第13章 三角形单元卷（暑假自检试卷）2026年人教版八年级上册

**基本信息** 人教版八年级数学三角形单元卷，以基础巩固为核心，梯度设计问题，融合生活实践与科技情境，适配暑假复习中知识梳理与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形类型判断、三边关系、稳定性等|第3题结合门框加固情境，体现应用意识| |填空题|6/18|边长范围、共边三角形计数等|第16题角平分线规律探究，培养推理能力| |解答题|8/72|内角和计算、平移性质、跨学科应用等|23题融入光线折射物理情境，24题分层探究角平分线性质，发展创新意识与几何直观|

2026-2027学年八年级数学上学期第13章单元试卷 人教版 考试范围：第13章 三角形；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】选取每组中较短的两条线段求和，与最长线段比较，判断能否组成三角形. 【详解】解：A.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； B.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C.∵，∴能组成三角形，故符合题意； D.∵，∴不能组成三角形，故不符合题意. 3．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 4．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．本题中是从顶点向对边作垂线，垂足为，即． 【详解】解：根据三角形高的定义：线段是的高，则需要满足，垂足落在边（或延长线）上． 选项A、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项B、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项C、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项D、，垂足为，在边上，完全符合三角形高的定义． 5．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 6．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 7．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 9．如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，结合平行线、角平分线得，再联立条件得，对选项逐一分析即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 已知平分，设，则： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在中，将代入、，得， ， 解得， 已知，代入，得， ， 解得， 由，逐一验证选项： A．，变化，不符合题意； B．，变化，不符合题意； C．，变化，不符合题意； D．，恒为，值不变，符合题意． 10．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：此三角形的两边长分别为和， 第三边长的取值范围是， 即． 12．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【答案】 【分析】以为底、为高表示面积，再以为底、为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出的长． 【详解】解：，即， 以为底时，的高为， ， ，即， 以为底时，的高为， ， ∴， ∴， 把，，代入得： ． 13．一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 【答案】 /15度 【分析】根据平行线的性质可得，再结合三角板的角度特征和三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 【答案】30 【分析】利用三角形的中线平分面积，以及等高三角形的面积比等于底边之比进行求解是解题的关键． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， ， ， 与的高相等， ∴（等高三角形的面积比等于底边的比） ． 15．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 【答案】18 【分析】本题考查了三角形，理解“共边三角形”的定义是解题关键．根据“共边三角形”的定义解答即可得． 【详解】解：以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：、、，可构成3对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 以为边的三角形：和，可构成1对“共边三角形”， 所以图中共有“共边三角形”的对数为（对）， 故答案为：18． 16．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】/ 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，整理可得，同理可得，由此推出，即可求解． 【详解】解：与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的倍，求这个多边形的边数． 【答案】 【分析】先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：设多边形的每个外角为，则内角为， 解得， 即这个多边形的边数是：． 18．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 19．如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． (2) 【分析】（1）根据，，结合三角形内角和定理可得，进而得到，即可证明； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．如图，点是的边上的点，点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，每个小正方形边长为． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)线段、的大小关系是__________，理由__________． (3)将三角形向右平移，再向下平移，画出平移后的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)>，垂线段最短 (3)见详解 【分析】（1）取格点C，连接交于点，则即为所求． （2）根据垂线段最短解答即可． （3）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：根据（1）可得，即， ∴，垂线段最短． （3）解：如图，即为所求． 21．如图，将沿边向左平移得到． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质得到，再由三角形的内角和定理求解即可； （2）根据平移的性质，将四边形的周长转化为的周长与线段，之和即可． 【详解】（1）解：沿方向平移得到， ． 又， ． （2）解：沿方向平移得到， ． 的周长为12， ， ∴四边形的周长． 22．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 【答案】(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． 23．在科学实验课上，小明发现：．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： (1)如图，这是一块玻璃的，两面，且．现有一束光线从玻璃射向空气时发生折射，光线变成，为射线上的一点．已知，，求的度数； (2)如图，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数； (3)联想拓展：如图，，若的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点，请直接写出，与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由平行线性质推得，再由对顶角相等即可求得； （2）由平行线性质推出、，则； （3）由平行线性质推得，，可得，再由的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点得出，，由三角形内角和定理得，即可推得，与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：， ，， ，， ，， ； （3）解：设、相交于点， ， ，， 即，， ， 的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线的性质探究角的关系、对顶角相等、角平分线的定义、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补． 24．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第13章单元试卷 人教版 考试范围：第13章 三角形；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 4．下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 6．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 7．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，直线，点，在上，点，在上，连接，，，且，交于点．若平分，，，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若一个三角形的两边长分别是4和9，则第三条边长x的取值范围是_________． 12．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 13．一副直角三角板按如图所示的方式摆放,当时,的度数为__________． 14．如图，在中，点在上，，点是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____． 15．如图，四边形的对角线，交于点O．如果我们把恰有一条边相同的两个三角形称为一对“共边三角形”，那么图中共有__对“共边三角形”． 16．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的倍，求这个多边形的边数． 18．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 19．如图，在中，，． (1)求证：为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 20．如图，点是的边上的点，点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，每个小正方形边长为． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)线段、的大小关系是__________，理由__________． (3)将三角形向右平移，再向下平移，画出平移后的三角形． 21．如图，将沿边向左平移得到． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，求四边形的周长． 22．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 23．在科学实验课上，小明发现：．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过实验，小明还发现凸透镜能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明设计了以下三个问题： (1)如图，这是一块玻璃的，两面，且．现有一束光线从玻璃射向空气时发生折射，光线变成，为射线上的一点．已知，，求的度数； (2)如图，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数； (3)联想拓展：如图，，若的邻补角的角平分线与的邻补角的角平分线交于点，请直接写出，与的数量关系． 24．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $