第十五 对称图形与等腰三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第十五章对称图形与等腰三角形单元测试卷，覆盖轴对称、等腰三角形性质与判定等核心知识，结合古算诗词、新能源充电等文化与生活情境，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|轴对称图形识别、坐标对称、角平分线性质|古算诗词题（第2题）融合文化，新能源充电站选址（第5题）体现应用意识| |填空题|6/18|折叠性质、角平分线面积计算、动点最值|长方形折叠（第12题）考查空间观念，角平分线与面积结合（第13题）强化推理| |解答题|8/72|轴对称作图、等腰三角形证明、镜面反射项目|光的镜面反射项目（第23题）培养数学建模与创新意识，作图与计算综合（第17题）提升几何直观|

第十五章对称图形与等腰三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列图形中是轴对称图形的是() 2.中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文 学浪漫形式.下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁” “勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是() B 3.下列两图形成轴对称的是( (-2,3) 4.在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点P的坐标为() A.（-2,-3) B.(2,-3) c.(3,-2) D.（3,2) 5.某区计划在公路m旁修建一座新能源汽车充电站P,使充电站P到A、B两个小区之间 的距离之和最短的方案是() B B m m 试卷第1页，共3页 B B P m m 6.如图，在AABC中，∠C=90,分别以点AB为圆心，大于24B的长为半径作弧， 两弧相交于点M、N,作直线MN交BC于点D,连接AD.若∠B=14°，则∠DAC的大 小为() A.26° B.62° C.72° D.77° 7.如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水 头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在() A,三角形最长的边的中点处 B.三角形三条中线的交点处 C.三角形三条高线的交点处 D.三角形三条角平分线的交点处 8.如图，己知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论 不一定正确的是() A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 试卷第2页，共3页 9.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60，其三条角平分线交于点0， S.8oS,acS,co（) B A.1:1:1 B.4:5:6 C.3:4:5 D.5:4:6 10.如图，等边△ABC，,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF于点E,若AD=9,则 DE的长为() G 9 9 A 4 B.2 C.3 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有一个 12.如图，点E,F分别在长方形ABCD的边AB,CD上，AB川CD,把长方形纸片 1BCD沿EF折叠，A,D两点的对应点分别是，D,若A=2∠2，则45F= 试卷第3页，共3页 13.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E.△ABC的面积为20， AB=12,DE=2,则BC的长为一 14.如图，在△ABC中，BI,CI分别平分∠ABC,∠ACF交于点I,过点I作DI∥BC 交AB于点D,交AC于点E,若BD=8cm,DE=3cm,则CE等于 D 15.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=6,OB=8,连接 AB,C是AB的中点，P是△AOB内一动点，连接PA,PO,PB,PC,保持△BOP的 面积始终为8，当PA+PC取最小值时，点P的坐标是 B 16,刻图，△1BC的边BC的长为 cm “,面积为 2m,MB边的垂直平分线F交41C于 点F,若D为BC边上的动点，M为线段EF上一个动点，则BM+DM的最小值为 cm 试卷第4页，共3页 M 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，已知△1BC的三个顶点的坐标分别为4(-1,3)B(-3,.C(0,) ym B 4-3-2 2 (1)作出△ABC关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称的△4BC; ABB A (2)求四边形 的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点P,使得 △PBC与△4BG全等，若存在，请直 接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 18.如图，己知△ABC与△DCB关于直线MN成轴对称，∠A=90°， A B W (1)当∠DBC=34°时，求∠ABC的度数： 试卷第5页，共3页 (2)若AB=12,BM=13,则△BCM的面积为 19.校园一角的形状如图所示，其中AB,BC,CD表示围墙.现要修建一个垃圾投放点 P,使得点P到三面墙的距离都相等，请确定点P的位置. 7T77TT77TD 20.如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D,点E在边AB上，且BD=DE,EF垂直平 分AC,交AC于点F,连接CE. E D B (I)求证：AE=BC: (2)若△ABC的周长为21，AC=8,求△BCE的周长. 21.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于 点F,AG是△ABC的高，交BC于点G.已知：DE=3,AB=6,BC=8. (I)求DF的长： (2)求AG的长. 22.如图，BD是△ABC的高，点D是AC的中点，过点D作AB的垂线交AB于点E,交 BC的延长线于点F,∠F=30°. 试卷第6页，共3页 D (1)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AE=1,求AB的长。 23.根据以下素材，完成下面项目. 项目任务单： 《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 光线照射到平面镜上会发生光的 反射现象.根据光学规律：反射 入射 反射 光线与镜面所成的锐角，和入射 光线 光线 素材 光线与镜面所成的锐角大小相 2入1 C 0 D 等，例如：在图1中，有∠1=∠2 图1 完成项目： (I)项目1：如图2，已知有两个平面镜镜面AB与镜面CD,入射光线EF先后经镜面AB, CD形成反射，记反射光线分别为FG,GH. ①若∠AFE=60°，求∠EFG的度数. ②若LAFE=a,∠DGH=B,EF∥GH,求a,P之间的数量关系. D G B 图2 (2)项目2：如图3，现有三个平面镜AB,BC,CD,入射光线EF先后经镜面AB,BC」 试卷第7页，共3页 CD反射，反射光线依次为FG,GH,HⅢ，且满足FE∥HⅢ， ①若∠AFE=30°，∠DI=40°，求∠FGH的度数. ②求∠AFG,∠FGH,∠GHD的数量关系， D E 图3 :∠AFG+∠GHD+)∠FGH=360°（或等价形式2∠APG+2∠GHD+∠FGH=720等也 24.如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系xO少， △ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上. (1)请画出△ABC关于y轴对称的△ABC'(其中A,B,C分别是A,B,C的对应点， 不写画法)； (2)在x轴上求作点P,使PA+PB的值最小.（不需计算，在图上标记出点P的位置） (3)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，则所有符合条件的P点有一个. 试卷第8页，共3页 第十五章对称图形与等腰三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断即可． 【详解】A选项中的图形沿经过圆心的水平直线或竖直直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故A是轴对称图形； B选项中的太极图是中心对称图形，沿任何直线折叠两旁部分均不能重合，故B不是轴对称图形； C选项中的交通标志图形左右形状不同，找不到对称轴，故C不是轴对称图形； D选项中的风车状图形是中心对称图形，沿任何直线折叠两旁部分均不能重合，故D不是轴对称图形． 2．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 3．下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 5．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 6．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余求出的度数，最后作差即可得到所求的度数． 【详解】解：根据题目中的作图方法，可知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则． 7．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 8．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 9．如图，的三边的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 10．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 二、填空题(每题3分，共18分) 11．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 12．如图，点，分别在长方形的边，上，，把长方形纸片沿折叠，，两点的对应点分别是，，若，则__________． 【答案】72 【分析】由平行线的性质可知，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 14．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，连接，是的中点，是内一动点，连接，，，，保持的面积始终为8，当取最小值时，点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最值，一次函数的性质，熟练掌握利用轴对称求最值问题是解题的关键． 设点，根据题意得到、及，根据的面积始终为8，求出点在直线上，作点A关于直线的对称点，此时，当、P、C三点共线时，有最小值，求出直线的表达式，将直线表达式与直线联立求出点P坐标． 【详解】解：设点， 点在轴上，点在轴上，，， 、， 是的中点， ， 的面积始终为8， ， 解得， 点在直线上， 是内一动点， ， 作点A关于直线的对称点，此时，当、P、C三点共线时，有最小值， ， 设直线的表达式为， 将、代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 将直线表达式与直线联立得： ， 解得， 点P坐标为． 16．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 三、解答题(每题9分，共72分) 正确）． 17．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 18．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 19．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． 20．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 21．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 22．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 23．根据以下素材，完成下面项目． 项目任务单：《光的镜面反射》 项目 项目内容 图形 素材 光线照射到平面镜上会发生光的反射现象．根据光学规律：反射光线与镜面所成的锐角，和入射光线与镜面所成的锐角大小相等，例如：在图中，有． 完成项目： (1)项目1：如图，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线先后经镜面，形成反射，记反射光线分别为，． ①若，求的度数． ②若，，，求，之间的数量关系． (2)项目2：如图3，现有三个平面镜，，，入射光线先后经镜面，，反射，反射光线依次为，，，且满足． ①若，，求的度数． ②求，，的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①根据光的反射规律得，结合平角的定义即可解答； ②由反射规律得，， 结合平行线的性质即可解答； （2）①由反射规律得，， 结合平角的定义即可求出，， 过点作，根据和平行线的性质得出即可求解； ②设，，由反射规律得，， 则，，同①可得，再表示出，即可解答； 【详解】（1）解：①根据光的反射规律得：， ∵， ∴； ②由反射规律得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得； （2）解：①由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②设，， 由反射规律得：，， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴（或等价形式等也24．如图，在每个小正方形的边长都为1个单位的网格中建立平面直角坐标系， 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)请画出关于轴对称的△（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 ___ 个． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，点P即为所求； (3)10 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所求； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， 是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $