第13章 三角形（暑假单元自测）新八年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学第13章三角形单元卷，覆盖全章重难点，基础巩固与综合应用梯度分明，适配暑假复习检测，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三边关系、稳定性、直角三角形判定|结合生活实例（如第2题伸缩门），考查数学眼光的几何直观| |填空|6/18|取值范围、中线性质、面积计算|中点面积关系（第15题），体现数学思维的推理意识| |解答|8/72|分类讨论、动态探究、综合证明|三角板旋转探究（第24题），培养创新意识与数学语言表达能力|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第13章 三角形单元自测卷 【新教材，人教版】 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是() A.1 B.2 C.7 D.15 2.在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是() A.电动伸缩门 B.升降台 C.栅栏 D.窗户 3.如图，△ABC中，∠ACB=90·,D是BC延长线上一点，DF⊥AB于F,DF交AC于E,图中有() 个直角三角形. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.下列说法中，正确的有() ①三角形的中线、角平分线、高都是线段： ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高： ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.将一把直尺和一块含30°角的直角三角尺（∠A=90°，∠C=30。)按如图所示的方式放置.若 ∠ADE=40°，则∠CBF的度数为() A A.20° B.30° C.40 D.50° 6.设△ABC的三边分别为a,b,c,其中a,b满足|a+b-14|+(a-b+2)2=0,则最长边c的取值范 围是() A.6<c<8B.2<c<14 C.8≤c<14 D.2<c<8 7.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D,若∠B=40°，∠C=64°，则∠DAE的度数是 () E D A.10° B.12° C.15° D.18° 8.如图，在△ABC中，AH⊥BC,BF平分∠ABC,BE⊥BF,EFBC,下列四个结论中错误的是() A.AH⊥EFB.∠ABF=∠EFBC.ACI‖BE D.∠E=∠ABE 9.在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24和12的两部分，则AB的长是() A.16 B.8 C.16或8 D.8或4 10.如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=3BD,BE=CE,设△ADF的面积为S1, △CEF的面积为S2,若S△4Bc=16,则S1-S2=() 2/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 B.2 C.1.5 D.4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知长度为4、5、3x的三条线段可围成一个三角形，那么x的取值范围是 12.如图，在△ABC中，AB=5cm,AD是△ABC的中线，若△ADC的周长比△ABD的周长大 3cm,则AC= 13.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，点F在BC的延长线上，DE‖BC, ∠A=45°，∠1=52°，则∠2=度. D E 2 B 14.如图，△ABC中，AB=AC=4,P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若 S△4BC=3,则PE+PF= EB 15.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且△ABC的面积等于 20cm2,则阴影部分图形面积等于 cm2. 3/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 16.如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G,BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角 平分线，交点是P,F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G=69°，那么∠P= G B E M 三、解答题（共8小题。共72分） 17.(8分)己知，在△ABC中，AB=4,BC=2x+2,AC=10. (1)求x的取值范围； (2)若△ABC为等腰三角形，求x的值. 18.(8分)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A,B重合），连接CD交BE于点 0. B (I)若CD是中线，BC=3,AC=2,求△BCD与△ACD的周长差； (2)若CD是高，∠ABC=62·,求∠B0C的度数. 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(8分)如图，在△ABC中，AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的角平分线 (1)若∠C=70°，∠BAC=60°，则∠BED的度数是；若∠BED=50°，则∠C的度数是 (2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论. 20.(8分)在△ABC中，点M,N分别在AC,BC上，连接MN,将△MNC沿MN折叠得到△MNC (1)如图1，当点C落在边BC上，且∠A=50°，∠B=65°，求∠CMC的度数； M 图1 (2)如图2，当点C落在△ABC的内部时. A 图2 ①若∠C=63°，则∠CMN+∠CNM的度数为： ②求证：∠1+∠2=2∠C. 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点P为线段AD上一动点，过点P作PE⊥AD交射线BC 于点E. P B D B D (备用图) (1)当∠B=30°，∠ACB=70°时，求∠PED的度数： (2)当点P在线段AD上运动时（点P与点A、点D不重合），设∠PED=Q,∠ACB=B,∠B=Y(B >Y)·猜想：一的值是否变化？若不变，求出这个值；如变化，请说明理由. 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.(10分)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB于 点D,求CD的长； (2)如图2，在△ABC中，AB=4,BC=2,求△ABC的高CD与AE的比： (3)如图3，在△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP,DE⊥BP, DF⊥AP,垂足分别为点E,F.若BC=10,求DE+DF的值 D B 4 图1 图2 图3 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分)导引：过“拐点”作平行线是解决平行线问题的常用方法。 己知直线m‖n,点A,B是直线m上的两点，点C,D是直线n上的两点，∠BCD=70°，CE平分∠BCD D C D C D n 人1 m .m A(B) AB B A 图1 图2 图3 (1)如图1，当点A,B重合时，CE交AD于点E,∠1=60°，∠AEC的度数为 (2)当点A,B不重合，且AE平分∠BAD时，解决下列问题： ①如图2，点A在点B左侧，∠BAD=60°，求∠AEC的度数； ②如图3，点A在点B右侧，∠BAD=《,用含x的代数式表示∠AEC的度数. 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 24.(12分)综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动.如图1，将一副三角板△ABC和△DEF叠放在一起，其 中∠A=∠FDE=90°，∠ACB=45°，∠F=30°，点C与点D重合，点B,E,C三点在一条水平线 上.如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为c(0°<<180°). B C(D) EL(D) NC(D) 图1 图2 图3 操作计算 (1)当a=_时，AB⊥FC;当a=时，CAEF. (2)在旋转过程中，是否存在∠BCE=4∠ACF?若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由、 拓展探究 (3)当旋转角度C满足45°<《<90°时，如图3，连接EA,∠FEA+∠BCF+∠BAE的度数是否发生 变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由. 9/9 第13章 三角形 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 【答案】C 【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度． 【详解】解：设三角形第三边的长度为， ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴ ，即 ， 对比选项，只有在该范围内，因此选C． 2．在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（　　） A．电动伸缩门 B．升降台 C．栅栏   D．窗户 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性进行辨别即可. 【详解】A. 由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性； B. 升降台也是运用了四边形易变形的特性； C.栅栏是由一些三角形焊接而成的，它具有稳定性； D.窗户是由四边形构成，它具有不稳定性. 故选C. 【点睛】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形以及三角形具有稳定性． 3．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 4．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 5．将一把直尺和一块含角的直角三角尺（，）按如图所示的方式放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质得出，最后利用角的和差关系即可求出答案． 【详解】解：， ， 直尺的两边互相平行， ， ， ． 6．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 7．如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 8．如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 9．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 10．如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形的中线等知识点，能灵活运用三角形的中线以及等分线求面积成为解题的关键． 由、、可以求出的面积和的面积，再结合图形可得即可解答． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ∴，， ， ． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知长度为4、5、3x的三条线段可围成一个三角形，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：5﹣4＜3x＜4+5， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及解一元一次不等式组，解答本题的关键是根据三角形的三边关系列出不等式组． 12．如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13．如图，在中，D，E分别是上的点，点F在的延长线上，，，则______度． 【答案】 【分析】由三角形外角的定义的得出，结合，得求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， 故， ， ． 14．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． 【答案】5 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 16．如图，EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，若∠G＝69°，那么∠P＝　 　． 【答案】69°． 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用∠A表示∠G和∠P，得到∠G和∠P的关系，得到答案． 【详解】解：∵EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的平分线， ∴∠GFE∠NFE，∠QEF∠MEF， ∴∠G＝180°∠NFE∠MEF ＝180°（∠NFE+∠MEF） ＝180°（360°﹣∠AFE﹣∠AEF） ＝180°（180°+∠A） ＝90°∠A ＝69°， 同理，∠P＝90°∠A＝69°． 故答案为：69°． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 三、解答题（共8小题。共72分） 17．（8分）已知，在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了求不等式组的解集，等腰三角形的定义，三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系列不等式组求解即可； （2）分情况作答即可． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：若为等腰三角形，分情况讨论：，，． ①当时，， 解得， 三角形三边为4，4，10，不满足三角形三边关系； ②当时，， 解得， 三角形三边为4，10，10，满足三角形三边关系； ③当时，，不构成三角形，不合题意； 的值为4． 18．（8分）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． （1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：， 是的中线， ． 又，， ， 即与的周长差为1； （2）解：是的平分线，， ， 是的高， ， ． 19．（8分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线． （1）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是 ；若∠BED＝50°，则∠C的度数是 ． （2）探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）55°，80°；（2）∠BED＝90°﹣∠C 【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABC=50°，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAC=30°， ∠DBE=∠ABC=25°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）∵∠C＝70°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝50°， ∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝25°， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°， ∴∠BED＝180°﹣100°﹣25°＝55°， ∵∠BED＝50°， ∴∠ABE+∠BAE＝50°， ∴∠ABC+∠BAC＝2×50°＝100°， ∴∠C＝80°； 故答案为55°，80°； （2）∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线， ∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAC， ∵∠BED＝∠ABE+∠BAE＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠C）＝90°﹣∠C． 【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 20．（8分）在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 【答案】(1)50° (2)①117°；②证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，进而即可求解； （2）①根据折叠的性质得，进而即可求解；②根据三角形内角和定理结合折叠的性质即可得到结论 【详解】（1）∵， ∴， 由题意可得， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：由题意可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键 21．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上一动点，过点P作PE⊥AD交射线BC于点E． （1）当∠B＝30°，∠ACB＝70°时，求∠PED的度数； （2）当点P在线段AD上运动时（点P与点A、点D不重合），设∠PED＝α，∠ACB＝β，∠B＝γ（β＞γ）．猜想：的值是否变化？若不变，求出这个值；如变化，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，从而得到，然后根据三角形内角和定理可得∠ADC的度数，再由直角三角形两锐角互余，即可求解； （2）由直角三角形两锐角互余，可得∠ADC＝90°﹣α，再根据三角形内角和定理可得∠BAC＝180°﹣β﹣γ，再由AD平分∠BAC，可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到β﹣γ＝2α，即可求解． 【详解】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝70°， ∵PE⊥AD， 即∠DPE＝90°， ∴∠PED＝90°﹣∠ADC＝20°； （2）的值不变，为， ∵PE⊥AD，即∠DPE＝90°，∠PED＝α， ∴∠ADC＝90°﹣α， ∵∠ACB＝β，∠B＝γ， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣β﹣γ， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∴， ∴β﹣γ＝2α， ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于180°，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 22．（10分）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 23．（10分）导引：过“拐点”作平行线是解决平行线问题的常用方法． 已知直线，点是直线上的两点，点是直线上的两点，，平分． (1)如图1，当点重合时，交于点的度数为________． (2)当点不重合，且平分时，解决下列问题： ①如图2，点在点左侧，，求的度数； ②如图3，点在点右侧，，用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)①;② 【分析】（1）平分，得，根据平行线性质（两直线平行，内错角相等），得,利用三角形外角性质求出的度数． （2）①过点作的平行线，根据平行线性质（两直线平行，内错角相等），得． ②过点作，根据平行线性质（两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补），得,,得出． 【详解】（1）解： 平分且 （两直线平行，内错角相等） (三角形的外角性质) （2）解：①如图1，过点作， 平分平分， ． 又， ． ， ． ， ， ， ②如图2，过点作， 平分平分， ． 又， ． ， ， ， ． ． 24．（12分）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $