第03讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第03讲 二次函数与一元二次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 抛物线与轴的交点问题 题型2 抛物线与轴的交点问题 题型3 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型4 求轴与抛物线的截线长 题型5 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 题型6 由二次函数图像解一元二次不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数与一元二次方程关系 抛物线与x轴交点 方程根的判别式 利用函数图像解不等式（组） 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，明晰二者转化关系。 2. 掌握抛物线与x轴交点横坐标、一元二次方程实数根的对应关系。 3. 结合根的判别式，判断抛物线与x轴交点个数。 4. 学会借助二次函数图像求解对应一元二次方程近似根。 5. 能根据函数图像位置、交点情况解决参数求值、范围判断基础题型，渗透数形结合思想。 学习重点：二次函数与一元二次方程的关联、判别式判断抛物线与x轴交点个数、函数交点与方程根互推。 学习难点：数形结合综合运用、根据交点个数求字母参数取值范围、区分函数值正负与不等式关系、近似根求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1.一般地，对于一元二次方程，当时有实数根，这个实数根就是对应二次函数的值等于0时自变量的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标． 2.若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． 3.二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 即时即练小明画出二次函数的图象如下图，则关于的方程的解为（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键在于熟知二次函数与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解． 根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标为对应方程的解即可解答． 【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴的两个交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 【易错提醒】/【方法总结】 方程 的解，就是抛物线与轴交点的横坐标。 知识点02 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置； 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根； 比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根； 从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 即时即练如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 【易错提醒】/【方法总结】 方程 的解，就是二次函数中 时对应的自变量 。 知识点03 二次函数与一元二次不等式的关系 1.以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 即时即练如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． (1)由图象可知，不等式的解集是_____； (2)在什么范围内，随增大而减小？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）根据二次函数图象解答即可求解； （）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数与不等式，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为：或； （2）解：∵二次函数图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，随增大而减小． 【易错提醒】/【方法总结】 解不等式：对应图像在x轴下方的所有取值。 题型1 抛物线与轴的交点问题 【例1】抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线与坐标轴的交点，需分别求与x轴和y轴的交点，然后问题可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交点为， 当时，， ∴， ∴方程有两个相等实数根，即与x轴有一个交点； 综上，抛物线与坐标轴共有两个交点； 故选：C． 【例2】若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）求 时 的实数根，交点坐标 ； （2）判断交点个数（判别式 ）： ：2个不同交点；：1个交点（顶点在x轴）；：无交点； （3）已知交点横坐标 ，可直接写交点式：； （4）韦达定理：，快速求两根和、积。 【变式1-1】已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与轴的一个交点为， ∴， ∴， ． 【变式1-2】已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解一元二次方程，通过求解二次方程得到抛物线与x轴的交点横坐标，然后代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A和B， ∴令，得， 解得或，即或， ∴或， 故选：C． 【变式1-3】若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 【变式1-4】关于x的二次函数（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 【答案】4 【分析】根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的二次函数（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点， 令，则， ， 解得：． 题型2 抛物线与轴的交点问题 【例3】抛物线与y轴交点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解答该题的关键是熟悉二次函数的基本性质．令，求出与y轴交点的纵坐标，即可得解； 【详解】解：当时，， 抛物线与y轴交点的坐标为， 故选：． 【例4】如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）求法：令 ，代入得 ，固定交点 ； （2）符号判断： 交y轴正半轴； 交负半轴； 过原点； （3）图像综合题：结合“左同右异”，用快速判断截距符号。 【变式2-1】抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】考查知识点为二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程判别式的应用．解题思想与方法：利用“函数与坐标轴的交点，即分别令、”的方法，结合一元二次方程判别式判断与x轴的交点情况，体现了代数与几何结合的思想．解题关键：准确计算判别式的值，以判断抛物线与x轴的交点个数；同时牢记与y轴交点的求法．易错点：容易忽略与y轴的交点，或在计算判别式时出错，导致交点个数判断错误． 首先求与y轴的交点：令，代入抛物线解析式计算y的值，得到与y轴的交点．接着求与x轴的交点：令，得到一元二次方程，通过计算判别式的值，判断方程的解的个数，即可． 【详解】与y轴交点：令，得，即，1个交点． 与x轴交点：令，方程的判别式，无交点． 所以交点个数为． 故选：C． 【变式2-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接，，． (1)求点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，得到，解方程即可求得点的坐标； （2）把化成顶点式，求得顶点D的坐标，令，求得，即可求得点，分别求出即可出的周长． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ； （2）， ， 在中，当时，， ， 由（1）知点的坐标为， ，，， 的周长． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，二次函数的性质，求抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解一元二次方程，三角形周长，求得交点坐标是解题的关键． 题型3 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例5】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：∵的图象与只有一个交点，且方程即的根就是抛物线的图象与的交点的横坐标， ∴关于x的方程有两个相等实数根． 故选：B． 【例6】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是求二次函数图象与轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图像的对称性和二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键． 根据图像可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图像的对称性求出图像与轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论． 【详解】解：由图象可知，二次函数图象的对称轴为直线， 图象与轴的一个交点为， 图象与轴的另一个交点为， 关于的一元二次方程的解为，， 故选：B． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）一一对应：抛物线与x轴交点个数 = 一元二次方程实数根个数； （2）看图直接判断：2个交点→两个不相等实根；顶点贴x轴（1个交点）→两个相等实根；全程在x轴上方/下方（无交点）→无实数根； （3）直线与抛物线交点，联立后看新方程判断交点/根。 【变式3-1】如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想判断选择即可． 本题考查了抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的交点，数形结合思想，熟练掌握抛物线与一元二次方程的交点，最值是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数顶点的纵坐标为3， ∴二次函数的图象与直线只有1个交点， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【变式3-2】二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 题型4 求轴与抛物线的截线长 【例7】抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与轴的交点坐标的纵坐标为．先求出抛物线与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、两点， 令，即， ，解得，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ． 故选：D． 【例8】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）公式：设两根，截线长 ； （2）简化计算：； （3）已知两根数字直接做差取绝对值；无实根时截线不存在，长度无意义。 【变式4-1】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 【变式4-2】已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】(1) 证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 【变式4-3】已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 题型5 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 【例9】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【例10】已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）核心：方程的根是对应的； （2）表格法：找值正负发生跨越的区间，零点在该区间内； （3）近似取值：对比区间两端，越接近0，对应越接近方程的根； （4）图像法：直接读取抛物线与x轴交点横坐标。 【变式5-1】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、利用表格确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，， ∴的较小的根的范围为， 设较小根为，较大根为， ∵函数的对称轴为直线， ∴， 当时，； 当时，， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式5-2】已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 题型6 由二次函数图像解一元二次不等式 【例11】如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点的坐标是， ∴与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：一元二次不等式的解集是或； 故选A． 【例12】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）：取x轴上方图像对应的所有； （2）：取x轴下方图像对应的所有； （3）开口分两类： （开口向上）：两边大、中间小； （开口向下）：中间大、两边小； 解集分开两段时，中间用或连接；含等号则包含交点横坐标。 【变式6-1】如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，根据图象可知在点的左侧和点的右侧不等式成立，再根据点、的横坐标写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 【变式6-2】如图，抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标； (3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？ (4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 【答案】(1)， (2)与轴的交点坐标为，；顶点坐标为 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． （1）把已知点的坐标代入中可求出m，从而得到抛物线解析式； （2）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标；化为顶点式可求出顶点坐标； （3）利用抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围； （4）先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：将 代入，可得， ； （2）令，即，解得， x轴的交点坐标为，． ， ∴顶点坐标为； （3）根据的图像，如下图： 如图可知， 当时，抛物线在x轴上方； （4）， 抛物线开口朝下， 抛物线对称轴为， 根据二次函数的性质可知， 当时，的值随的增大而减小． 1．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程根的判别式等于0，利用判别式列方程求解即可得到m的值． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有1个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式， 将，，代入得：， 化简得，解得． 2．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 3．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 4．已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，理解题意得，故，即可列式得出A、B两点之间的距离． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴令，则 解得： 即A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 5．若抛物线与x轴有交点，则c的值可以是_____．（写出一个符合题意的整数）． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．由抛物线与x轴有交点，可知有实数根，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】解∶∵抛物线与x轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， ∴， ∴c的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 6．已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次方程，理解二次函数与轴的交点的含义，解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据函数图象与轴的一个交点为，把点代入得到，再解一元二次方程即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的一个交点为， ， 解得， 一元二次方程为， 解得，． 7．已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． (1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； (2)请根据图象直接写出不等式的解集； (3)求该二次函数在范围内的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3)10； 【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用抛物线图象求不等式解集．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用图象法，根据抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上，数形结合即可求不等式的解． （3）求出当时， 当时，求出y值，再将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线的最小值，由抛物线的性质可求解． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：由图可知，抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上， ∴不等式的解集或． （3）解：由（1）得， 当时， ， 当时， ， ∴，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， 当时，有最小值， 当时，y随x增大而减小， 当时，y随x增大而增大， ∴当时，最大值为10，最小值为． 8．如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)方程的两个根为 ； (2)不等式的解集为 ； (3)若当时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （）根据题意解方程组得到二次函数的解析式为，求得抛物线与轴的交点坐标为，于是得到当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； （2）解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； （3）解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 则设， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 9．如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括交点问题，确定不等式的解集及平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意将点代入求解即可； （2）根据题意先确定函数与x轴的交点，然后结合图象求解即可； （3）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后将交点问题转化为一元二次方程根的问题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ ∴． ∴； （2）令， 解得： 结合图象可知，不等式的解集为：． （3）由（2）得， ∵直线相交于点A和点． ∴， 解得： ∴， 设新抛物线： 即， ∵只有一个交点， ∴， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次函数与一元二次方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 抛物线与轴的交点问题 题型2 抛物线与轴的交点问题 题型3 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型4 求轴与抛物线的截线长 题型5 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 题型6 由二次函数图像解一元二次不等式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数与一元二次方程关系 抛物线与x轴交点 方程根的判别式 利用函数图像解不等式（组） 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，明晰二者转化关系。 2. 掌握抛物线与x轴交点横坐标、一元二次方程实数根的对应关系。 3. 结合根的判别式，判断抛物线与x轴交点个数。 4. 学会借助二次函数图像求解对应一元二次方程近似根。 5. 能根据函数图像位置、交点情况解决参数求值、范围判断基础题型，渗透数形结合思想。 学习重点：二次函数与一元二次方程的关联、判别式判断抛物线与x轴交点个数、函数交点与方程根互推。 学习难点：数形结合综合运用、根据交点个数求字母参数取值范围、区分函数值正负与不等式关系、近似根求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1.一般地，对于一元二次方程，当 时有实数根，这个实数根就是对应二次函数的值等于0时自变量的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的 坐标． 2.若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个 ． 3.二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 即时即练小明画出二次函数的图象如下图，则关于的方程的解为（   ） A． B．， C． D．， 【易错提醒】/【方法总结】 方程 的解，就是抛物线与轴交点的横坐标。 知识点02 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置； 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根； 比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根； 从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 即时即练如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 方程 的解，就是二次函数中 时对应的自变量 。 知识点03 二次函数与一元二次不等式的关系 1.以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 即时即练如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． (1)由图象可知，不等式的解集是_____； (2)在什么范围内，随增大而减小？ 【易错提醒】/【方法总结】 解不等式：对应图像在x轴下方的所有取值。 题型1 抛物线与轴的交点问题 【例1】抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）求 时 的实数根，交点坐标 ； （2）判断交点个数（判别式 ）： ：2个不同交点；：1个交点（顶点在x轴）；：无交点； （3）已知交点横坐标 ，可直接写交点式：； （4）韦达定理：，快速求两根和、积。 【变式1-1】已知抛物线，与x轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知抛物线与x轴交于点和，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式1-3】若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【变式1-4】关于x的二次函数（m是常数）的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 题型2 抛物线与轴的交点问题 【例3】抛物线与y轴交点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【例4】如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）求法：令 ，代入得 ，固定交点 ； （2）符号判断： 交y轴正半轴； 交负半轴； 过原点； （3）图像综合题：结合“左同右异”，用快速判断截距符号。 【变式2-1】抛物线与坐标轴的交点个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接，，． (1)求点的坐标； (2)求的周长． 题型3 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例5】已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的正实数根 D．有两个异号实数根 【例6】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）一一对应：抛物线与x轴交点个数 = 一元二次方程实数根个数； （2）看图直接判断：2个交点→两个不相等实根；顶点贴x轴（1个交点）→两个相等实根；全程在x轴上方/下方（无交点）→无实数根； （3）直线与抛物线交点，联立后看新方程判断交点/根。 【变式3-1】如图，已知二次函数顶点的纵坐标为3，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不相等的负根 D．有两个不相等的正根 【变式3-2】二次函数（，为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 题型4 求轴与抛物线的截线长 【例7】抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）公式：设两根，截线长 ； （2）简化计算：； （3）已知两根数字直接做差取绝对值；无实根时截线不存在，长度无意义。 【变式4-1】已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【变式4-2】已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【变式4-3】已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 题型5 由二次函数图像确定一元二次方程的近似根 【例9】根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【例10】已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）核心：方程的根是对应的； （2）表格法：找值正负发生跨越的区间，零点在该区间内； （3）近似取值：对比区间两端，越接近0，对应越接近方程的根； （4）图像法：直接读取抛物线与x轴交点横坐标。 【变式5-1】二次函数部分x和y的值如表：则方程的较大的根范围是（   ） x y 0.61 0.24 A． B． C． D． 【变式5-2】已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 题型6 由二次函数图像解一元二次不等式 【例11】如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【例12】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）：取x轴上方图像对应的所有； （2）：取x轴下方图像对应的所有； （3）开口分两类： （开口向上）：两边大、中间小； （开口向下）：中间大、两边小； 解集分开两段时，中间用或连接；含等号则包含交点横坐标。 【变式6-1】如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【变式6-2】如图，抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标； (3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？ (4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 1．在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴只有1个交点，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 3．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 4．已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为_______． 5．若抛物线与x轴有交点，则c的值可以是_____．（写出一个符合题意的整数）． 6．已知二次函数（是常数）图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解． 7．已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． (1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； (2)请根据图象直接写出不等式的解集； (3)求该二次函数在范围内的最大值与最小值． 8．如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： (1)方程的两个根为 ； (2)不等式的解集为 ； (3)若当时，求的取值范围． 9．如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $