课时规范练34 平面向量的数量积专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的运算、应用及投影，通过分层训练构建“定义-运算-应用”逻辑链条，渗透数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数量积运算|2题|坐标运算、几何分解|从向量加减运算切入，巩固数量积定义| |数量积应用|3题|垂直判定、模长计算、实际情境（物流向量）|结合垂直性质与模长公式，体现模型意识| |投影及其应用|1题+综合练|投影向量计算、夹角问题|衔接数量积几何意义，深化运算推理|

课时规范练34　平面向量的数量积 典例对点练 考点一　平面向量数量积的运算 1.(2026·湖南怀化模拟)已知向量a+2b=(-3,3),a-2b=(-1,-1),则a·(a-b)=(　　) A.5 B.3 C.-1 D. 2.(2026·广西柳州模拟)如图,在4×4的菱形网格(每个小菱形的边长均为1)中,向量a与b的夹角为,则c·d=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 考点二　平面向量数量积的应用 3.(2026·河北石家庄期中)某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式:D=3R+2J.已知条件如下:实际配送向量D=(15,9),交通拥堵修正向量J与向量(3,-3)垂直,|J|=3.配送效率等级通过“规划路线向量R的模(单位:km)”判定,标准如下表(一般情况下,认定“停滞”属于无效配送): 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 0.0—2.0 2.1—4.0 4.1—6.0 6.1—8.0 >8.0 若此次配送为有效配送,则此次配送的效率等级为(　　) A.超高效 B.高效 C.常规 D.低效 4.(2025·山西阳泉模拟)已知向量a,b,c满足|a|=|b|,a与b的夹角为,a+b+c=0,则a与c的夹角为(　　) A. B. C. D. 5.(2020·全国Ⅱ,文5)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 考点三　向量的投影及其应用 6.(2026·浙江绍兴模拟)已知向量a=(0,1),b=(1,k).若向量a+b在向量a上的投影向量为a,则k=(　　) A.-1 B. C.1 D. 素能综合练 7.(多选题)(2025·贵州六盘水水城区高三统考)已知向量a=(x,-2),b=(1,2),则下列结论正确的是(　　) A.若a-b=(5,-4),则x=6 B.若a⊥b,则x=2 C.若|a|=,则x=±3 D.若a∥b,则x=1 8.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 9.(2026·山东泰安模拟)已知向量a=(-3,1),b=(-1,2),则a-2b在b上的投影向量为(　　) A.() B.(-,-) C.(-1,2) D.(1,-2) 10.(2026·湖南邵阳模拟)已知向量a=(,m),b=(0,4),若<b,b-a>=,则实数m=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 11.(2026·北京丰台模拟)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若a-b+c=0,则|c|=(　　) A.1 B. C.2 D. 12.(2026·安徽蚌埠模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且=2,则= (　　) A.3 B.-1 C.-2 D.-3 13.(2026·广东佛山模拟)已知a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则a·c+2b·c的最大值为(　　) A. B.2 C. D.3 14.(多选题)(2026·江苏扬州期中)已知正三角形ABC的边长为3,且D为边BC的中点,则下列结论正确的有(　　) A.=0 B.上的投影向量为 C.()·=0 D. 15.(2026·湖北武汉模拟)已知向量a,b满足|a|=2,cos<a,b>=,且|a+b|=,则|b|=　　　　.  参考答案 课时规范练34　平面向量的数量积 1.B　解析 由已知得(a+2b)+(a-2b)=(-3,3)+(-1,-1)=(-4,2),即2a=(-4,2),所以a=(-2,1).(a+2b)-(a-2b)=(-3,3)-(-1,-1)=(-2,4),即4b=(-2,4),所以b=(-,1).因此a-b=(-,0),于是a·(a-b)=(-2)×(-)+1×0=3.故选B. 2.A　解析 由题图可知,c=-2a+2b,d=2a+3b,则c·d=(-2a+2b)·(2a+3b)=-4a2-2a·b+6b2=-4×1-2×1×1×cos+6×1=1.故选A. 3.B　解析 设交通拥堵修正向量J=(a,b),则解得即J=(3,3)或J=(-3,-3).当J=(3,3)时,由题意得R=,则R==(3,1),则|R|=,可知2.1<<4.0,此次配送为高效配送;当J=(-3,-3)时,R==(7,5),则|R|=>8,属于无效配送,不符合题意.故选B. 4.D　解析 设|a|=|b|=1,由题意得c=-a-b,所以a·c=a·(-a-b)=-a2-a·b=-|a|2-|a||b|cos=-1-=-,c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2=3,所以|c|=.所以cos<a,c>==-.又<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=.故选D. 5.D　解析 由题意可知,a·b=|a||b|cos 60°=.对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=≠0,不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=2≠0,不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-≠0,不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D. 6.B　解析 因为向量a=(0,1),b=(1,k),所以向量a+b在向量a上的投影向量为a=(k+1)a=a,于是k+1=,解得k=.故选B. 7.AC　解析 对于A,a-b=(x-1,-2-2)=(5,-4),所以x-1=5,解得x=6,故A正确; 对于B,因为a⊥b,所以a·b=x·1+(-2)×2=0,解得x=4,故B错误; 对于C,|a|=,解得x=±3,故C正确; 对于D,因为a∥b,所以x·2-1×(-2)=0,解得x=-1,故D错误.故选AC. 8.D　解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.故选D. 9.D　解析 因为a-2b=(-3,1)-2(-1,2)=(-1,-3),则(a-2b)·b=-1×(-1)+(-3)×2=-5,|b|=,故a-2b在b上的投影向量为·(-1,2)=(1,-2).故选D. 10.D　解析 由题意知b-a=(-,4-m),因为cos<b,b-a>=,化简得m2-8m+15=0,解得m=3或m=5,由<b,b-a>=,得16-4m>0,因此m=3.故选D. 11.A　解析 因为a-b+c=0,所以c=b-a, 所以|c|=|b-a|= = = ==1. 故选A. 12.D　解析 依题意,由=2可得,所以)=)-=-,因此=()·(-)=|2-|2=-3.故选D. 13.C　解析 由题意(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+4+0=5,则|a+2b|=,设a+2b与c的夹角为θ,则a·c+2b·c=(a+2b)·c=×1×cos θ=cos θ,显然最大值为,此时θ=0.故选C. 14.ACD　解析 +(-)=0,故A正确;上的投影向量为= =-=-,故B错误;因为D为边BC的中点,所以=2,又因为AB=AC,所以AD⊥BC,所以()·=(2)·=2()=2×0=0,故C正确;依题意∠BAD=30°,||=3,cos 30°=,||=×3=,所以=3×=3×=3×,故D正确.故选ACD. 15.2　解析 由|a+b|=,得|a|2+2a·b+|b|2=10,即4+2×2·|b|×+|b|2=10,整理得|b|2+|b|-6=0,解得|b|=2(|b|=-3舍去). 1 学科网（北京）股份有限公司 $