第13章三角形暑假自学章末练 2026-2027学年数学人教版八年级上学期

**基本信息** 初中数学人教版（2024）八年级上学期三角形单元暑假自学章末练，覆盖三角形分类、性质、全等及重心等核心知识，梯度合理，融合几何直观、推理意识与创新应用，适配暑假自主巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三角形分类、稳定性、三边关系、内角和|结合生活情境（太阳能支架），考查空间观念| |填空题|4|三边取值范围、外角性质、折叠角度计算|强化基础推理，体现抽象能力| |解答题|7|中线面积、重心性质、综合实践探究|第21题综合实践以重心为载体，培养创新意识与推理能力，契合真题探究趋势|

第13章 三角形 暑假自学章末练 2026-2027学年 初中数学人教版（2024）八年级上学期 一、单选题 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 3．若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 4．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 5．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 6．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 7．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．已知三角形的三边之长分别为3，7，，则a的取值范围是_______________． 12．如图，在中，，点A为的延长线上一点，为的角平分线，则__________°． 13．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是______． 14．如图，将一角折叠，若，则_______． 三、解答题 15．已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 16．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 17．如图，在中，．求x的值． 18．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 19．如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 20．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 21．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B D B A C C 1．D 根据三角形的分类可直接得到答案． 解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．A 根据三角形具有稳定性解答即可． 解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 3．C 解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度． 解：设三角形第三边的长度为， ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴ ，即 ， 对比选项，只有在该范围内，因此选C． 4．D 此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 5．B 分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 6．D 运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． ∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 7．B 根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 8．A 先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 9．C 根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 10．C 本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 11． 本题考查了利用三角形的三边关系求第三边的取值范围，由三角形的三边关系得，即可求解． 解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 12．35 本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 根据三角形外角的性质，角平分线定义即可求解． 解：在中，，是的一个外角， ∴， ∵为的角平分线， ∴ 故答案是：35． 13．或 本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 14．/144度 本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15． 本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式组，由题意知，，，即，计算求解即可． 解：分别为的三边，且满足， 解得，， 的取值范围为． 16．． 本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，垂直定义，等角的余角相等，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到， 由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 17． 本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：在中，， ，即， ∵， ∴， ∴，即． 18．(1)3 (2)2 本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑． （1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积； （2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差． （1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 19．(1) (2) 本题考查垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，则有，得到，即可解答； （2）先求出，再推导出，可得到 ， ，即可解答． （1）解：是的两条高， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， 答：的度数，的度数． 20．(1)①；② (2)，理由见解析 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； （1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)10 本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． （1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $