课时规范练44　空间直线、平面的平行专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以线面、面面平行为核心，通过典例系统提炼中位线法、辅助平面法等解题技巧，构建“判定-性质-综合应用”的知识逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与平面平行的判定与性质|2题（正方体动态点证明）|中位线法、面面平行转化线面平行|线线平行→线面平行→面面平行| |平面与平面平行的判定与性质|1题（面面平行性质计算）|相似比应用|面面平行→线线平行→比例计算| |平行关系的综合应用|1题（四棱锥存在性问题）|构造辅助线/面证面面平行|判定与性质综合→存在性问题论证|

课时规范练44　空间直线、平面的平行 典例对点练 考点一　直线与平面平行的判定与性质 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,P是线段B1D1上的动点.求证: (1)AC1∥平面BDF; (2)PE∥平面BDF. 2.已知:α,β是两个平面,a,l是两条直线,且α∩β=l,a∥α,a∥β.求证:a∥l. 考点二　平面与平面平行的判定与性质 3.如图所示,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,则AC=　　　　　.  考点三　平行关系的综合应用 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PA=PC,E为侧棱PD上的点,且PE=3ED.在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面ACE?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 素能综合练 5.已知直线a,b,平面α,给出下列四个命题: ①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b. 其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PC,AC上的点,且MN∥平面PAD,则下列说法正确的是(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 7.(2025·浙江强基联盟模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q分别为棱AA1,C1D1上的动点(可与端点重合),若PQ∥平面AB1C,则线段PQ的长度为(　　) A. B. C. D. 8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,过BC中点E的截面与AB,CD都平行,则截面的周长为　　　　　.  9.(2025·上海,18)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆圆心,AB为底面圆直径,AB=2. (1)若PA与底面所成角大小为,求该圆锥的侧面积; (2)已知Q是母线AP的中点,点C,D在底面圆周上,弧长为,且CD∥AB,点T在OC上运动,求证:QT∥平面PBD. 参考答案 课时规范练44　空间直线、平面的平行 1.证明 (1)如图,连接AC交BD于点O,连接FO. ∵F为CC1的中点,O为AC的中点,∴FO为△ACC1的中位线, ∴FO∥AC1. ∵FO⊂平面BDF,AC1⊄平面BDF, ∴AC1∥平面BDF. (2)连接ED1,EB1,连接A1C1交B1D1于点O1,连接EO1,如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1. ∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF, ∴B1D1∥平面BDF. 又EO1为△AA1C1的中位线,∴EO1∥AC1. ∵AC1∥平面BDF,EO1⊄平面BDF, ∴EO1∥平面BDF.∵EO1⊂平面B1D1E,B1D1⊂平面B1D1E,EO1∩B1D1=O1,∴平面B1D1E∥平面BDF. ∵PE⊂平面B1D1E,∴PE∥平面BDF. 2.证明 如图所示,过a作平面γ交平面α于b. 因为a∥α,所以a∥b. 同样过a作平面δ交平面β于c, 因为a∥β,所以a∥c,所以b∥c. 又b⊄β,c⊂β,所以b∥β. 又b⊂α,α∩β=l,所以b∥l,所以a∥l. 3.9　解析 因为平面α∥平面β,平面α∩平面PBD=AC,平面β∩平面PBD=BD,所以AC∥BD,且△PAC∽△PBD,故,则,解得AC=9. 4.解 侧棱PC上存在一点F,且. 如图,在正方形ABCD中,记AC,BD交于点O,则BO=OD. 在线段PE上取一点G,使得GE=ED.由PE=3ED,得,连接BG,FG,OE,则BG∥OE. 又OE⊂平面ACE,BG⊄平面ACE,则BG∥平面ACE. 由BF∥平面ACE,BG∩BF=B,BG,BF⊂平面BGF,得平面BGF∥平面ACE. 又平面PCD∩平面ACE=EC,平面PCD∩平面BGF=GF, 于是GF∥EC,所以. 5.A　解析 对于①,若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故①不是真命题;对于②,若a∥α,b∥α,则a,b可共面,也可异面,不一定得到a∥b,故②不是真命题;对于③,若a∥b,b∥α,则a∥α或a⊂α,故③不是真命题;对于④,若a∥α,b⊂α,则a不一定平行于b,a也可以与b异面,故④不是真命题.故选A. 6.B　解析 直线MN⊂平面PAC,MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA.故选B. 7.B　解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∥AC. 又AC⊂平面AB1C,A1C1⊄平面AB1C,所以A1C1∥平面AB1C. 因为P,Q分别为棱AA1,C1D1上的动点,PQ∥平面AB1C,所以PQ即为A1C1,因此|PQ|=.故选B. 8.4　解析 设CA,AD,DB的中点分别为F,G,H,连接EF,FG,GH,HE. 由三角形中位线定理知,EF∥AB,FG∥CD,GH∥AB,HE∥CD,且EF=HG=AB=1,FG=HE=CD=1,所以EF∥GH,FG∥HE,因此四边形EFGH是平行四边形.因为EF∥AB,EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 同理,CD∥平面EFGH,因此平行四边形EFGH的周长为2×(1+1)=4. 9.(1)解 如图,连接PO,由题意知PO垂直底面,∵PA与底面所成角大小为, ∴∠PAO=,∠POA=, 又OA=AB=1,∴PA=2, ∴S侧=π·OA·PA=2π. (2)证明 如图,作出点C,D,T,连接CD,BD,QT,QC,QO,OD,PD,在△PAB中,∵O,Q分别是AB,AP的中点,∴OQ∥PB,又PB⊂平面PBD,OQ⊄平面PBD, ∴OQ∥平面PBD. ∵∠AOC=,且CD∥AB,∴∠OCD=∠AOC=,又OC=OD=1,∴△OCD是等边三角形,∴CD=1=OB,又CD∥OB,∴四边形OCDB是平行四边形,∴OC∥BD,又OC⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,∴OC∥平面PBD,又OC∩OQ=O,OC⊂平面OCQ,OQ⊂平面OCQ,∴平面OCQ∥平面PBD. ∵QT⊂平面OCQ,∴QT∥平面PBD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $