暑假预习：容斥原理、利用venn图计算、集合新定义问题 专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合三大核心模块，以真实情境题为例题，构建从原理到直观工具再到创新应用的逻辑训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |容斥原理|4例+4变式|两/三集合计数（含参数）|集合元素计数基础原理，从简单到复杂场景迁移| |利用Venn图计算|5例+5变式|阴影部分集合运算（单选/多选/填空）|容斥原理的直观可视化工具，强化集合运算几何直观| |集合新定义问题|4例+4变式|新集合运算理解与应用（多选/解答）|集合概念的拓展延伸，培养数学抽象与创新思维|

暑假预习：容斥原理、利用venn图计算、集合新定义问题专项训练 暑假预习：容斥原理、利用venn图计算、集合新定义问题专项训练 考点目录 容斥原理 利用venn图计算 集合新定义问题 考点一 容斥原理 例1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 例2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 例3．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 例4．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 变式1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 变式2．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 变式4．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 考点二 利用venn图计算 例1．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 例2．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·安徽·阶段检测·多选）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测·多选）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    变式1．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中·多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测·多选）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·四川凉山·期末·多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·四川内江·阶段检测·多选）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 例3．（24-25高一上·海南海口·阶段检测）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 例4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 变式1．（25-26高一上·江西九江·阶段检测·多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则为闭集合 变式2．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中·多选）非空集合W关于运算满足：对于任意的，都有，则称集合W关于运算为“回归集”．下列集合W关于运算为“回归集”的是（   ） A．W为，为自然数的减法 B．W为，为有理数的乘法 C．W为，为实数的加法 D．已知全集，集合，W为，为的乘法 变式3．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 变式4．（25-26高一上·四川成都·期中）在高中数学中，我们学习了区间，集合，函数定义域等概念．下面介绍几个在高等数学中常用的概念，它们可以帮助我们更精细地描述集合的性质． 定义1（上确界）：设是一个非空实数集合，如果存在一个实数，使得： ·对于任意，都有 ·对任意，都存在，使得，则称为集合的上确界，记作 定义2（邻域）：对于实数和，则称开区间为点的一个邻域 定义3（孤立点）：设是一个实数集合，，如果存在一个，使得：，即点的某个邻域除了本身以外不含的其它点，则称是集合的一个孤立点． (1)求集合的上确界，请写出理由． (2)根据孤立点的定义，求出集合的所有孤立点，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：容斥原理、利用venn图计算、集合新定义问题专项训练 暑假预习：容斥原理、利用venn图计算、集合新定义问题专项训练 考点目录 容斥原理 利用venn图计算 集合新定义问题 考点一 容斥原理 例1．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 例2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 例3．（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 例4．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 变式1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据容斥原理求解. 【详解】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 变式2．（25-26高一上·江西·期中）现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【分析】利用容斥原理即可得到答案. 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 变式4．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 【答案】4 【分析】根据题意结合韦恩图求各类情况的人数，进而可得三个地方都没去过的同学的人数. 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 考点二 利用venn图计算 例1．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 例2．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 例3．（25-26高一上·安徽·阶段检测·多选）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用集合的文氏图表示意义即可得到判断. 【详解】    由图可得：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 例4．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测·多选）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合，，是偶数，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定的韦恩图理解新定义，再利用集合的交集、并集、补集及对称差集进行求解. 【详解】对于，，故A正确； 对于B，因为， 是偶数，所以，故B正确； 对于C，，，故正确； 对于D，，， 则，故D错误. 故选：ABC. 例5．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为___________．    【答案】或 【分析】利用并集和补集的概念求即可. 【详解】由题意得，，则或， 故阴影部分表示的集合为或. 故答案为：或 变式1．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 变式2．（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 变式3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中·多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 变式4．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测·多选）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可. 【详解】对于A，由图可知，故A错误； B、C、D均正确， 故选：BCD 变式5．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先分类讨论求出全集，再求出集合，结合韦恩图可知阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即可. 【详解】当时，，得，不符合； 当时，，得； 当时，，得，不符合， 故， ，， 则阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即. 故答案为： 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·四川凉山·期末·多选）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 例2．（25-26高一上·四川内江·阶段检测·多选）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 例3．（24-25高一上·海南海口·阶段检测）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【详解】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 例4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)，或. (3) 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 变式1．（25-26高一上·江西九江·阶段检测·多选）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ） A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则为闭集合 【答案】ABD 【分析】根据新定义依次判断，举反例得到ABD错误，取，得到，，C正确，得到答案. 【详解】对于选项A：当集合时，而，集合不为闭集合，错误； 对于选项B：设是任意的两个正整数，当时，不是正整数，错误； 对于选项C：当时，设， 则，，正确； 对于选项D：设是闭集合，且， 而，此时不为闭集合，错误． 故选：ABD． 变式2．（25-26高一上·陕西宝鸡·期中·多选）非空集合W关于运算满足：对于任意的，都有，则称集合W关于运算为“回归集”．下列集合W关于运算为“回归集”的是（   ） A．W为，为自然数的减法 B．W为，为有理数的乘法 C．W为，为实数的加法 D．已知全集，集合，W为，为的乘法 【答案】BC 【分析】由集合新定义，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件； 对于B选项，若，对任意的，则，B满足条件； 对于C选项，若，对任意的，则，C满足条件； 对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件． 故选：BC． 变式3．（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)阴影涂黑见解析过程， 【分析】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：   . 变式4．（25-26高一上·四川成都·期中）在高中数学中，我们学习了区间，集合，函数定义域等概念．下面介绍几个在高等数学中常用的概念，它们可以帮助我们更精细地描述集合的性质． 定义1（上确界）：设是一个非空实数集合，如果存在一个实数，使得： ·对于任意，都有 ·对任意，都存在，使得，则称为集合的上确界，记作 定义2（邻域）：对于实数和，则称开区间为点的一个邻域 定义3（孤立点）：设是一个实数集合，，如果存在一个，使得：，即点的某个邻域除了本身以外不含的其它点，则称是集合的一个孤立点． (1)求集合的上确界，请写出理由． (2)根据孤立点的定义，求出集合的所有孤立点，并说明理由． 【答案】(1)对任意，都有，即， 又对任意，取，则，且， 所以是集合的上确界． (2)对于点， 由，取，则的邻域是， 又， 即的邻域除了本身以外不含的其它点，即是集合的孤立点； 对于点， 由，对任意，则的邻域是， 令，显然， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中的，即不是集合的孤立点； 对于点， 由，对任意，则的邻域是， 令，显然， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中的，即不是集合的孤立点； 对于， 由，对任意，则的邻域是， 取，显然， 令，则，则， 又，则， 所以，且， 即的一个邻域除了本身以外还含中，即不是集合的孤立点． 综上，只有是集合的孤立点． 【分析】（1）先找出集合的上确界，根据上确界的定义证明即可； （2）分点，点，点及区间中的点四种情况，再结合邻域，孤立点的定义逐一判断是否为孤立点即可． 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $