第21章 二次函数与反比例函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册第21章二次函数与反比例函数培优冲刺单元卷，覆盖函数图像性质、方程应用等核心知识，通过分层设计与真实情境题提升综合解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数开口方向（2题）、反比例函数图像性质（6题）|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|4/20|函数图像与性质（12题）、抛物线交点问题（13题）|突出几何直观，考查推理意识| |解答题|9/90|实际应用（21题销售利润）、综合探究（23题四边形面积最值）|注重模型意识与运算能力，适配单元复习培优需求|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第21章二次函数与反比例函数培优冲刺卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D 0 BD B O A B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.k<312.0<x<2 13.114. (1,-4) 0<a≤1或a≤-4 三、解答题（共9小题，共90分） 15.【解析】解：设抛物线解析式为'=(x-+4。 把(-2，-5)代入得(-2-+4=-5 解得：a=-1, 所以抛物线解析式为：y=一(x-)+4 16.【解析】(1)解：设y+2=k(x-) 把x=3,y=4代入， 得4+2=-2 解得k=3 .y+2=3x-1) 即y=3x-5； (2)解：把 P(a,-3) 代入y=3x-5 得3a-5=-3 解得：a=3 答案第1页，共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 ∴a的值为 17.【解析】(1)设P (1.5,4) ,图像经过点 k :4=5 解得k=6 :y=6p>0): 0 =6=6-5 (2)把p=1.2代入'p1.2 ·由图象可得，要使密度P不高于 1.2kg/m' 的取值范围为"≥5 18,【解析】(1)解：y=r-2mr-3=(x-mP-m-3 ·该抛物线的顶点为m,-m-3) 把m,-m2-3) 代入y=-4x,得-m2-3=-4m, 整理，得m2-4m+3=0, m1=1m2=3 解得 当m=1时，抛物线的对称轴为直线x=1,1<3,符合题意， 当m=3时，抛物线的对称轴为直线x=3,3=3,不符合题意， 综上，m的值为1； y=x2-2x-3=(x-1)2-4 (2)解：由(1)可知 抛物线的对称轴为直线x=1, -3≤x≤2， “当=-3时，y有最大值，最大值为m=(（-3--4=12 答案第2页，共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=引时，y有最小值，最小值为 mn=(1-1)2-4=-4 即当-3≤x≤2时，y的取值范围是4≤y≤12. m 19.【解析】(1)解：由题意，4(-6,1)在反比例函数y=x的图象上， ∴.m=（-6)×1=-6 “反比例函数为少=-6 x, 将B1,m)代入y=-6 .n=-6 B(1,-6) 由题意，将1(-6，，81-6)分别代入=c+b,得 -6k+b=1 1k+b=-6, [k=-1 解得b=-5, ·一次函数为y-x-5: (2)如图，设直线y=-x-5与x=-2的交点为C, 把x=-2代入y=-x-5得y=-3, 答案第3页，共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即c(-2,-3) 设P(-2a) :△PAB的面积为21， 1 5.m=2x1+6)×a+3到=21， a+3=6 解得a=3或a=-9, P的坐标为23引或29列 20.【解析】解：设x=a2+b2,则原方程可化为x2-3x-10=0, 因式分解，得(x-5)x+2)=0, .x-5=0或x+2=0, 解得5出=2 .a2≥0，b2≥0， .a2+b2≥0， a2+b2=5. 21.【解析】（山）解：设该商品每天的销售量g)与销售单价x(元g)之间的函数 关系式为y=c+b (30,100)(40,80) 又图象过点 30k+b=100 40k+b=80 「k=-2 .b=160 .函数关系式为y=-2x+160 答案第4页，共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :销售单价不低于成本价30元/g,且不高于50元/g50元/g销售， .30≤x≤50 “每天的销售利润为”=(-30(-2x+160)=-2x2+20x-480 即"=-2r+20x-4800(30≤x≤50) (2)解：由(1)得：w=-2+220x-480=-2(c-55}+1250 ,-2<0,故当x<55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， 当x=50时，w有最大值，此时，w=1200, 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元. 1 22.【解析】(1)解：点40,2)，点B(6,0.5)在抛物线y=-8x+br+c上， [2=c 1 0.5=-。×36+6b+c, 8 6=1 2 解得： c=2, 12.1 拋物线方程为y=一。x+ x+2= 8 2 8-2}+ 2 ∴抛物线的顶点坐标为 (2)解：：点B(6,0.5),BC1OC,点C在x轴上， .C(6,0) A0,2),C(6,0) ∴设直线AC的解折式为，=在+2，即0=6+2，解得：长= 答案第5页，共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 故直线4C的解析式为y=-3x+2, ,点M在直线AC上， (1 设Mm,3m+2m>0」 设（ MA=NA,MN⊥x轴， 六点4在MW中垂线上，故 yu +yN=2y=4 解得：3m+2, (1 Wm写m+2 ,点N在抛物线上， 。1 1 8m+2m+2,整理得：m3m-4)=0, 解得：m=0(含)或行，此时了m+2=4 4 1 9, 信》 则d表示小树高， 设N=DE=山，则=+名=4在0X<6上有两聚，月n为其丰较小据， 8 6 即直线d=d,与抛物线d=。x 8x+6x在0<x<6上有两交点 当x=6时、d=×6+5={ 8 2, 1 .51 2 。x2+二x= 令8+6=2，得 =3或x=6（舍去)， 答案第6页，共7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 <m<6 3 又dr+5 1.10225 8 6 8 3 18, 10 对称轴为x= 3, 12.5 10 m为直线d=d,与抛物线d=8+。两交点中靠左一点的横坐标，故m< 3 2 10 综上，3m< 3； 23.【解折1解：将1(-1,0，B(B.0)代入J=a+-3,得： a-b-3=0 .9a+3b-3=0, [a=1 b=-2, y=x2-2x-3 (2)解：过点P作PN⊥x轴于点N,如图所示， B 令x=0,则y=-3, C(0-3) .0C=3, :P为第四象限内抛物线上一点，设点P(m,m-2m-30<m<3) 答案第7页，共7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PN=-(m-2m-)=-m+2m+3,ON=m B(3,0), .OB=3, .BN=3-m, ,S=S格形PNOc+S,PN8 -号oc+Pw)oN+Pv.aN =号6-m+2m+3m+(-m+2m+30-m） 、3 3 :2<0 3 63 “当m=2时，S有最大值，S大值= 8· (3)解：如图， ON⊥x轴，PMLx轴， .ON∥MP, .∠ANO=∠APM, :∠MPA=2∠PAC, ∠ANO=2LPAC, 答案第8页，共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠NAC=∠NCA, .AN=CN, 设N0,),则4WN=CN=n-(-3)=n+3 ∴1+n2=(n+3)2 3 答案第9页，共7页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数 培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 3．（本题4分）将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 5．（本题4分）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（本题4分）在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（本题4分）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 9．（本题4分）如图，矩形是由三个矩形拼接成的，如果，阴影部分的面积是48，另外两个小矩形全等，设，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（本题4分）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A．B．C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 12．（本题5分）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 13．（本题5分）若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则__________． 14．（本题5分）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 3、 解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 16．（本题8分）已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 17．（本题8分）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 18．（本题8分）已知抛物线（为常数）．该抛物线的顶点位于直线上，抛物线的对称轴距轴的距离小于3． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 19．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 20．（本题10分）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 21．（本题12分）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 22．（本题12分）如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． (2)若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． (3)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围． 23．（本题14分）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数 培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 2．（本题4分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 3．（本题4分）将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移规律即可得到答案． 【详解】解：将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为，即， 故选：C． 4．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，可知Δ＞0，进一步求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且． 故选：B． 5．（本题4分）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 6．（本题4分）在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 7．（本题4分）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 8．（本题4分）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象解不等式，把不等式整理，可得：，即，由函数图象可知当时，不等式成立． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 即， 由函数图象可知，当时， 二次函数的图象在一次函数的图象上边， 不等式的解集为． 故选：C． 9．（本题4分）如图，矩形是由三个矩形拼接成的，如果，阴影部分的面积是48，另外两个小矩形全等，设，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意用含x的式子表示阴影部分的面积．根据两个小矩形全等，得到对应线段的长，进而算出阴影部分的长和宽，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点F， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积是48， ∴． 故选：A． 10．（本题4分）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则， ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线． ∴综上，可得B正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 【答案】 【分析】考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意得： ，则 故答案为：． 12．（本题5分）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可得点在抛物线上，再由抛物线开口向下，得到离对称轴越近函数值越大，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，且与y轴交于点， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 13．（本题5分）若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标，根据对称点求出抛物线的对称轴为，然后得到抛物线的解析式为，然后把点的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 故答案为：． 14．（本题5分）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】设顶点式，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把（﹣2，﹣5）代入得， 解得：a＝﹣1， 所以抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解． 16．（本题8分）已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． （1）根据正比例的定义设，将把，代入解方程求出即可; （2）把点代入求出的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设 把，代入， 得 解得 ∴， 即； （2）解：把代入， 得 解得： ∴的值为． 17．（本题8分）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； （2）把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 18．（本题8分）已知抛物线（为常数）．该抛物线的顶点位于直线上，抛物线的对称轴距轴的距离小于3． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)m的值为1 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质（顶点式、对称轴、函数值取值范围），解题的关键是将抛物线化为顶点式，结合直线方程和对称轴条件求解参数，再根据二次函数单调性求区间内的最值． （1）通过配方法将抛物线化为顶点式，得到顶点坐标后代入直线方程，结合对称轴距y轴的距离条件，求解m的值． （2）由（1）得抛物线顶点式，根据开口方向和对称轴，结合给定区间，确定区间内函数的最大、最小值，进而得到y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点为， 把代入，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线的对称轴为直线，，符合题意， 当时，抛物线的对称轴为直线，，不符合题意， 综上，m的值为1； （2）解：由（1）可知， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为； 当时，y有最小值，最小值为； 即当时，y的取值范围是． 19．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 20．（本题10分）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键．设，则原方程可化为，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴， ∴． 21．（本题12分）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法，最大值的求法，读懂题意列出函数关系式是解答关键. （1）设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为，求出它的解析式，再利用销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售来求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式来求解. 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为， 又图象过点、， ∴ ∴函数关系式为． ∵销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售， ∴． ∴每天的销售利润为， 即； （2）解：由（1）得： ， ∵，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元． 22．（本题12分）如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． (2)若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． (3)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据在抛物线上建立方程组求解并将解析式整理成的形式即可得解； （2）先求出直线的解析式，进而设，根据题意得到点在中垂线上，进而由中垂线性质（若为中垂线，则且与交点为中点）解得，得到，根据点在抛物线上即可建立方程求解； （3）取，表示任意位置的小树高，设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点，为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ， 解得： ， ∴拋物线方程为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵点，点在轴上， ， ， ∴设直线的解析式为，即，解得：， 故直线的解析式为， ∵点在直线上， 设， ∵轴， ∴点在中垂线上，故， 解得：， ， ∵点在抛物线上， ∴，整理得：， 解得：（舍）或，此时， ． （3）解：令， 则表示小树高， 设，则在上有两解，且为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当时，， 令，得或（舍去）， ， 又， 对称轴为， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，； 【点睛】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解一元二次方程，中垂线的性质，等知识点，解题的关键是理解题意． 23．（本题14分）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 试卷第20页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内 ※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章二次函数与反比例函数 培优冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（本题4分）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．y有最小值是3 C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大 3．（本题4分）将二次函数的图像向上平移6个单位，向左平移2个单位后得到的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 5．（本题4分）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（本题4分）在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（本题4分）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 9．（本题4分）如图，矩形是由三个矩形拼接成的，如果，阴影部分的面积是48，另外两个小矩形全等，设，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（本题4分）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（    ） A．B．C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．（本题5分）若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 12．（本题5分）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 13．（本题5分）若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则__________． 14．（本题5分）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 3、 解答题（共9小题，共90分） 15．（本题8分）已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 16．（本题8分）已知与成正比例函数关系，且时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 17．（本题8分）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 18．（本题8分）已知抛物线（为常数）．该抛物线的顶点位于直线上，抛物线的对称轴距轴的距离小于3． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 19．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 20．（本题10分）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 21．（本题12分）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请分别求出与，与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 22．（本题12分）如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． (1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． (2)若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． (3)若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围． 23．（本题14分）如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $