暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练-2026年初升高衔接暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值两大核心应用，通过精选例题与变式构建从“1”的妙用（特殊条件）到一般条件等式的递进训练体系，培养运算推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |“1”的妙用求最值|8题（4例+4变式）|已知正实数和为1等条件，求分式/整式最值，含选择、填空|从“1”的代换切入，强化基本不等式“一正二定三相等”条件应用，构建特殊条件下的最值模型| |条件等式求最值|8题（4例+4变式）|含多选、解答题，条件涉及和、积及多元等式，求范围、最值|拓展至一般条件等式，通过多题型训练深化不等关系转化，培养数学抽象与逻辑推理能力|

暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 考点目录 基本不等式“1”的妙用求最值 基本不等式条件等式求最值 考点一 基本不等式“1”的妙用求最值 例1．（25-26高一上·山东威海·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 例2．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·山东东营·阶段检测）已知，满足，则的最小值是______________． 例4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 变式1．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 变式3．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 变式4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，，，则的最大值为____. 考点二 基本不等式条件等式求最值 例1．（25-26高二下·山西运城·期末·多选）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 例2．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测·多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 例3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）设实数x，y满足． (1)若，求实数的取值范围； (2)当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 例4．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 变式1．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·辽宁丹东·期末·多选）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 变式3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 变式4．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 暑假预习：基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式条件等式求最值专项训练 考点目录 基本不等式“1”的妙用求最值 基本不等式条件等式求最值 考点一 基本不等式“1”的妙用求最值 例1．（25-26高一上·山东威海·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 例2．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 例3．（25-26高一上·山东东营·阶段检测）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 例4．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 变式1．（2026·河北沧州·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 变式2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 变式3．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 【答案】8 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 变式4．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 考点二 基本不等式条件等式求最值 例1．（25-26高二下·山西运城·期末·多选）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 例2．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测·多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 例3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）设实数x，y满足． (1)若，求实数的取值范围； (2)当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）由，可得，代入，解不等式，即得答案； （2）将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，     又，即，化简得，             所以， 故的取值范围为． （2）因为， 所以                      ，         当且仅当且，即时取等号， 故的最小值为，此时． 例4．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】(1)的取值范围都是，的最大值为3． (2)最大值为6，此时或． (3)时取得最小值，最小值为 【分析】（1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. 【详解】（1），即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． （2）由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． （3），即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 变式1．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据代入转换求解判断A；根据代入转换求解判断B；根据代入转换求解得，再结合立方和公式判断C；根据代入转换求解判断D. 【详解】对于A，由，，可得，解得，故A正确； 对于B，由，利用基本不等式得（当且仅当时，等号成立），解得，故B错误； 对于C，由，利用基本不等式，化简得（当且仅当时，等号成立），解得，即， 又，故C错误； 对于D，，所以，所以 故D正确； 故选：AD 变式2．（25-26高一上·辽宁丹东·期末·多选）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 【答案】ABD 【分析】因为结合题目化简得到， 所以有最大值为，故A正确；设，所以，由，所以，即，所以，故B正确；因为且，所以，故C 错误；因为且，所以，所以，故D正确. 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. 变式3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)4； (3)． 【分析】（1）根据“1”的妙用，结合基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式，，再对平方计算即可； （3）先化简，再由，则，结合基本不等式求最值即可． 【详解】（1）因为， 所以． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为． （2）因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为， 所以，所以的最大值为4． （3）因为，所以． 因为， 所以． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为， 故的最小值为． 变式4．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)利用代换1法，结合基本不等式求最小值； (2)利用等式，结合基本不等式来求最大值. 【详解】（1）由可得：， 因为， 所以， 当且仅当时取等号. 即的最小值为； （2）由，可知， 又因为，所以有， 令，则有， 解得，故， 此时当且仅当取等号，即的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $