2.2.2 求解一元二次方程--用公式法解一元二次方程 学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“用公式法解一元二次方程”，通过复习配方法步骤及实例，引导学生用配方法推导一般形式方程的求根公式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接新旧知识。 以问题链驱动探究，推导求根公式培养推理能力与抽象能力，结合根的判别式教学发展创新意识，例题与分层练习提升运算能力和应用意识，助力学生自主学习，便于教师教学评估。

2.2 求解一元二次方程--用公式法解一元二次方程 复习回顾： 1. 配方法解方程的步骤有哪些吗？ 2. 用配方法解一元二次方程 (1)2x2＋3＝7x；(2)3x2＋2x＋1＝0 · 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多. 你能用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗?请你试一试，并与同伴进行交流. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，因为二次项系数a≠0，所以方程两边都除以a，得：x2＋x＋＝0. 配方，得：x2＋x＋()2－()2＋＝0 (x＋)2－＝0 移项，得：(x＋)2＝ 因为a≠0，所以4a2＞0.当b2－4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得x＋＝± 即x＝－± x＝ · 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：x＝. 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 注意：必须是一般形式的二元一次方程；必须满足b2－4ac≥0才能代入公式计算. 例1：解方程. (1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x. 尝试·思考 (1)你能解一元二次方程x2－2x＋3＝0 吗？你是怎么想的？ (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？ · 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“⊿”来表示. · 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 根的判别式是：⊿＝b2－4ac 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 ⊿＝b2－4ac＞0 两个不相等的实数根 ⊿＞0⇔两个不相等的实数根 ⊿＝b2－4ac＜0 没有实数根 ⊿＜0⇔没有实数根 ⊿＝b2－4ac＝0 两个相等的实数根 ⊿＝0⇔两个相等的实数根 思考·交流 在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？与同伴进行交流. 随堂练习： 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2＋5＝7x；(2)4x(x－1)＋3＝0 ；(3)4(y2＋0.09 )＝2.4y. 2. 用公式法解方程： (1)2x2－9x＋8＝0；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)16x2＋8x＝3；(4)x(x－3)＋5＝0. 3. 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形三条边的长. 习题 2.2 [知识技能] 1. 用公式法解方程： (1)2x2－4x－1＝0；(2)5x＋2＝3x2；(3)(x－2)(3x－5)＝1；(4)0.2x2＋5＝x. 2. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)5x2＋x＝7；(2)25x2＋20x＋4＝0；(3)(x＋1)(4x＋1)＝2x. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 求解一元二次方程--用公式法解一元二次方程 复习回顾： 1. 配方法解方程的步骤有哪些吗？ ①化：二次项系数化为1； ②移：将常数项移到等号右边； ③配：配方，使等号左边成为完全平方式； ④开：等号两边开平方； ⑤解：求出方程的解. 2. 用配方法解一元二次方程 (1)2x2＋3＝7x；(2)3x2＋2x＋1＝0 解：(1)x1＝3，x2＝；(2)方程无解. · 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多. 你能用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗?请你试一试，并与同伴进行交流. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，因为二次项系数a≠0，所以方程两边都除以a，得：x2＋x＋＝0. 配方，得：x2＋x＋()2－()2＋＝0 (x＋)2－＝0 移项，得：(x＋)2＝ 因为a≠0，所以4a2＞0.当b2－4ac≥0时，是一个非负数，此时两边开平方，得x＋＝± 即x＝－± x＝ · 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：x＝. 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 注意：必须是一般形式的二元一次方程；必须满足b2－4ac≥0才能代入公式计算. 例1：解方程. (1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x. 解：(1)x1＝9，x2＝－2；(2)x1＝x2＝ 尝试·思考 (1)你能解一元二次方程x2－2x＋3＝0 吗？你是怎么想的？ 解：a＝1，b＝－2，c＝3. ∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0， ∴方程没有实数根。 (2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？ b2－4ac＜0→无意义→无意义→方程无实根 · 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“⊿”来表示. · 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 根的判别式是：⊿＝b2－4ac 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 判别式的情况 根的情况 定理与逆定理 ⊿＝b2－4ac＞0 两个不相等的实数根 ⊿＞0⇔两个不相等的实数根 ⊿＝b2－4ac＜0 没有实数根 ⊿＜0⇔没有实数根 ⊿＝b2－4ac＝0 两个相等的实数根 ⊿＝0⇔两个相等的实数根 思考·交流 在求解一元二次方程的过程中，你认为配方的作用是什么？与同伴进行交流. 配方最主要就是把复杂的二次式子变成完全平方，把二次方程变成能直接开方的形式，这样就能解出未知数； 配方还能帮我们看出式子的最大值、最小值. 随堂练习： 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2＋5＝7x；(2)4x(x－1)＋3＝0 ；(3)4(y2＋0.09 )＝2.4y. 解：(1)⊿＝9＞0，方程有两个不相等的实数根； (2)⊿＝－24＜0，方程没有实数根； (3)⊿＝0，方程有两个相等的实数根. 2. 用公式法解方程： (1)2x2－9x＋8＝0；(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)16x2＋8x＝3；(4)x(x－3)＋5＝0. 解：(1) x＝；(2)x1＝x2＝－；(3)x1＝－，x2＝；(4)方程没有实数根 3. 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形三条边的长. 解：这个三角形的三条边长为6，8，10. 习题 2.2 [知识技能] 1. 用公式法解方程： (1)2x2－4x－1＝0；(2)5x＋2＝3x2；(3)(x－2)(3x－5)＝1；(4)0.2x2＋5＝x. 解：(1)x＝1±；(2)x1＝－，x2＝2；(3)x＝；(4)方程没有实数根. 2. 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)5x2＋x＝7；(2)25x2＋20x＋4＝0；(3)(x＋1)(4x＋1)＝2x. 解：(1)两个不相等的实数根；(2)两个相等的实数根；(3)没有实数根． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $