第03讲 平面向量的数量积及其应用（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以数量积为核心，通过11类题型构建从基础运算到跨学科应用的三阶训练体系，强化几何直观与运算推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|15题|单位向量、三角形中数量积/模长/夹角计算|从定义出发，覆盖数量积核心性质| |性质应用|10题|垂直求参数、投影向量坐标表示|性质到应用，衔接几何图形分析| |综合拓展|12题|几何动点最值、物理受力分析|结合圆/三角函数，发展应用意识| |创新交汇|10题|新定义运算、跨学科融合|对接高考新题型，培养创新思维|

第03讲 平面向量的数量积及其应用 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 求平面向量的数量积 2 题型02 平面向量的模长 2 题型03 平面向量的夹角 3 题型04 垂直的综合运算 3 题型05 投影向量 4 题型06 求参数值或取值范围问题 4 题型07 求数量积的取值范围问题 5 题型08 向量在几何中的应用 5 题型09 向量在物理中的应用 6 题型10 平面向量的新定义问题 6 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 7 重难·创新演练 7 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考查重点：围绕平面向量数量积核心知识展开，综合考查数量积运算、模、夹角、垂直关系、投影向量基础内容，同时结合平面几何图形、动点轨迹以及物理受力、位移场景综合命题。 题型01 求平面向量的数量积 1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 3.在中，已知，，，则（    ） A．36 B．18 C． D． 4．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 题型02 平面向量的模长 6．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．2 C． D．3 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量，则（    ） A． B．5 C． D．25 8．（2026·四川广元·二模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 题型03 平面向量的夹角 11．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·广西河池·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山西太原·二模）已知，则向量与夹角为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 15．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量满足，则_________． 题型04 垂直的综合运算 16．（2026·陕西渭南·二模）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．9 D．11 17．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（    ） A． B． C． D．2 19.若向量，，则（    ） A． B． C． D． 20．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型05 投影向量 21．向量，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 23.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 24．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型06 求参数值或取值范围问题 27．已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 28．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型07 求数量积的取值范围问题 29．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 30．在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 31．已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型08 向量在几何中的应用 34．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 35..已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 36．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 题型09 向量在物理中的应用 37.共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ） A． B． C． D． 38.如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 39.如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 . 题型10 平面向量的新定义问题 40.定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 41.如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 42．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 43．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 45．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 重难·创新演练 设题创新: 依托圆与三角函数融合动点最值问题，设置向量自定义新运算题型，融入船只航行、力做功等物理实际情境，多以各地模拟考为载体设计参数范围类综合设问。 1．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 2．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（    ） A． B．1 C． D． 4．【新考法】（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．【新载体】（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（    ） A． B． C．7 D．21 6．【新交汇】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．【新思维】（2026·陕西·二模）已知向量满足.当与的夹角最大时，（    ） A． B．2 C． D． 8．【新定义】（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2025·重庆·二模）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，， 10．（多选）（2026·甘肃·一模）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 11．【新考法】（多选）（2026·广东东莞·二模）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（    ） A．的夹角为 B． C． D． 12．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则__________． 13．【新交汇】（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为 __________． 14．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 真题·实战演练 高频考点：：向量数量积基础运算、向量模长计算、向量夹角求解、由向量垂直求参数、投影向量及投影模长、向量结合几何动点求最值。 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 5.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·上海·高考真题）已知,，求 __________． 7.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则__________． 8.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则__________． 9.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则__________． 10．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则__________． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量的数量积及其应用 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 求平面向量的数量积 2 题型02 平面向量的模长 3 题型03 平面向量的夹角 5 题型04 垂直的综合运算 6 题型05 投影向量 8 题型06 求参数值或取值范围问题 10 题型07 求数量积的取值范围问题 11 题型08 向量在几何中的应用 15 题型09 向量在物理中的应用 17 题型10 平面向量的新定义问题 18 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 20 重难·创新演练 23 真题·实战演练 29 模拟·基础演练 考查重点：围绕平面向量数量积核心知识展开，综合考查数量积运算、模、夹角、垂直关系、投影向量基础内容，同时结合平面几何图形、动点轨迹以及物理受力、位移场景综合命题。 题型01 求平面向量的数量积 1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得． 故选：D 2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 故选：A. 3.在中，已知，，，则（    ） A．36 B．18 C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理求出，然后由向量数量积的定义求解即可. 【详解】在中，已知，，， 由余弦定理得 . 故选：D． 4．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】中，由，得，，又，且点在上，则，所以. 故选：C． 5．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则. 故答案为：/ 题型02 平面向量的模长 6．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】依题意得，则. 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量，则（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】C 【分析】根据已知条件可知是相反向量，从而可得的坐标，根据向量减法的坐标运算可得的坐标，最后可求出模；也可以根据向量数量积的性质求解. 【详解】方法一：因为，所以， 所以，所以. 方法二：因为，所以，， 所以，又，所以， 所以. 故选：C 8．（2026·四川广元·二模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D 9．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 10．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题得，， 所以，所以. 故选：C 题型03 平面向量的夹角 11．（2026·江西萍乡·一模）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用展开，结合向量数量积公式即可求解夹角. 【详解】已知，则，所以， 则.设与的夹角为，则，又，故，所以与的夹角为. 故选：C 12．（2026·广西河池·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，因为，所以，即与的夹角为. 故选：B 13．（2026·山西太原·二模）已知，则向量与夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，将代入化简可得，所以，所以向量与夹角为. 故选：B 14．（2026·山东临沂·一模）已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【答案】 【分析】先求得，然后利用向量的夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，进而求得其正切值. 【详解】，所以，设向量与的夹角为，则，由于，所以，所以. 15．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量满足，则_______． 【答案】 【详解】，，设，则，． 故答案为： 题型04 垂直的综合运算 16．（2026·陕西渭南·二模）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．9 D．11 【答案】D 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，所以. 故选：D 17．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，由， 得，所以，解得． 故选：A 18．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ，展开整理得，又因为，故，，，代入等式得：，解得. 故选：A 19.若向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量垂直的坐标运算，化简即可得到答案. 【详解】由，得，因为，所以，所以. 故选：A. 20．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果. 【详解】由，可得， 因为，所以，即，解得， 则，则. 故选：A. 题型05 投影向量 21．向量，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】向量，，则，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：D 22．（2026·广东深圳·一模）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义及计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 23.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，向量，所以 向量在向量上的投影向量的模为， 故选：B. 24．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解. 【详解】，则向量， 则在的投影向量为， 故选:A． 25．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法求得，然后利用投影向量的公式求得结果. 【详解】，∴. 故选：A. 26．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点，又因为为的外接圆圆心，所以，又因为，所以，所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即，为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D.      题型06 求参数值或取值范围问题 27．已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】依题意可得、、、均不为，将两式相除得到，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 28．已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以，，解得. 故选：B 题型07 求数量积的取值范围问题 29．（2026·甘肃兰州·一模）在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点， 所以，，则. 所以，.所以 . 故选：C 30．在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，假设点的坐标，进而可表示成关于角的三角函数，结合辅助角公式及正弦函数的图象可求其最大值. 【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，点在以为圆心，1为半径的圆上，设 为等边三角形，， ， ， ， 当，即时，， 故选：B. 31．已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，且，，再应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围. 【详解】由题设， 设，则. 利用辅助角公式： 因为，所以. 综上，的取值范围是. 故选：A 32．如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立两个不同的平面直角坐标系，对点位置分类讨论，结合圆的参数方程设出其坐标，利用平面向量积的坐标表示将表示为三角函数，再利用辅助角公式结合三角函数的有界性求解值域，最后两种情况再取并集即可. 【详解】首先，作的中点，我们对的位置分类讨论， 当在以为圆心的半圆弧上运动时， 如图，以中点为原点建立平面直角坐标系， 因为在等边中，，所以，， 则半圆的方程为，的参数方程为是参数，且， 得到，故，， 则， 因为，所以，得到， 即，故， 即此时， 其次，作的中点， 当在以为圆心的半圆弧上运动时， 如图，以中点为原点建立平面直角坐标系， 因为在等边中，，所以，， 则半圆的方程为，的参数方程为是参数，且， 得到，故，， 则， 因为，所以，得到， 即，故，即此时， 综上，可得，故D正确. 故选：D 33．设为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设点坐标，由此可得对应点的轨迹，采用三角换元法，根据向量坐标运算可将表示为关于的函数，结合正弦函数值域可求得结果. 【详解】由题意可设：，，， ，， ，即， 可令，， ，. 故选：C. 题型08 向量在几何中的应用 34．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得，设,，结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得当、、三点共线时取得最小值． 【详解】由已知， 设,，则， 作关于直线的对称点，连接、、、， 则，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，当且仅当、、三点共线时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 35..已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】通过平方，求得，结合余弦定理求得，再结合面积公式求得点D到的距离，进而可求解. 【详解】已知，， 对平方得. 因为，， 设，，则， 所以，即，解得，有. 在中，由余弦定理有，可得， 设点到的距离为，有.已知，设点D到的距离为， 由，解得，则的最小值为. 故选：C 36．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，，， 取的中点，连接，点为外接圆的圆心，， . 故答案为： 题型09 向量在物理中的应用 37.共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积的坐标运算可得出共点力对物体做的功. 【详解】根据题意得：共点力的合力是， 对物体做的功为. 故选：D. 38.如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短，设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知，则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 39.如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 . 【答案】 【分析】根据向量的加法法则、向量数量积的运算律，结合题中条件即可求解. 【详解】依题意，，则， 即，解得. 故答案为：. 题型10 平面向量的新定义问题 40.定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】设与互为“等模整向量”的向量，根据定义求解即可. 【详解】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或，令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个. 故选：B. 41.如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 又三点共线，所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以，由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以， 所以，所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，则， 所以，所以， 所以，则， 所以 ，即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 42．（2026·山东日照·一模）若向量，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得，再代入余弦的倍角公式即得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 43．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设.已知，，所以. 则，即.因表示点到原点的距离，而点是直线上的点，故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大，所以的取值范围是. 故选：A 44．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，设，则，， 因为，所以，所以点的轨迹方程为， 直线方程为，联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，，此时直线方程为， 令，解得，所以，设，其中， 则，， 所以 ，其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 故选：B 45．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形中，，，，点在四边形所在平面上，且满足，，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点建立如图所示直角坐标系， 因为，，，所以， 因为，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 设点， 因为，所以， 所以，解得，所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 故选：C 重难·创新演练 设题创新: 依托圆与三角函数融合动点最值问题，设置向量自定义新运算题型，融入船只航行、力做功等物理实际情境，多以各地模拟考为载体设计参数范围类综合设问。 1．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求即可． 【详解】，，，又， ，解得，． 故选：D 2．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：，整理可得：，根据数量积定义可得：，又因为，所以，又因为为非零向量，所以，所以等式约去，整理可得：. 故选：A 3．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以，即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为，所以，即. 故选：B 4．【新考法】（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即，所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为,因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 故选：A 5．【新载体】（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（    ） A． B． C．7 D．21 【答案】A 【详解】由向量，可得，因为，且与夹角为，所以，则，所以. 故选：A 6．【新交汇】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示，将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为，由，所以，两边平方化简整理得，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以，化简得.由圆方程可知，，所以，即. 故选：C 7．【新思维】（2026·陕西·二模）已知向量满足.当与的夹角最大时，（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将平方后换元，利用向量的夹角公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解即可. 【详解】将平方得，令，则，所以，设与的夹角为，当时，，与条件矛盾，所以，又，分子分母同时除以，，令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，，所以当与的夹角最大时，. 故选：B 8．【新定义】（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件平面建系设出、、并判断所在象限，再用辅助角公式化简并结合所在象限求解即可. 【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，由函数可知． 不妨设，，，， 所以，，所以，所以， 则有，因为， 所以，所以，所以. 故选：A. 9．（多选）（2025·重庆·二模）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，， 【答案】ABD 【分析】利用向量的坐标运算，按选项逐个判断即可． 【详解】已知，，，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，若，则，即，故B正确；对于C，，若，则，，所以不一定成立，故C错误；对于D，，由，则，所以，，，故D正确 故选：ABD. 10．（多选）（2026·甘肃·一模）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 11．【新考法】（2026·广东东莞·二模）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（    ） A．的夹角为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意求得，从而可得，即可判断A；求得，从而判断B；求出、，从而判断C，D. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，且，所以，即， 所以，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD 12．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． 【答案】 【分析】先求，，再结合定义求向量在方向上投影向量的模长，列方程可求结论. 【详解】因为，，所以 ， 所以 所以向量在方向上投影向量的模长为，又，所以 ，因此. 故答案为： 13．【新交汇】（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 故答案为： 14．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可. 【详解】，，即，， ，当时，取得最小值. 故答案为： 真题·实战演练 高频考点：：向量数量积基础运算、向量模长计算、向量夹角求解、由向量垂直求参数、投影向量及投影模长、向量结合几何动点求最值。 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以，所以即，故， 故选：D. 3.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 4.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 5.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 6．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【答案】4 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意得 故答案为：4 7.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则___________． 【答案】/ 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 8.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则_________. 【答案】 【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案 【详解】∵∴∴. 故答案为：. 9.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则________． 【答案】. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得, 故答案为：. 10．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 24 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $