第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

第15章轴对称图形与等腰三角形 _姓名：___________得分：___________ 一、单选题 1．下列数学符号是轴对称图形的是（   ） A．≤ B． C． D．≌ 2．点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 4．如图，△ABC中，的垂直平分线交边于点E，的垂直平分线交边于点F，若，则的周长为（   ） A．16 B．24 C．28 D．30 5．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角，角的两边与x轴、y轴分别交于A，B两点，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6． 如图，在△ABC中，，，，直线垂直平分线段， 若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．14 7．下列说法中，不正确的是（   ） A．有两个角是的三角形是等边三角形 B．若△ABC中，，则是直角三角形 C．已知，，，则可以画出唯一确定的 D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 8．如图，在△ABC中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是，，则△ABC的周长为（　 ） A．9 B．15 C．21 D．24 二、填空题 9．如图，在△ABC中，，是边上的高，，，则的长为 ． 10．如图，在△ABC中，若，则 ． 11．电子钟示数“”的镜面对称像为 ． 12．如图，已知，，，，若，则的度数为 ． 13．如图，△ABC中，的角平分线、交于点，延长，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①平分；②：③；④；⑤． 三、解答题 14．如图是由边长为1的小正方形所组成的网格，四边形的顶点均在格点上，请在图中画出与四边形关于直线l对称的四边形． 15． 如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔， 按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的 距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中 用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 16.如图，已知△ABC中，，D是的中点，于E， 于F．求证： (1)； (2)． 17．如图，在△ABC中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 18．如图，在等边三角形中，为边上一点，为的延长线上一点，且，连接，交边于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若△ABC的边长为，求的长． 19．数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． (1)求证：； (2)如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点， 判断与的数量关系，并说明理由． 20．已知，△ABC中，，点D，E分别在，边上(不与、重合)，且． (1)如图1，若，则___________；若平分，则的度数为___________． (2)如图2，若，且点是边上的任意一点． ①当时，求证：； ②求证：的度数为定值．（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值） (3)如图3，若，当等于多少度时，是等腰三角形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第15章轴对称图形与等腰三角形测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B D C D B 1．C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 判断每个数学符号是否为轴对称图形，即是否存在一条直线使图形沿该直线折叠后两部分完全重合． 【详解】解：∵符号“+” 存在一条直线使图形沿该直线折叠后两部分完全重合， ∴它是轴对称图形； ∵符号“≤”、“≠”、“≌”均不存在一条直线使图形沿该直线折叠后两部分完全重合， ∴它们不是轴对称图形， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了关于轴对称的坐标点，解题的关键是熟悉并应用此知识点，根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变，纵坐标互为相反数. 【详解】∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为， 纵坐标变为相反数，为， ∴对称点的坐标为． 故选C． 3．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，结合给定角可能是顶角或底角，分类讨论进行计算即可求解． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两个相等的底角，且三角形内角和为， ∴ 若为底角，则底角为； 若为顶角，则底角为． ∴底角为或． 故选：D. 4．B 【详解】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是关键．由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度． 【解答】解：由垂直平分线的性质定理可得：，， ∴， ∴的周长为24． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为边的中点，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查等边三角形的判定、直角三角形的判定、全等三角形的判定以及角平分线的性质定理． 选项A和B根据三角形内角和定理判断正确；选项C根据HL定理可唯一确定三角形；选项D到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，因此不正确． 【详解】有两个角是的三角形，则第三个角也为，即为等边三角形，故A正确； ∵， ∴，故是直角三角形，故B正确； ∵，，， ∴根据定理，可唯一确定，故C正确； 到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故D不正确； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形周长的计算，通过证明等腰三角形，将的周长转化为即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ． 故选：B． 9． 【分析】本题考查含角的直角三角形，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．由角的直角三角形的性质推出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ ∴的长为． 故答案为： ． 10． 【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据电子钟示数与其镜面对称像左右对称，即可求解． 【详解】解：∵电子钟示数“”，“”与“”左右对称， ∴电子钟示数“”的镜面对称像为“”． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，同理可得，，依此类推得，其中为正整数，据此解答即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可得：，， 依此类推得：，其中为正整数， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13．①②③④⑤ 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④⑤． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， ∵，， ∴，， 又， ∴， 故答案为：①②③④⑤． 14．见解析 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图所示，四边形即为所求． 15．见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据等腰三角形三线合一的性质得出平分，然后根据角平分线的性质即可得证； （2）根据定理证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴平分， ∵，， ∴； （2）解：∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 18．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形三线合一等知识点，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）过作的平行线至于，易证是等边三角形，再证明，得出结论； （2）利用是等边三角形，，得出，再由，得出，由此得出与的关系解决问题． 【详解】（1）证明：如图， 过作交于点， ，， 为等边三角形， ， ， 是等边三角形； ， ∵， ， ∵， ， ． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 19．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．(1)60；60 (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，则可得，由此即可得； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据定理即可得证； ②先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； （3）先根据等腰三角形的性质可得，再设，则，，，然后两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质可得的值，在中，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：若，则， ∵， ∴； ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60；60． （2）证明：①∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为定值． （3）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时； 综上，当等于或时，是等腰三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $