专题01 二次函数及其图象与性质 暑假预习讲义 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

专题01二次函数及其图象与性质暑假预习讲义 1. 明晰概念定义：理解二次函数的含义，熟记二次函数一般形式 y=ax2+bx+c(a0)，能准确辨别二次函数，区分一次函数、正比例函数与二次函数的结构差异，掌握二次项系数不为0的核心判定条件。 2. 掌握建模方法：能从面积、运动轨迹等实际情境中抽象变量关系，正确列出二次函数解析式，并根据实际意义确定自变量的取值范围，初步建立二次函数数学建模思维。 3. 熟练作图技能：掌握二次函数描点法作图步骤，能规范画出 y=ax2 型基础抛物线图像，直观认识抛物线的开口、顶点、对称轴等基本图像特征。 4. 吃透基础性质：掌握二次项系数 a 对图像的影响，能根据 a 的正负判断开口方向、根据 |a| 大小判断开口宽窄，熟记基础二次函数的对称轴、顶点坐标与增减性规律。 5. 初步数形结合：能结合抛物线图像，直观判断函数增减变化、最值情况，学会用图像语言解释函数性质，初步形成“式图对应”的二次函数解题思维。 6. 规避基础易错：提前规避忽略 a0、自变量范围乱定、描点作图取值不合理、开口方向与增减性记混等高频问题，为后续复杂二次函数学习夯实基础。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.二次函数常见特殊形式 3.实际问题列函数解析式 4.y=ax2 (a≠0) 5.y=ax2+c(a≠0) 6.y=a(x+h)2(a≠0) 7.一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 8.顶点式：y=a(x+h)2+k (a≠0) 9.二次函数图象与abc的关系 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 9.y=ax2+bx+c的图象与性质 10.二次函数图象的平移 11.待定系数法求函数解析式 12.二次函数图象与各项系数符号 13.一次函数二次函数图象综合判断 14.抛物线上对称两点求对称轴 15.由二次函数的对称性求函数值 16.y=ax2+bx+c的最值 17.由二次函数对称性求最短路径 强化题型 解答题9题 知识点 1 二次函数定义 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是关于 x 的函数； a：二次项系数，a≠0（核心条件）； ax2：二次项； b：一次项系数，bx：一次项； c：常数项。 ⚠️辨析要点： 1.等式右边必须是关于自变量的整式； 2.自变量最高次数为2 次； 3.二次项系数不能等于 0； ❌反例：y=、y=x2+x 不是二次函数。 知识点 2 二次函数常见特殊形式 函数形式 说明 y=ax2（a≠0) 最简形式，b=0,c=0 y=ax2+c(a≠0) 缺少一次项，b=0 y=ax2+bx(a≠0) 缺少常数项，c=0 y=ax2+bx+c(a≠0） 一般式（通用形式） 知识点 3 根据实际问题列二次函数解析式 解题步骤： 1.审题，找出等量关系； 2.设自变量 x、函数 y； 3.根据等量关系列出等式，整理成 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.根据实际情况写出自变量取值范围。 知识点 4 基础模型：y=ax2 (a≠0) 图象特征 图象是一条抛物线；对称轴为 y 轴（直线 x=0）；顶点坐标 (0,0)。 系数条件 开口方向 增减性 最值 a>0 开口向上 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大 顶点为最低点；x=0时，y最小=0 a<0 开口向下 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小 顶点为最高点；x=0时，y最大=0 补充规律：|a| 越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 知识点 5 模型：y=ax2+c(a≠0) 由 y=ax2上下平移得到： c>0：向上平移 c 个单位；c<0：向下平移 |c| 个单位。 对称轴：直线 x=0（y轴） 顶点坐标：(0, c) 系数条件 开口方向 最值 a>0 向上 x=0，y最小=c a<0 向下 x=0，y最大=c 增减性与y=ax2保持一致，仅顶点上下移动。 知识点 6 模型：y=a(x+h)2(a≠0) 由 y=ax2左右平移得到： 口诀：左加右减（针对x） h>0：向左平移h个单位；h<0：向右平移|h|个单位。 对称轴：直线 x=-h 顶点坐标：(-h,0) 知识点7：一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 知识点 8 顶点式：y=a(x+h)2+k (a≠0) 1. 图象与平移规律 由 y=ax2 先左右平移，再上下平移得到。 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 2. 核心几何要素 图象：抛物线 顶点坐标：(-h,k) 对称轴：直线 x=-h 系数 开口方向 增减性 最值 a>0 向上 x<-h，y随x增大而减小；x>-h，y随x增大而增大 顶点最低点x=-h时，y最小=k a<0 向下 x<-h，y随x增大而增大；x>-h，y随x增大而减小 顶点最高点x=-h时，y最大=k 知识点9：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识的10高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 二次函数定义 忽略(a≠0)；把含x2但不是整式的函数判定为二次函数 必须同时满足整式、最高次数 2、a≠0三个条件 平移变换方向 左右平移搞反，分不清左加右减 只对x进行加减；上下平移直接在整体后加减常数 顶点坐标符号 顶点式y=a(x+h)2+k误以为顶点(h,k) x+h=x-(-h)，顶点横坐标为-h 对称轴公式记错 记成x= 标准公式：x=- 增减性不看对称轴 直接笼统说y随x增大增大 / 减小 必须以对称轴为分界，分两段讨论增减性 最值范围忽略 实际应用中自变量有取值限制，仍然直接套用顶点最值 顶点横坐标不在取值范围内时，最值出现在区间端点 左同右异使用混乱 单独依靠b正负判断对称轴 需要结合a的符号一起判断 题型1列二次函数关系式 【典例】如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 题型2.二次函数的识别 【典例】下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 【跟踪专练1】下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【分析】根据各选项的实际数量关系列出y与x的函数关系式，再结合二次函数的定义判断，二次函数定义为形如 (a，b，c为常数，且)的函数是二次函数． 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 【跟踪专练2】下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； B、当a＝0时，y＝ax2＋bx＋c不是二次函数，故此选项错误； C、是一次函数，故此选项错误； D、y＝2x（x﹣2）+1=2x2-4x+1是二次函数，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为0． 题型3.由二次函数定义求参数 【典例】若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【答案】0或 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可知且，从而解得a的值即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， 即且， ∴或． 故答案为：0或． 【跟踪专练1】若二次函数有最小值，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得． 【详解】解：二次函数有最小值， 抛物线开口向上，二次项系数为正数， ， 解得：， 故答案为： ． 【跟踪专练2】若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 【跟踪专练1】定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：画出函数与函数的图象， 则两个函数的图象的公共点的横坐标就是方程的根， 根据图象可知两个函数的图象共有两个公共点， 其中一个点是， 另一个点也在第三象限，且纵坐标为， 令 解得：（舍去）， ∴两个函数图象的公共点是， ∴方程的解为 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 【跟踪专练2】已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键． 根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案． 【详解】解：∵函数的图象上有三点，，， ， ， ， ， 故选：A． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴A、B、D都不正确，C正确． 故选C． 【跟踪专练1】已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，得到，即可得出结果． 【详解】解：当时，即：，此时，不符合题意； 当时，则：为二次函数，对称轴为轴， ∵当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性，是解题的关键． 根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大， ∵，，都在二次函数的图象上，且, ∴． 故选：B． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 根据形状相同，开口方向以及顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：根据形状相同，所以两个函数的相等， 根据开口向上，得出， 又∵顶点为， ∴解析式为， 故选：A． 【跟踪专练1】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 【跟踪专练2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】二次函数顶点式的对称轴为直线，直接根据顶点式即可得出结果． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故选：A． 【跟踪专练1】二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数顶点式的顶点坐标为， ∴的顶点坐标为． 【跟踪专练2】在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 【跟踪专练3】抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】将函数整理为顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，先把二次项系数化为1，再加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【跟踪专练2】把二次函数改写成顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于二次项系数是 1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式； 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：一般式：、、为常数)；顶点式：；交点式 （与轴）：． 题型9.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值．直接计算点A和B的纵坐标，的值，并比较它们与 1 的大小关系． 【详解】解：将，代入，得： ， ， ∴ ，即 ． 故选：A． 【跟踪专练1】请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． 【跟踪专练2】已知二次函数中自变量的部分取值和对应的函数值如表所示： … 0 1 2 … … 5 0 … 下列说法中正确的个数有（   ） ①函数图象开口向上；②函数图象与轴的交点坐标是，；③当时，随的增大而增大；④顶点坐标是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据当时和当时的函数值相同，得到对称轴为直线，则顶点坐标为，即可判断④，再由顶点处的函数值小于其他处的函数值得到该函数开口向上，则当时，y随x的增大而增大，即可判断①③，再由表格中的数据即可判断②． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为，故④正确； ∵，即顶点处的函数值小于当的函数值， ∴该函数开口向上，故①正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由表格可得函数图象过，再关于对称得， 所以函数图象与轴的交点坐标是，，故②正确； 综上，说法正确的共有4个． 故选：D． 题型10.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 【跟踪专练1】将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，按照“左加右减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标．解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度后得到解析式：，即， 故所得抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，把抛物线沿直线平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m），再根据 ，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式． 【详解】解：∵A在直线y=x上， ∴设A（m，m）， ∵， ∴， 解得, ∴A（1，1）， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减． 题型11.待定系数法求函数解析式 【典例】二次函数的图象经过点．其解析式为________． 【答案】 【分析】待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式．熟练掌握二次函数图象上的点的特征，是解题的关键． 【跟踪专练1】芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象，该图象的特点有：①开口向下；②顶点是原点；③过点（6，－6）．则该二次函数的解析式为（    ） A．y＝－x2 B．y＝x2 C．y＝－6x2 D．y＝6x2 【答案】A 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝ax2，然后把（6，−6）代入求出a即可． 【详解】解：设抛物线解析式为y＝ax2， 把（6，−6）代入得36a＝−6，解得a＝−， 所以抛物线解析式为y＝−x2． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 【跟踪专练3】如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 【典例】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　） A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0 C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴＞0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∵抛物线与x轴有一个交点， ∴Δ=0， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数（）的图像如图所示，其对称轴是直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有__________（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质．根据抛物线的开口向下，对称轴及与轴交点位置判断出，，，可判断①；根据时的函数值可判断②；由抛物线的对称性以及图像可判断③；由对称轴为直线及时的函数值可判断④；由对称轴得出函数的最大值，可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图像可知，时，， ∴，故②正确， ∵对称轴为直线， ∴时与时的函数值相等， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵当时，， ∴的最大值为， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述：正确结论有②③④． 故答案为：②③④ 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于，两点，下列结论中，错误的结论是（　　） A． B． C．图象的对称轴为直线 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，掌握判断利用数形结合方法是解题的关键． 根据图象二次函数图象与坐标轴的交点，判断A、B选项；根据二次函数图象与x轴的交点，得出对称轴为直线，判断C选项；根据对称轴和图象性质，判断D选项． 【详解】解：A、由图象知：抛物线与y轴正半轴相交， ∴，故此选项不符合题意； B、抛物线与轴有两个交点， ∴，故此选项不符合题意； C、∵抛物线与轴交于，两点， ∴对称轴为直线，故故此选项不符合题意； D、根据图象和对称轴，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故此选项符合题意； 故选：D． 题型13.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，能发现一次函数和二次函数过定点且根据a的正负进行分类讨论是解题的关键．根据函数表达式的特征，可发现一次函数和二次函数都过定点，再由a的正负进行分类即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴二次函数过定点， 当时，一次函数中y随x的增大而减小， 此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧， 所以A、B、C都不符合，D符合； 当时，一次函数中y随x的增大而增大， 此时抛物线的开口向下，没有符合条件的选项， 故选：D． 题型14.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】已知二次函数 的图象如图所示，试根据图象写出其对称轴为____________． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象的对称性可得与关于直线对称，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得：与关于直线对称 ∴二次函数 的对称轴为直线 故答案为：直线． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一元二次方程与函数图象的关系、利用二次函数图象的对称性求对称轴，理解一元二次方程的解与函数图象的关系是解题的关键． 根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标，再根据对称性即可得到对称轴． 【详解】的两个实数根分别为，， 抛物线与x轴的两个交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线． 故选：A． 【跟踪专练2】二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 题型15.由二次函数的对称性求函数值 【典例】已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线的对称性．由题意可得互为相反数，即，由此可以确定所求的函数值． 【详解】解：∵在中，抛物线的对称轴是y轴， 当分别取，时，函数值相等， ∴，互为相反数， ∴， 当时，． 故选：B． 【跟踪专练1】嘉嘉在画二次函数的图象时，将与的对应值列表如下，其中，是常数，则__________． … 0 1 … … 7 7 … 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的对称性．根据图表求出函数对称轴直线，再根据图表信息得到点和点、点和点都关于直线对称，据此求解即可． 【详解】解：，的函数值都是7， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点和点关于直线对称， 点和点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 题型16.y=ax2+bx+c的最值 【典例】2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为_______ 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将原关系式化为顶点式，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解： ， ∵， ∴函数有最大值． 即该枚烟花能达到的最大高度为米． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质 二次函数开口向下，顶点不在内，函数在上单调递减，最大值在左端点． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 由于，函数开口向下，且在对称轴右侧， ∴函数在区间上单调递减， ∴当时，最大值是t，． 故答案为：4． 【跟踪专练2】当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 【跟踪专练3】如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求得点、的坐标分别为、，根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，设反比例函数与线段相交于点时值最大，得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：点，轴，轴， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为、， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点相交时，最小， 设反比例函数与线段相交于点时值最大， 则， ， 当时，值最大为， 因此，的取值范围是． 17.由二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 【跟踪专练2】如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 解答题 1．写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 【答案】(1)，S是x的二次函数； (2)，S是x的二次函数； (3)，y是x的二次函数； (4)，C是r的一次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出S与x之间的函数关系式， （2）根据圆面积的公式即可得出函数解析式， （3）由正方形面积的计算方法可得出函数解析式， （4）由圆的周长的计算方法可得出函数解析式，由此即可判断函数类型． 【详解】（1）解：由三角形的面积计算方法可得：， S是x的二次函数； （2）由圆面积的计算方法可得：， S是x的二次函数； （3）由正方形面积的计算方法可得：， y是x的二次函数； （4）由圆的周长的计算方法可得：， C是r的一次函数． 2．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值． (2)当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ (3)当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)；最高点的坐标为；当时，随的增大而增大 (3)；最小值为；当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由于函数是二次函数，所以的次数为，且系数不为，即可求出满足条件的的值； （2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于，再根据（1）中结论即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质作答； （3）函数有最小值，则开口向上，系数大于，根据（1）中结论即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质作答． 【详解】（1）解：函数是关于的二次函数， 且， 解得：． （2）解：当抛物线有最高点时，抛物线开口向下，即， ， 最高点的坐标为． 当时，随的增大而增大． （3）解：当函数有最小值时，抛物线开口向上，即， ， 最小值为． 当时，随的增大而减小． 3．如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1) 解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 4．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)当时，随增大而增大． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过配方法配成顶点式即可； （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：列表： 描点，连线， 如图， （3）解：根据图象可知：当时，随增大而增大． 5．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 6．某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： (1)列表（完成下列表格）． … 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … (2)描点并在图中画出函数的大致图象； (3)根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移___________个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，直接写出使方程有四个解的的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2)图象见详解 (3)①3；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数进行代值求解即可； （2）根据（1）及描点、连线可画函数图象； （3）①由（1）可知：当时，方程有三个解，分别为或0或2，然后问题可求解； ②由表格可知：当时，方程有三个解，分别为或0或2，当时，方程有两个解，分别为或1，然后结合函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有；当时，则有；补全表格如下： … 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 2 3 6 … （2）解：由（1）及题意可得函数图象如下： （3）解：①由（1）可知：当时，方程有三个解，分别为或0或2， ∴当函数的图象向下平移3个单位长度后，图象与轴有三个公共点； 故答案为3； ②由表格可知：当时，方程有三个解，分别为或0或2， 当时，方程有两个解，分别为或1， ∴结合图象可知：方程有四个解的的取值范围为． 7．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）根据解析式画出图像即可； （3）求出当时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， ∵抛物线过点，代入得： ， ∴； （2）略； （3）解：当时， ； 当时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标， 即当时，的最大值为4， ∴抛物线上点到轴的距离不大于2时，． 8．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)解：； 证明：∵点和在二次函数， ∴， 得：， ∴， ∵点和在二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴. 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． （3）由点和在二次函数，可得，抛物线对称轴为直线，进一步证明即可. 【详解】（1）解：当时，图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． （3）略 9．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）． (1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小； (2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数图像的性质——对称性，理解对称性和尺规作图是解答本题的关键． （1）连接，相交于一点，连接，并延长相交于一点，连接两点的直线即为交于点， （2）连接并延长交抛物线一点，再连接与该点，并延长；同理作的这条直线，两直线相交于，过，作出的直线即为． 【详解】（1）如图所示，直线，点即为所求；    （2）如图所示，直线即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数及其图象与性质暑假预习讲义 1. 明晰概念定义：理解二次函数的含义，熟记二次函数一般形式 y=ax2+bx+c(a0)，能准确辨别二次函数，区分一次函数、正比例函数与二次函数的结构差异，掌握二次项系数不为0的核心判定条件。 2. 掌握建模方法：能从面积、运动轨迹等实际情境中抽象变量关系，正确列出二次函数解析式，并根据实际意义确定自变量的取值范围，初步建立二次函数数学建模思维。 3. 熟练作图技能：掌握二次函数描点法作图步骤，能规范画出 y=ax2 型基础抛物线图像，直观认识抛物线的开口、顶点、对称轴等基本图像特征。 4. 吃透基础性质：掌握二次项系数 a 对图像的影响，能根据 a 的正负判断开口方向、根据 |a| 大小判断开口宽窄，熟记基础二次函数的对称轴、顶点坐标与增减性规律。 5. 初步数形结合：能结合抛物线图像，直观判断函数增减变化、最值情况，学会用图像语言解释函数性质，初步形成“式图对应”的二次函数解题思维。 6. 规避基础易错：提前规避忽略 a0、自变量范围乱定、描点作图取值不合理、开口方向与增减性记混等高频问题，为后续复杂二次函数学习夯实基础。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.二次函数常见特殊形式 3.实际问题列函数解析式 4.y=ax2 (a≠0) 5.y=ax2+c(a≠0) 6.y=a(x+h)2(a≠0) 7.一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 8.顶点式：y=a(x+h)2+k (a≠0) 9.二次函数图象与abc的关系 10.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 9.y=ax2+bx+c的图象与性质 10.二次函数图象的平移 11.待定系数法求函数解析式 12.二次函数图象与各项系数符号 13.一次函数二次函数图象综合判断 14.抛物线上对称两点求对称轴 15.由二次函数的对称性求函数值 16.y=ax2+bx+c的最值 17.由二次函数对称性求最短路径 强化题型 解答题9题 知识点 1 二次函数定义 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是关于 x 的函数； a：二次项系数，a≠0（核心条件）； ax2：二次项； b：一次项系数，bx：一次项； c：常数项。 ⚠️辨析要点： 1.等式右边必须是关于自变量的整式； 2.自变量最高次数为2 次； 3.二次项系数不能等于 0； ❌反例：y=、y=x2+x 不是二次函数。 知识点 2 二次函数常见特殊形式 函数形式 说明 y=ax2（a≠0) 最简形式，b=0,c=0 y=ax2+c(a≠0) 缺少一次项，b=0 y=ax2+bx(a≠0) 缺少常数项，c=0 y=ax2+bx+c(a≠0） 一般式（通用形式） 知识点 3 根据实际问题列二次函数解析式 解题步骤： 1.审题，找出等量关系； 2.设自变量 x、函数 y； 3.根据等量关系列出等式，整理成 y=ax2+bx+c(a≠0)； 4.根据实际情况写出自变量取值范围。 知识点 4 基础模型：y=ax2 (a≠0) 图象特征 图象是一条抛物线；对称轴为 y 轴（直线 x=0）；顶点坐标 (0,0)。 系数条件 开口方向 增减性 最值 a>0 开口向上 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大 顶点为最低点；x=0时，y最小=0 a<0 开口向下 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小 顶点为最高点；x=0时，y最大=0 补充规律：|a| 越大，抛物线开口越窄；|a|越小，开口越宽。 知识点 5 模型：y=ax2+c(a≠0) 由 y=ax2上下平移得到： c>0：向上平移 c 个单位；c<0：向下平移 |c| 个单位。 对称轴：直线 x=0（y轴） 顶点坐标：(0, c) 系数条件 开口方向 最值 a>0 向上 x=0，y最小=c a<0 向下 x=0，y最大=c 增减性与y=ax2保持一致，仅顶点上下移动。 知识点 6 模型：y=a(x+h)2(a≠0) 由 y=ax2左右平移得到： 口诀：左加右减（针对x） h>0：向左平移h个单位；h<0：向右平移|h|个单位。 对称轴：直线 x=-h 顶点坐标：(-h,0) 知识点7：一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 知识点 8 顶点式：y=a(x+h)2+k (a≠0) 1. 图象与平移规律 由 y=ax2 先左右平移，再上下平移得到。 平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。 2. 核心几何要素 图象：抛物线 顶点坐标：(-h,k) 对称轴：直线 x=-h 系数 开口方向 增减性 最值 a>0 向上 x<-h，y随x增大而减小；x>-h，y随x增大而增大 顶点最低点x=-h时，y最小=k a<0 向下 x<-h，y随x增大而增大；x>-h，y随x增大而减小 顶点最高点x=-h时，y最大=k 知识点9：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识的10高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 二次函数定义 忽略(a≠0)；把含x2但不是整式的函数判定为二次函数 必须同时满足整式、最高次数 2、a≠0三个条件 平移变换方向 左右平移搞反，分不清左加右减 只对x进行加减；上下平移直接在整体后加减常数 顶点坐标符号 顶点式y=a(x+h)2+k误以为顶点(h,k) x+h=x-(-h)，顶点横坐标为-h 对称轴公式记错 记成x= 标准公式：x=- 增减性不看对称轴 直接笼统说y随x增大增大 / 减小 必须以对称轴为分界，分两段讨论增减性 最值范围忽略 实际应用中自变量有取值限制，仍然直接套用顶点最值 顶点横坐标不在取值范围内时，最值出现在区间端点 左同右异使用混乱 单独依靠b正负判断对称轴 需要结合a的符号一起判断 题型1列二次函数关系式 【典例】如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【跟踪专练1】跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【跟踪专练2】如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 题型2.二次函数的识别 【典例】下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【跟踪专练2】下列函数中一定是二次函数的是（　　） A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1 题型3.由二次函数定义求参数 【典例】若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____． 【跟踪专练1】若二次函数有最小值，则的值是______． 【跟踪专练2】若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【跟踪专练1】定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为_________． 【跟踪专练2】已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而减小 D．对称轴是 【跟踪专练1】已知，当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是________． 【跟踪专练2】若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【跟踪专练2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【跟踪专练1】二次函数的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【跟踪专练3】抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】将函数整理为顶点式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【跟踪专练2】把二次函数改写成顶点式为（    ） A． B． C． D． 题型9.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】已知点，在抛物线上，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【跟踪专练2】已知二次函数中自变量的部分取值和对应的函数值如表所示： … 0 1 2 … … 5 0 … 下列说法中正确的个数有（   ） ①函数图象开口向上；②函数图象与轴的交点坐标是，；③当时，随的增大而增大；④顶点坐标是． A．1 B．2 C．3 D．4 题型10.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是________． 【跟踪专练2】如图，把抛物线沿直线平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的表达式是______． 题型11.待定系数法求函数解析式 【典例】二次函数的图象经过点．其解析式为________． 【跟踪专练1】芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象，该图象的特点有：①开口向下；②顶点是原点；③过点（6，－6）．则该二次函数的解析式为（    ） A．y＝－x2 B．y＝x2 C．y＝－6x2 D．y＝6x2 【跟踪专练2】已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【跟踪专练3】如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 【典例】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　） A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0 C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0 【跟踪专练1】如图，已知二次函数（）的图像如图所示，其对称轴是直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有__________（填序号） 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于，两点，下列结论中，错误的结论是（　　） A． B． C．图象的对称轴为直线 D．当时，y的值随x值的增大而增大 题型13.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型14.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】已知二次函数 的图象如图所示，试根据图象写出其对称轴为____________． 【跟踪专练1】若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 题型15.由二次函数的对称性求函数值 【典例】已知二次函数，当分别取，时，所得的函数值相等，则当取时，函数值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】嘉嘉在画二次函数的图象时，将与的对应值列表如下，其中，是常数，则__________． … 0 1 … … 7 7 … 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 题型16.y=ax2+bx+c的最值 【典例】2025年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度h米与飞行时间t秒的关系式为，则该枚烟花能达到的最大高度为_______ 米． 【跟踪专练1】已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 【跟踪专练2】当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【跟踪专练3】如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若反比例函数的图象与有公共点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 17.由二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【跟踪专练1】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【跟踪专练2】如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： (1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； (2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式； (3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； (4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． 2．已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的的值． (2)当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ (3)当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 3．如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 4．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)根据图象回答：当自变量满足什么条件时，随增大而增大？ 5．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 6．某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： (1)列表（完成下列表格）． … 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … (2)描点并在图中画出函数的大致图象； (3)根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移___________个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，直接写出使方程有四个解的的取值范围． 7．如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式； (2)补全函数图象； (3)若抛物线上点到轴的距离不大于2，请根据图象直接写出的取值范围． 8．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 9．请用无刻度的直尺分别按下列要求画图，每个问题的画线不得超过五条（保留画图痕迹）． (1)如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作出抛物线的对称轴；并在上画出点，使得最小； (2)如图2，抛物线，交于点且关于直线对称，两抛物线分别交轴于点，和点，，作出直线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $