2.2.2 用公式法求解一元二次方程 同步训练 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦公式法解一元二次方程，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|判别式条件、直接求根、判别式计算|单选题1考判别式≥0，填空题12由求根公式反推方程，强化概念理解| |提升层|降次法、新定义运算、参数讨论|第14题新运算转化方程，第13题正数根求参数范围，培养推理能力| |综合层|几何应用、实际建模、纠错分析|第10题矩形中方程根的几何意义，第16题利好系数实际问题，体现应用意识|

2.2.2 用公式法求解一元二次方程 同步训练 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2-4q≥0 B．p2-4q≤0 C．p2-4q>0 D．p2-4q<0 2．关于 的一元二次方程 的根是（ ） A． B． C． D． 3． 是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 4．用公式法解方程 所得的解正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（　　） A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5 6．用公式法解方程 x2+4 x=2 ,其中求的Δ的值是（　　） A．16 B． 4 C． D．64 7．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知 是方程 的根，那么代数式 的值是（　　） A． B． C． 或 D． 或 9．当 满足 时，方程 的根是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 的一个根（　　） A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为　 　. 12．用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程　 　． 13．如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是　 　. 14．对于实数a、b，定义新运算“ ”： a b=a2-ab，如4 2=42-4×2=8。若x 4=-4，则实数x的值是　 　。 15．若关于 的一元二次方程 有一个正整数解，则正整数 =　 　. 16．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 ，据此可得，最佳利好系数k的值等于　 　 ． 三、解答题（共8题，共52分） 17．用公式法解方程 （1）x2+4x-1=0 （2）5x2- x-6=0 （3） x2-2x-6=0 18．根据要求解下列方程： （1） （公式法）； （2） （配方法）． 19．已知 和 都有意义，且a是整数，试解关于x的一元二次方程x2﹣5＝x（ax﹣2）﹣2． 20．定义运算： ，例如： ．解方程： ． 21．先化简再计算： ，其中x是一元二次方程 的正数根. 22．已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0 （1）求出方程的根； （2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 23．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　． （2）用“转化”的思想求方程 ＝x的解． （3）试直接写出 的解　 　． 24．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步） ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步） ∴ （第三步） ∴ ， （第四步） （1）小明解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　． （2）写出此题正确的解答过程． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵∆=p2-4q≥0， ∴一元二次方程x2+px+q=0的根为x=， 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程的求根公式x=（b2-4ac≥0），得出一元二次方程x2+px+q=0的根为x=（p2-4q≥0），即可得出答案. 2．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：当 时， 一元二次方程 的求根公式为x= . 故答案为：D. 【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行解答. 3．【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】A、 的解为 ，不符合题意； B、 的解为 ，不符合题意； C、 的解为 ，符合题意； D、 的解为 ，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据一元二次方程的求根公式即可判断结论。 4．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ， 这里a=1，b=-6，c=1， ∵△=36-4=32＞0， ∴x= = . 故答案为：D. 【分析】根据a=1，b=-6，c=1，代入根的判别式b2-4ac中算出结果，由根的判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，再代入求根公式x=中，即可求解. 5．【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】一元二次方程 ， ， ， ， 则较小的根 ，即 ， 故答案为：A． 【分析】先求出，再求出，最后求解即可。 6．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解： 故答案为：D 【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可. 7．【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：根据题意，∵， ∴， ∴， ∴ ； ∵， 解得：，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：B 【分析】利用公式法解一元二次方程及定义新运算的性质阶解题即可。 8．【答案】D 【知识点】分式的化简求值；公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：由题意知， ，解得 当 时，原式 ∴原式 或 . 故答案为：D. 【分析】将括号里的-x-2添括号为-（x+2），再通分计算，将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，然后利用公式法求出方程的解，将x的值代入化简后的代数式进行计算. 9．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组 【解析】【解答】解： 解得 因为方程 , 所以 ， 所以 ， 故答案为：D 【分析】先求出不等式组的解，再求出方程的解，根据范围即可确定x的值． 10．【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=a 在Rt△BCD中，由勾股定理得， ， ∴BF= ， 解方程 得 ， ∴线段BF的长是方程 的一个根. 故答案为：B. 【分析】由矩形的性质可得CD=AB=a，由勾股定理表示出BD、BF，求出方程x2+2ax-4=0的根，据此判断. 11．【答案】0 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵ ， ∴x为一元二次方程 的一个根， ∴ ， 故答案为：0. 【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值. 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：设该方程为 ， 由 得： ， 则该方程为 ， 故答案为： ． 【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。 13．【答案】 <a<0 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得： x= = ， 解得x1=1，x2=2a+1 ∵x1=1， ∴小于1的正数根只能为2a+1， 即0＜2a+1＜1， 解得 < a<0. 故答案为： < a<0. 【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围. 14．【答案】2 【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解： ∵x 4=-4， ∴x2-4x=-4， ∴x2-4x+4=0， ∴（x-2）2=0， ∴x1=x2=2， 故答案为：2. 【分析】根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出x的值，即可求解. 15．【答案】1或2 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：根据题意得a≠0，△= ， ∴x= ， ∴ ， ∵关于x的一元二次方程 有一个整数根，而a为正整数， ∴ 不符合题意， 必为整数， ∴a=1或2， 故答案为：1或2. 【分析】根据题意可得a≠0，然后求出x的值，然后根据方程有一个整数根可得a的取值. 16．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵， ∴3（c-a）2=（b-a）（b-c） ∵c=a+k（b-a）， ∴c-a=k（b-a）， ∴3（c-a）2=3 =（b-a）（b-c）， ∵b＞a，即b-a≠0， ∴3k2（b-a）=b-c， ∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a）， ∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0， 整理，解得：k= 或 ， 又∵0≤k≤1， ∴ k= . 故答案为：. 【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3 =（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可. 17．【答案】（1）解：∵a=1，b=4，c=-1， ∴b2-4ac=42-4×1×（-1）=20>0 ∴x= = ， ∴x=-2± ， 即x1=-2+ ，x2=-2- （2）解：∵a=5，b=- ，c=-6， ∴b2-4ac=5-4×5×（-6）=125>0， ∴x= = ∴x1= ，x2=- . （3）解：化简方程，得x2-4x-12=0则a=1，b=-4 ∴b2-4ac=（-4）2-4×1×（-12）=64>0 ∴x= = ， ∴x=-2±4， 即x1=6，x2=-2 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）先求出根的判别式∆=20>0，再根据求根公式即可得出方程的解； （2）先求出根的判别式∆=125>0，再根据求根公式即可得出方程的解； （3）先把一元二次方程化为一般式，求出根的判别式∆=64>0，再根据求根公式即可得出方程的解. 18．【答案】（1）解： ， 整理，得 ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ； 【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用配方法求解一元二次方程即可。 19．【答案】解：∵ 和 都有意义， ∴ ， 解得： ， 又∵a是整数， ∴ ， 当 时，方程为 ， 整理得： ， 解得： ， ， 当 时，方程为 ， 即 ，此方程为一元一次方程，不符合题意， ∴ 舍去， 当 时，方程为 ， 整理得： ， ∵ ， ∴此方程没有实数根， 综上所述，当 时，方程的根为 ， ；当 时，方程没有实数根． 【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次方程；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】根据题意 和 都有意义，可得出a的去值范围，因为a是整数，当 时，当 时，当 时，列出方程，解之取其正确的值即可。 20．【答案】解：∵ ∴ = ， ， ∴ ， ∴ ， 【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【分析】先利用新定义得到 ，再利用公式法解方程。 21．【答案】原式= = = ． 解方程x2﹣2x﹣2=0得： x1=1+ ＞0，x2=1﹣ ＜0， 所以原式= 【知识点】分式的化简求值；公式法解一元二次方程 【解析】【分析】先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计算即可． 22．【答案】（1）解：根据题意，得m≠1. ∵a=m-1，b=-2m，c=m+1， b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4， ∴x1= = ，x2= =1 （2）解：由（1）知，x1= =1+ ，x2=1 ∵方程的两个根都为正整数， ∴ 是正整数， ∴m-1=1或m-1=2，解得m=2或3 ∴当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数. 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的概念可得m≠1，然后根据△=b2-4ac求出判别式的值，接下来借助求根公式x=进行求解； （2）由（1）知：x1= =1+ ，x2=1，由方程的两个根都为正整数可得m-1=1或m-1=2，求解即可. 23．【答案】（1）1；-2 （2）解：∵ ＝x， ∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0 则x+1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3． （3） ， 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0 ∴x（x2+x﹣2）＝0， ∴x（x﹣1）（x+2）＝0 则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0 解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2， 故答案为1，-2； （3）∵ ， ∴ 或 ， 解得 ， ． 故答案为 ， ． 【分析】（1）首先意公因式x，继而因式分解，求出解即可； （2）将式子的两边平方后整理得到式子，解出答案即可； （3）将方程组进行转化，解二元一次方程组即可。 24．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式 （2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29． ∴ ∴ ， ． 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式． 故答案为：一，原方程没有化简为一般形式． 【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案； （2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。 1 学科网（北京）股份有限公司 $