以圆锥曲线为背景的面积问题、向量问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

以圆锥曲线为背景的面积问题、向量问题专项训练 以圆锥曲线为背景的面积问题、向量问题专项训练 考点目录 以圆锥曲线为背景的面积问题 以圆锥曲线为背景的向量问题 考点一 以圆锥曲线为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·贵州·月考）已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由已知椭圆的离心率为，即，化简可得， 则椭圆方程为， 又椭圆过点，则， 解得， 则椭圆方程为； （2） 设，， ①由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； ②设，即 联立直线与椭圆， 消去可得， 则， 解得， 且，， 又，则， 所以， 同理可设，即可得， 又，，三点共线，则， 即，化简可得，即 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以当且仅当时等号成立， 综上所述的最小值为. 例2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆经过点，两个焦点恰好将长轴三等分： (1)求椭圆的方程； (2)设两条直线、与椭圆共有四个不同的交点：直线与椭圆交于点与点，直线与椭圆交于点与点，且、、、四点都在以点为圆心的圆上，为坐标原点. （i）若与交于点，求以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值； （ii）若经过椭圆的左焦点，经过椭圆的右顶点，求证：直线与直线的斜率乘积是定值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，，，，得，故椭圆的方程为； （2）（i）如图，由椭圆的对称性可知，为线段的中点，    若圆心与点不重合，则有，则重合或平行，与题意矛盾， 故、、、四点都在以点为圆心的圆上， 则四边形为矩形，且， 因为，所以直线的斜率均存在且不为0， 故设，，， 联立，得，则，同理得， 则，， 因为，所以，得，即， 则， 则 ，等号成立时， 故以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值为； （ii）设椭圆的左焦点为，右顶点为， 故可设，， 联立，得， 则， 则， 则的中点为， 则线段的中垂线方程为，即， 直线的斜率为，且线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 即， 同理可得，线段的中垂线方程为， 联立，， 得， 则， 故的外接圆圆心为，则直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以直线与直线的斜率乘积是定值.    例3．（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点， （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由条件可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为，所以，即， 设圆，因为与圆相切，所以，所以圆. 不妨设点在点的上方， 当斜率不存在时，因为，所以轴平分， 所以，所以， 所以或， 此时圆心到的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设， 联立，可得， 且，即， 所以，， 因为，所以 ， 化简可得， 所以圆心到的距离，所以直线与圆相切， 综上所述，直线与圆相切. （ii）当的斜率不存在时，由（i）可知； 当的斜率存在时，， ， 若时，， 若时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 由上可知，，所以，即， 综上所述，. 例4．（25-26高二上·重庆·月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设过点的直线的方程为， 由得， 设，则， 所以， 解得， 所以 变式1．（25-26高二上·广西桂林·期中）已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知圆心，半径， 连接，易知， 所以， 即点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴，短轴，焦距分别为， 即， 则的方程为； （2）显然直线斜率存在，不妨设，， 联立直线l与椭圆方程有，整理得， 所以，则， 由弦长公式可知， 原点到l的距离， 则， 令，则， 当且仅当时取得等号， 所以（为坐标原点）面积的最大值为.    变式2．（25-26高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中， 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过原点的直线与曲线C交于两点，点在曲线上，且，直线与轴轴分别交于两点. （i）设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)（） (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ） 【详解】（1）已知点，动点，可得直线的斜率，直线的斜率， 因为直线与的斜率之积为，所以， 化简可得：  ，即， 所以曲线的方程为； （2）（ⅰ）方法一：设，则，因为直线的斜率， 又，所以直线的斜率，设直线的方程为，由题意知， 由，可得， 所以，因此， 由题意知，，所以， 所以直线BD的方程为， 令，得，即，可得. 所以，即，因此存在常数使得结论成立. 方法二：设，直线的方程， 则， 又因为，所以， 联立方程组，得，则， 直线的方程为， 令，得，即， 所以，因此存在常数使得结论成立. 方法三：由方法二得：，，直线AB的方程， 直线的方程， 令，得，所以， 因此存在常数使得结论成立. （ⅱ）直线的方程，令，得，即， 由（ⅰ）知，可得的面积为， 因为，当且仅当时等号成立， 此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.    变式3．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)直线过定点（其中）与抛物线相交于两点（点位于第一象限）. ①若，求证：； ②如图，连接，并延长交抛物线于两点，设和的面积分别为和，求. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）抛物线的焦点，设， 则，当且仅当时等号成立，依题意，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）①设直线的方程为， 由消去并整理，得， 则，，由，得， 因此，即，而，所以. ②由①知，而，设的方程为，， 由消去并整理，得， 则，，同理， 所以. 变式4．（25-26高二上·河北张家口·期中）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过的左、右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且． ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②6 【详解】（1）因，分别是椭圆的左、右焦点，依题意，轴， 又因为，，所以，则，代入， 可得， 即，解得，    则椭圆的标准方程为； （2）①设，，根据椭圆的对称性，有， 因为，都在椭圆上，所以，. 两式相减得，， 为定值，故得证； ②当的倾斜角为时，与重合，舍去； 当的倾斜角不为时，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，，     设直线的方程为，代入，得， 显然，则，．     所以，     设，所以． 所以．当且仅当即，即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为． 考点二 以圆锥曲线为背景的向量问题 例1．（25-26高二上·山东德州·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设圆M的方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值； (3)记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由题意：，所以，又因为，所以，， 即椭圆的方程：． （2）设点为椭圆上任意一点， 则 ， 当时，的最大值是，即的最大值是， 所以的最大值是． （3）由题意，设直线l的方程为，设点G坐标为， 由，可得， 由韦达定理得：，所以， 代入直线方程可得：． 过点A与l垂直的直线方程为， 由，设交点H坐标为，可得，， 因为，所以， 法一：，所以，解得， 所以直线l的方程：或． 法二：，所以，解得， 所以直线l的方程：或． 例2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点． (1)求椭圆的方程； (2)设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标； (3)设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，定值为． 【详解】（1）由椭圆的短轴长为2可得，， 由离心率为可得，， 又，所以，， 椭圆的方程为． （2）由（1）可知，，， 所以直线的方程为，即. 设，则……①，且， ， 点到直线的距离， ， 因为，所以……②， 联立①②，且，解得，. 故点的坐标为． （3）设，，，. 直线的方程为， 由，得， 有，解得，， 所以， 当时，直线的方程为， 由，得， 所以，解得，， 所以，经检验，当时，结论也成立， 由，得， ， ， . 所以 ， 令，解得， 此时， 故存在满足条件，此时，定值为． 例3．（2026·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1. 【详解】（1） 如图，由题意知，，可知，所以， 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则， 所以的方程为； （2）①： 由题知，可设直线方程为，. 联立，得，且， 所以， 所以， 如图，，直线的方程为， 直线方程为， 联立两方程得， 所以，则点的纵坐标恒为4，即点在定直线上. ②： 由①有，设，又，且， 则，则， ， 故当时，的最大值为1. 变式1．（25-26高二上·山东聊城·月考）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意可得，则， 又因，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）联立，消去整理可得，    因为直线与双曲线有两个交点， 所以解得且， 设，，则，， 所以 ， 解得，不满足且，不符合题意， 所以不存在满足. 变式2．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以圆锥曲线为背景的面积问题、向量问题专项训练 以圆锥曲线为背景的面积问题、向量问题专项训练 考点目录 以圆锥曲线为背景的面积问题 以圆锥曲线为背景的向量问题 考点一 以圆锥曲线为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·贵州·月考）已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程. (2)过点的直线与椭圆交于， （异于点）两点，分别记直线 ，的斜率为，. ①当直线的斜率为时，求的面积; ②求的最小值. 例2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆经过点，两个焦点恰好将长轴三等分： (1)求椭圆的方程； (2)设两条直线、与椭圆共有四个不同的交点：直线与椭圆交于点与点，直线与椭圆交于点与点，且、、、四点都在以点为圆心的圆上，为坐标原点. （i）若与交于点，求以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值； （ii）若经过椭圆的左焦点，经过椭圆的右顶点，求证：直线与直线的斜率乘积是定值. 例3．（25-26高二上·宁夏银川·期中）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点， （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围. 例4．（25-26高二上·重庆·月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 变式1．（25-26高二上·广西桂林·期中）已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 变式2．（25-26高二上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中， 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过原点的直线与曲线C交于两点，点在曲线上，且，直线与轴轴分别交于两点. （i）设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值. 变式3．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)直线过定点（其中）与抛物线相交于两点（点位于第一象限）. ①若，求证：； ②如图，连接，并延长交抛物线于两点，设和的面积分别为和，求. 变式4．（25-26高二上·河北张家口·期中）有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过的左、右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且． ①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值； ②四边形面积的最大值． 考点二 以圆锥曲线为背景的向量问题 例1．（25-26高二上·山东德州·期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设圆M的方程，Q为圆M上任意一点，P为椭圆上任意一点，求的最大值； (3)记椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，过点B作不垂直于坐标轴的直线l交椭圆于另一点G，过点A作l的垂线，垂足为H，且，求直线l的方程． 例2．（25-26高二上·上海浦东新·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为2，点是上位于第一象限内的一点． (1)求椭圆的方程； (2)设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标； (3)设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 变式1．（25-26高二上·山东聊城·月考）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式2．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $