课时规范练34 平面向量的数量积-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的定义应用与坐标运算，通过基础巩固与综合提升两级训练，系统覆盖模长、夹角、投影等核心考点，强化几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题（含2024新高考Ⅰ真题）|坐标运算、垂直关系、投影向量、模长计算|从定义到坐标表示，构建“数量积公式→模长/夹角计算→几何应用”的递进逻辑| |综合提升练|5题|几何图形中的向量关系、最值问题、参数求解|结合三角形、平行四边形等几何背景，深化数量积在复杂情境中的应用，体现数学建模思想|

课时规范练34　平面向量的数量积 (分值:77分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2026·山东潍坊月考)已知向量a=(2,1),b=(1,m),若a·(2a+b)=15,则|a-b|=(　　) A. B. C.2 D. 2.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2026·山东泰安模拟)已知向量a=(-3,1),b=(-1,2),则a-2b在b上的投影向量为(　　) A.() B.(-,-) C.(-1,2) D.(1,-2) 4.(2026·湖南邵阳模拟)已知向量a=(,m),b=(0,4),若<b,b-a>=,则实数m=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2026·北京丰台模拟)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若a-b+c=0,则|c|=(　　) A.1 B. C.2 D. 6.(2026·安徽蚌埠模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且=2,则=(　　) A.3 B.-1 C.-2 D.-3 7.(2026·广东佛山模拟)已知a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则a·c+2b·c的最大值为(　　) A. B.2 C. D.3 8.(多选题)(2026·江苏扬州期中)已知正三角形ABC的边长为3,且D为边BC的中点,则下列结论正确的有(　　) A.=0 B.上的投影向量为 C.()·=0 D. 9.(2026·湖北武汉模拟)已知向量a,b满足|a|=2,cos<a,b>=,且|a+b|=,则|b|=　　　　.  10.(2026·湖北武汉期中)在△ABC中,已知=(1,),=(1,-),则△ABC的面积为　　　　　.  综合提升练 11.(2026·广东深圳模拟)已知α,β∈R,A(2cos β,2sin β),B(-2cos β,-2sin β),C(cos α,sin α),则=(　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 12.(2025·山东临沂三模)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,P为边CD上一点,若AP⊥BD,则线段AP的长为(　　) A. B. C.3 D.2 13.(多选题)(2026·辽宁大连模拟)已知|a|=1,|b|=2,|c|=2,且2a-b-c=0,则下列说法正确的有(　　) A.a⊥b B.若λa+3b(λ∈R)与2b+c共线,则λ=6 C.c在a上的投影向量为a D.若t∈R,则|a+tc|的最小值为 14.(2026·山东济南模拟)设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的圆弧AB上,如图,则的取值范围是　　　　.  15.(2025·北京通州期末)已知a,b,c是同一平面上的三个向量,满足|a|=|b|=2,a·b=-2,则a与b的夹角等于　　　　;若c-a与c-b的夹角为,则|c|的最大值为　　　　.  参考答案 课时规范练34　平面向量的数量积 1.B　解析 由题设2a+b=(5,2+m),又a·(2a+b)=12+m=15,解得m=3,则a-b=(2,1)-(1,3)=(1,-2),故|a-b|=.故选B. 2.D　解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.故选D. 3.D　解析 因为a-2b=(-3,1)-2(-1,2)=(-1,-3),则(a-2b)·b=-1×(-1)+(-3)×2=-5,|b|=,故a-2b在b上的投影向量为·(-1,2)=(1,-2).故选D. 4.D　解析 由题意知b-a=(-,4-m),因为cos<b,b-a>=,化简得m2-8m+15=0,解得m=3或m=5,由<b,b-a>=,得16-4m>0,因此m=3.故选D. 5.A　解析 因为a-b+c=0,所以c=b-a, 所以|c|=|b-a|= = = ==1. 故选A. 6.D　解析 依题意,由=2可得,所以)=)-=-,因此=()·(-)=|2-|2=-3.故选D. 7.C　解析 由题意(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=1+4+0=5,则|a+2b|=,设a+2b与c的夹角为θ,则a·c+2b·c=(a+2b)·c=×1×cos θ=cos θ,显然最大值为,此时θ=0.故选C. 8.ACD　解析 +(-)=0,故A正确;上的投影向量为=-=-,故B错误;因为D为边BC的中点,所以=2,又因为AB=AC,所以AD⊥BC,所以()·=(2)·=2()=2×0=0,故C正确;依题意∠BAD=30°,||=3,cos 30°=,||=×3=,所以=3×=3×=3×,故D正确.故选ACD. 9.2　解析 由|a+b|=,得|a|2+2a·b+|b|2=10,即4+2×2·|b|×+|b|2=10,整理得|b|2+|b|-6=0,解得|b|=2(|b|=-3舍去). 10.　解析 因为=(1,),=(1,-),所以||==2,||==2. 又因为=1×1+×(-)=-2, 所以cos<>==-. 因为0≤<>≤π, 所以<>=, 则∠ABC=π-<>=, 所以△ABC的面积为|||·sin∠ABC=×2×2×. 11.A　解析 因为A(2cos β,2sin β),B(-2cos β,-2sin β),C(cos α,sin α),所以=(cos α-2cos β,sin α-2sin β),=(cos α+2cos β,sin α+2sin β),所以=(cos α-2cos β)(cos α+2cos β)+(sin α-2sin β)(sin α+2sin β)=cos2α-4cos2β+(sin2α-4sin2β)=sin2α+cos2α-4(sin2β+cos2β)=-3. 12.A　解析 设+λ(λ∈R),如图,因为AP⊥BD,所以=(+λ)()=-λ+(λ-1)=0,即4-9λ+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=,所以,||==. 故选A. 13.ABD　解析 对于A,由2a-b-c=0可得2a-b=c,所以(2a-b)2=c2,得4|a|2-4a·b+|b|2=|c|2,又|a|=1,|b|=2,|c|=2,得-4a·b=0,所以a⊥b,故A正确;对于B,因为a⊥b,所以a与b不共线,因为c=2a-b,所以2b+c=2a+b,则λa+3b与2a+b共线,则λ=6,故B正确;对于C,c在a上的投影向量为a=a=(2a2-a·b)a=2a,故C错误;对于D,|a+tc|=|(2t+1)a-tb|=,当且仅当t=-时,|a+tc|取得最小值,最小值为,故D正确.故选ABD. 14. [0,16]　解析 取CD的中点E,连接PE,则=()·()=·()+· ·0--4,易知||∈[2,2],故∈[0,16]. 15.　4　解析 因为cos<a,b>==-,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=.设=a,=b,则∠BAC=.设=c,则=c-b,=c-a.因为c-a与c-b的夹角为,而<a,b>=,所以点D在两段优弧上(如图), 右上方的弧所在圆的半径为2,左下方的弧所在圆的半径为2且圆心为A,结合图形可得|c|的最大值为直径4. 学科网（北京）股份有限公司 $