2班的中位数90分，说明八年级2班在90以上的超过一半人数， 所以八年级2班的成绩较好． 20. 如图，在平行四边形中，点M是的中点，且． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的两组对边分别相等可证，可知，所以是矩形． （2）先证明是等边三角形，得到，则，有勾股定理得，求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形矩形． 【小问2详解】 ∵平行四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴线段的长． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 21. 某商场购进一批毛衣，若按每件200元销售，则每月能卖36件；若按每件240元销售，则每月能卖21件．假定每月的销售量y（单位：件）是销售单价x（单位：元）的一次函数． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）如果计划每月销售30件这种毛衣，那么每件毛衣的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）216 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题求一次函数解析式和利用函数解析式解决实际问题，是一道一次函数的综合应用题，正确理解题意，求出函数解析式是解决本题的关键． （1）设y与x之间的函数解析式为，将分别代入，得，解出即可． （2）将代入一次函数解析式，求出即可解答． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为，将分别代入，得 解得 ∴y与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 当时，， 解得． 答：每件毛衣的售价应定为216元． 22. 如图，亮亮与洋洋分别住在M、Q两个不同的城市，他们约好一起去景区A地旅游，洋洋家在Q地，亮亮家所在的M地在Q地的南偏东方向的千米处，亮亮乘大巴从M地出发，导航显示大巴沿北偏东方向，以平均70千米/小时的速度行驶，10分钟后，洋洋乘出租车从Q地出发，导航显示沿北偏东的方向匀速行驶，亮亮与洋洋两同学同时到达景区A地． （1）亮亮同学从M地出发到达景区A地用了多长时间？ （2）求洋洋同学乘出租车的速度．（结果保留根号） 【答案】（1）1小时 （2）千米/小时 【解析】 【分析】（1）由题意得千米， ．，由三角形内角和定理得出，过点M作，垂足为D，由等腰直角三角形的性质和含30度直角三角形的性质得出 ，，然后根据时间等于路程除以速度求解即可． （2）利用勾股定理求出，再求出，然后根据路程除以时间即可求出速速． 【小问1详解】 解：由题意得千米， ．， ∴， 过点M作，垂足为D．如图∶ 则，， ∴， ∵，即， ∴千米， ∴千米， 则亮亮同学从M地出发到达景区A地用小时． 【小问2详解】 解：在中， 千米， ∴千米， ∴千米/小时， 则洋洋同学乘出租车的速度为千米/小时． 【点睛】本题主要考查了方向角的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在矩形ABCD中，，，点M从点B出发，沿折线运动，到点A停止；点M以每秒的速度运动4秒，之后以每秒的速度运动，设点M运动的时间是x秒，的面积是，请回答下列问题： （1）请直接写出y与x的函数表达式以及对应的自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接写出当时x的值． 【答案】（1） （2）图象见解析；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （2）先根据描点法画出函数图象，再由函数图象写出一条性质即可； （3）根据函数图象直接写出时x的值即可． 【小问1详解】 解：∵点M从点B出发以每秒的速度运动4秒，之后以每秒的速度运动，，， ∴设点M运动的时间是x秒， 则当点M在上时，此时，， ； 当点M在上时，此时， ； 当点M在上时，此时，  ． 综上所述： 【小问2详解】 解：由（1）可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 故如下图即为所求函数图象： 由图象可得，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据（2）中的函数图象可知，当时，或． 24. 某物资配送中心在北京和上海两个站点同时储备应急物资若干吨，北京站点可支援外地10吨，上海站点可支援外地4吨，现在决定给重庆调运8吨应急物资，武汉调运6吨应急物资。已知从北京、上海两个站点运往重庆和武汉的运费如下表： 出发地 目的地 北京站点（元/吨） 上海站点（元/吨） 重庆 800 500 武汉 400 300 （1）若总运费为8400元，则上海站点运往武汉多少吨？ （2）若要求总运费不超过8200元，则共有几种调运方案？ （3）总运费最低的调运方案是哪种？总运费最低是多少元？ 【答案】（1）上海站点运往武汉吨 （2）共有种调运方案 （3）总运费最低的调运方案为：上海站点运往武汉吨，上海运往重庆吨，北京运往武汉吨，北京运往重庆吨，总运费最低是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质，解一元一次不等式，解题的关键是准确把握题意，找准隐含的数量关系，列出函数或方程来分析、判断或解答． （1）设上海站点运往武汉吨，上海站点运往重庆吨，北京站点运往武汉吨，北京站点运往重庆吨，根据总运费从上海运往武汉的运费从上海运往重庆的运费从北京运往武汉的运费从北京运往重庆的运费，列出一元一次方程即可得解； （2）结合（1），求出总运费关于的函数关系式，列出不等式即可解决问题； （3）根据一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设上海站点运往武汉吨，上海站点运往重庆吨，北京站点运往武汉吨，北京站点运往重庆吨， 根据题意得， 解得， 答：上海站点运往武汉吨； 【小问2详解】 解：设上海站点运往武汉吨， 由（1）知，总费用： ，即时， 解得，而， 或或或， 即共有种调运方案； 【小问3详解】 解：，， 随的增大而增大， 故当时，取最小值，即上海站点运往武汉吨，上海运往重庆吨，北京运往武汉吨，北京运往重庆吨， 此时， 即最低总运费是元． 25. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，． （1）如图1，若，，求长； （2）如图2，若，过点A作于点M，连接，过点C作交于点N，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点Q是直线上的一个动点，若，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点A作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，证明，可得，再证明，可得，由可知当点在上时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点A作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 如图， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$