规范练44 空间直线、平面的平行-2027年高三数学一轮复习试题

**基本信息** 聚焦空间平行关系判定与性质，以分层训练构建“概念辨析-定理应用-综合探究”的方法体系，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|5题（第1-5题）|线面平行判定（交线法）、面面平行性质（相似比）、中位线构造法|从线线平行到线面平行再到面面平行的递进，覆盖概念辨析（易错点：线在面内）与基础应用| |综合提升练|4题（第7-10题）|动态轨迹分析、折叠问题转化、存在性证明（中点构造）|结合正方体、球等复杂几何体，深化空间想象与逻辑推理，体现“以形助数”的数学思维|

课时规范练44　空间直线、平面的平行 (分值:66分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.已知直线a,b,平面α,给出下列四个命题: ①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b. 其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PC,AC上的点,且MN∥平面PAD,则下列说法正确的是(　　) (第2题图) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 3.(2025·浙江强基联盟模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q分别为棱AA1,C1D1上的动点(可与端点重合),若PQ∥平面AB1C,则线段PQ的长度为(　　) A. B. C. D. 4.如图所示,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,则AC=　　　　　.  (第4题图) 5.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,过BC中点E的截面与AB,CD都平行,则截面的周长为　　　　　.  6.(12分)(2025·上海,18)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆圆心,AB为底面圆直径,AB=2. (1)若PA与底面所成角大小为,求该圆锥的侧面积; (2)已知Q是母线AP的中点,点C,D在底面圆周上,弧长为,且CD∥AB,点T在OC上运动,求证:QT∥平面PBD. 综合提升练 7.(2026·浙江温州高二期中)球O是棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,点M为球O表面上一动点,且满足BM∥平面AD1C,则M+MB2的最大值为(　　) A. B.2 C.6 D. 8.(多选题)(2025·江西赣州模拟)如图,透明长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌入了一些水,棱BC固定在地面.若改变容器的倾斜度(水不溢出),则(　　) A.水的体积不变 B.水的部分呈棱柱状 C.水面四边形EFGH的面积不变 D.当E在棱AA1上时,AE+BF是定值 9.如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图2),那么在以下3个结论中,正确的结论是　　　　.  ①CF∥平面ABD;②BE∥平面CDF;③CD∥平面BEF. 图1 图2 10.(13分)如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点. (1)求证:GH∥平面BFC. (2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出P的具体位置并证明;若不存在,说明理由. 参考答案 课时规范练44　空间直线、平面的平行 1.A　解析 对于①,若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故①不是真命题;对于②,若a∥α,b∥α,则a,b可共面,也可异面,不一定得到a∥b,故②不是真命题;对于③,若a∥b,b∥α,则a∥α或a⊂α,故③不是真命题;对于④,若a∥α,b⊂α,则a不一定平行于b,a也可以与b异面,故④不是真命题.故选A. 2.B　解析 直线MN⊂平面PAC,MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA.故选B. 3.B　解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∥AC. 又AC⊂平面AB1C,A1C1⊄平面AB1C,所以A1C1∥平面AB1C. 因为P,Q分别为棱AA1,C1D1上的动点,PQ∥平面AB1C,所以PQ即为A1C1,因此|PQ|=.故选B. 4.9　解析 因为平面α∥平面β,平面α∩平面PBD=AC,平面β∩平面PBD=BD,所以AC∥BD,且△PAC∽△PBD,故,则,解得AC=9. 5.4　解析 设CA,AD,DB的中点分别为F,G,H,连接EF,FG,GH,HE. 由三角形中位线定理知,EF∥AB,FG∥CD,GH∥AB,HE∥CD,且EF=HG=AB=1,FG=HE=CD=1,所以EF∥GH,FG∥HE,因此四边形EFGH是平行四边形.因为EF∥AB,EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 同理,CD∥平面EFGH,因此平行四边形EFGH的周长为2×(1+1)=4. 6.(1)解 如图,连接PO,由题意知PO垂直底面,∵PA与底面所成角大小为, ∴∠PAO=,∠POA=, 又OA=AB=1,∴PA=2, ∴S侧=π·OA·PA=2π. (2)证明 如图,作出点C,D,T,连接CD,BD,QT,QC,QO,OD,PD,在△PAB中,∵O,Q分别是AB,AP的中点,∴OQ∥PB,又PB⊂平面PBD,OQ⊄平面PBD, ∴OQ∥平面PBD. ∵∠AOC=,且CD∥AB,∴∠OCD=∠AOC=,又OC=OD=1,∴△OCD是等边三角形,∴CD=1=OB,又CD∥OB,∴四边形OCDB是平行四边形,∴OC∥BD,又OC⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,∴OC∥平面PBD,又OC∩OQ=O,OC⊂平面OCQ,OQ⊂平面OCQ,∴平面OCQ∥平面PBD. ∵QT⊂平面OCQ,∴QT∥平面PBD. 7.A　解析 正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得A1B∥CD1,A1C1∥AC. 因为A1B⊄平面AD1C,CD1⊂平面AD1C,所以A1B∥平面AD1C. 同理可证A1C1∥平面AD1C. 又因为A1B∩A1C1=A1,且A1B,A1C1⊂平面A1BC1,所以平面A1BC1∥平面AD1C. 要使得BM∥平面AD1C,且点M为球O表面上一动点, 所以点M在平面A1BC1与球O的截面圆上,且截面圆恰为△A1BC1的内切圆. 因为正方体的棱长为,可得正三角形A1BC1的边长为2,其内切圆的半径为r=, 以A1B所在直线为x轴,以A1B的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示, 可得A1(-1,0),B(1,0),内切圆的方程为x2+(y-)2=, 设M(x,y),则M+MB2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2, =2()2+2 =2()2+2. 因为表示内切圆上点到原点的距离, 可得内切圆与y轴的交点为(0,)时,距离最大,最大距离为d=2r=, 所以(M+MB2)max=2×()2+2=.故选A. 8.ABD　解析 因为水不溢出,则长方体中水的体积不变,故A正确; 因为水面EFGH平行于地面,且棱BC固定在地面,即BC∥平面EFGH. 又平面BCC1B1∩平面EFGH=FG,BC⊂平面BCC1B1,则BC∥FG. 因为四边形EFGH恒为矩形,则BC∥FG∥EH. 又BC,AD都垂直于平面ABB1A1, 故FG,EH均垂直于平面ABB1A1, 则水的部分呈棱柱状,故B正确; 由题意,旋转过程中,四边形EFGH恒为矩形,且BC=FG=EH,而EF=HG在倾斜过程中会发生变化,故四边形EFGH的面积也会发生变化,故C错误; 当E在棱AA1上时,由B可知,水的体积V=AB·(AE+BF)·BC恒定不变. 又AB,BC长度不变,故AE+BF也为定值,故D正确.故选ABD. 9.①③　解析 对于①,因为CF∥AB,CF⊄平面ABD,AB⊂平面ABD, 所以CF∥平面ABD,所以①正确. 对于②,延长AB到G,使AB=BG,连接DG,如图. 因为E为AD的中点,所以BE∥DG. 因为DG与平面CDF交于点D,所以BE与平面CDF不平行,所以②不正确. 对于③,连接AC交BF于点O,连接OE,如图. 因为CD=2AB,F为CD的中点,所以AB=CF. 因为AB∥CD,所以四边形ABCF为平行四边形,即O为AC的中点. 因为E为AD的中点,所以OE∥CD. 又OE⊂平面BEF,CD⊄平面BEF,所以CD∥平面BEF,所以③正确. 10.(1)证明 连接BD. ∵四边形ABCD为平行四边形,G是线段BD的中点,则G,H分别是线段BD,DF的中点,故GH∥BF.又BF⊂平面BFC,GH⊄平面BFC,故有GH∥平面BFC. (2)解 存在,P是线段CD的中点. 由(1)可知,GH∥BF. 又GH⊂平面GHP,BF⊄平面GHP, ∴BF∥平面GHP.连接PG,PH, ∵P,H分别是线段CD,DF的中点, 则HP∥CF. 又HP⊂平面GHP,CF⊄平面GHP, ∴CF∥平面GHP. ∵BF∩CF=F,BF⊂平面BCF,CF⊂平面BCF,故平面GHP∥平面BCF. 学科网（北京）股份有限公司 $