由集合包含关系求参数、容斥原理、集合新定义问题同步练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 初升高衔接集合专项同步练，通过“例题+变式”分层设计，覆盖集合包含关系求参数、容斥原理、新定义问题，实现从概念理解到创新应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|集合包含关系判定、简单参数求解|选用阶段检测真题，如山东潍坊题，强化集合关系基本概念| |综合应用|容斥原理多场景计算、复杂参数范围|结合校园活动（运动会、兴趣小组）情境，如黑龙江佳木斯题，提升运算与模型意识| |创新拓展|集合新定义（差集、数域等）|引入跨学科情境（机器学习杰卡德距离），如北京期中题，发展抽象思维与创新意识|

暑假预习：由集合包含关系求参数、容斥原理、集合新定义问题专项训练 暑假预习：由集合包含关系求参数、容斥原理、集合新定义问题专项训练 考点目录 由集合包含关系求参数 容斥原理 集合新定义问题 考点一 由集合包含关系求参数 例1．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 例2．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 例3．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【详解】（1）由，，则或， 则，或； （2）由于，则有，解得. 变式1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交，并，补运算求解； （2）根据集合间的关系求参数. 【详解】（1）当时，，， 又，所以； （2）因为，所以， 若，则，所以， 若，则，或， 解得或， 综上所述：实数a的取值范围为 变式3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，集合，， (1)当时，求，； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）由题设，，则或， 所以，； （2）由，若，则，满足题意； 若，则，可得， 综上，或. 考点二 容斥原理 例1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 例2．（25-26高一上·浙江温州·期中）浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（   ）. A．6 B．10 C．13 D．15 【答案】B 【分析】首先求出仅第一场抢购成功和仅第二场抢购成功的人数，即可得解. 【详解】因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人， 则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人）， 所以两场门票都没抢购到的人数为（人）. 故选：B 例3．（25-26高一上·陕西西安·期中）某校高一（5）班有50名同学，其中参加科技兴趣小组的有22人，参加演讲兴趣小组的有35人，这两个兴趣小组都参加的有12人，则既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有（   ） A．7人 B．5人 C．4人 D．2人 【答案】B 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】根据容斥原理得既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有： 人. 故选：B. 例4．（25-26高一上·上海·阶段检测）某中学高一（1）班共50名学生，在一次数学和语文的学科兴趣调查中，喜欢数学的学生人数占全班总人数的，喜欢语文的学生人数比数学的多5人，另外，两门学科都不喜欢的人数比都既喜欢数学又喜欢语文的学生数的多5人，问两门学科都喜欢的学生有___________人. 【答案】 【分析】根据容斥原理列式计算即可. 【详解】由题意可知，喜欢数学的学生为人，喜欢语文的学生为人， 设两门学科都喜欢的人数为，则两门都不喜欢的人数为， 故有， 解得. 故答案为：. 例5．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 【答案】 【分析】设三项比赛都参加的有人，分别求得只参加100米、200米、400米的同学的人数，列出方程，即可求解. 【详解】设参加100米的同学构成集合 、200米的同学构成集合、400米的同学构成集合 设三项比赛都参加的有人，如图所示， 则只参加100米的同学为人 只参加200米的同学为人； 只参加400米的同学为人， 所以，解得， 所以三项比赛都参加的有人. 故答案为：.    变式1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（   ） A．17 B．22 C．15 D．20 【答案】D 【分析】设喜欢篮球运动为集合，喜欢乒乓球运动为集合，全班学生为集合，设即喜欢篮球和乒乓球的人数为，作出图即可求解. 【详解】设喜欢篮球运动为集合，喜欢乒乓球运动为集合，全班学生为集合， 设即喜欢篮球和乒乓球的人数为，作出图如下， 所以， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 变式3．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据容斥原理进行求解即可. 【详解】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 变式4．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 【答案】7 【分析】根据题意结合韦恩图运算求解即可. 【详解】作出韦恩图，如图所示：    可知持有交通卡或有自行车的人数为， 所以既无交通卡又无自行车的人数为. 故答案为：7. 变式5．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高二下·北京·期中）已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 例2．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 例3．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测·多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 例4．（25-26高一上·四川泸州·期中·多选）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】理解“类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C，则由被4除所得的余数只有四种情况理解辨析即可；而D，则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断. 【详解】对于A，由得，故A错误； 对于B，由得，故B正确； 对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确. 对于D，若整数属于同一“类”，则， 故，所以； 反之，不妨设，则， 若，则，即，所以整数属于同一“类”； 故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确. 故选：BCD. 例5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________； 【答案】 【分析】根据题意先求集合，再求，进而得，利用非空真子集的概念即可求解. 【详解】根据题意：当， 当时，由，即，解得或， 所以， ，所以， 所以的非空真子集个数为个. 变式1．（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据题意保证各集合中尽量小，结合已知和集合的性质有最大时，进而分析的取值即可. 【详解】由题意中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大时，则各集合中尽量小， 所以集合中的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设， 则有， 当时，， 当时，， 所以只需在时，在上述特征值取最小的情况下， 使其中一个集合的特征值增加7即可，故的最大值为11． 故选：A. 变式2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【答案】B 【分析】根据两集合中数的性质可知集合，没有公共元素，再由集合间的运算法则逐一分析选项即可求得结果. 【详解】因为， 因此可知集合，没有公共元素， 对于A，由分析知为空集，没有真子集，即A错误； 对于B，由可得，由可得， 因此若且，可知中元素个数为个，即B正确； 对于C，若在横线上填入“\”,则中有166个元素，则的非空真子集有个，即C错误； 对于D，由且可知且为有限集， 所以， 而，结合已有分析可知中元素个数为331个，即D错误. 故选：B 变式3．（25-26高一上·广东梅州·期末·多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可. 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 变式4．（25-26高一上·四川凉山·期末·多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 变式5．（25-26高一上·江苏南通·期末）记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 【答案】 【分析】根据集合的新定义，当时直接计算得解；当时可得或，分别讨论求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 所以； 由，，可得或， 当时，由于是方程的一个根，则，因此方程无实根，即； 此时方程变为，也无实根，故即方程只有1个根， 此时满足题意； 当时，即方程有3个根， 因为时方程只有1个根，所以，此时，各有1个根， 且都不满足方程， 所以有相等实数根，即，解得， 综上可知，可能值的集合为. 变式6．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 /0.4 【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值. 【详解】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 故答案为：； 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：由集合包含关系求参数、容斥原理、集合新定义问题专项训练 暑假预习：由集合包含关系求参数、容斥原理、集合新定义问题专项训练 考点目录 由集合包含关系求参数 容斥原理 集合新定义问题 考点一 由集合包含关系求参数 例1．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 例2．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 例3．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 变式1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知集合或，集合． (1)若，求和； (2)若，求实数a的取值范围． 变式3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知，集合，， (1)当时，求，； (2)若，求m的取值范围． 考点二 容斥原理 例1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（25-26高一上·浙江温州·期中）浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（   ）. A．6 B．10 C．13 D．15 例3．（25-26高一上·陕西西安·期中）某校高一（5）班有50名同学，其中参加科技兴趣小组的有22人，参加演讲兴趣小组的有35人，这两个兴趣小组都参加的有12人，则既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有（   ） A．7人 B．5人 C．4人 D．2人 例4．（25-26高一上·上海·阶段检测）某中学高一（1）班共50名学生，在一次数学和语文的学科兴趣调查中，喜欢数学的学生人数占全班总人数的，喜欢语文的学生人数比数学的多5人，另外，两门学科都不喜欢的人数比都既喜欢数学又喜欢语文的学生数的多5人，问两门学科都喜欢的学生有___________人. 例5．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）某校田径运动会上，共有18名同学参加100米、200米、400米三个项目，其中有12人参加“100米比赛”，有8人参加“200米比赛”，有8人参加“400米比赛”，“100米和200米”都参加的有5人，“100米和400米”都参加的有4人，“200米和400米”都参加的有4人，则三项比赛都参加的有___________人. 变式1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（   ） A．17 B．22 C．15 D．20 变式2．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 变式3．（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式4．（25-26高一上·上海·期中）为解决上下班的交通问题，调查了某地100名职工，其中78人持有交通卡，52人拥有自行车，而持有交通卡又有自行车的有37人，则既无交通卡又无自行车的共有______人. 变式5．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高二下·北京·期中）已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 例2．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 例3．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测·多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 例4．（25-26高一上·四川泸州·期中·多选）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 例5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象，数学黑洞：无论怎样取值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的非空真子集个数为________； 变式1．（25-26高一上·辽宁朝阳·期末）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 变式2．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 变式3．（25-26高一上·广东梅州·期末·多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·四川凉山·期末·多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高一上·江苏南通·期末）记集合中元素个数为．已知集合．若，则___________；若，则可能值的集合为___________． 变式6．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $