2.2 基本不等式-【初高中·衔接直通车】2025年初升高数学衔接直通车

2.2　基本不等式 1.两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2＋b2________2ab(a，b∈R) 当且仅当________时取“＝” 基本不等式 ________(a>0，b>0) 当且仅当________时取“＝” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有①x，y>0，②和(积)为定值，③存在取等号的条件. 探究点一　基本不等式的简单应用 【典例1】　(1)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________. (2)若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2,2ab，a2＋b2中最大的一个是________. 【解析】　(1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4， 由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. (2)因为0<a<1,0<b<1，a≠b， 所以a＋b<2，a2＋b2>2ab，而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1). 因为0<a<1,0<b<1， 所以a(a－1)<0，b(b－1)<0， 所以a2＋b2－(a＋b)<0， 即a2＋b2<a＋b，所以2最大. 【答案】　(1)m>n　(2)2 【方法总结】　 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. [对点训练] 　已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小. 探究点二　利用基本不等式求最值、范围 【典例2】　(1)若x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________. (2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________. 【解析】　(1)因为x<， 所以5－4x>0， 则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. (2)解法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝ ＋＋＋≥＋＝5， 当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立，所以3x＋4y的最小值是5. 解法二　由x＋3y＝5xy，得x＝， 因为x>0，y>0，所以y>，所以3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5， 当且仅当y＝时等号成立， 所以(3x＋4y)min＝5. 【答案】　(1)1　(2)5 【方法总结】　 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式. (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 【易错警示】　使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 【提醒】　1.利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； 2.尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. [对点训练] 　函数y＝(x>1)的最小值为________. 探究点三　利用基本不等式求参数的值、范围 【典例3】　(1)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，－2)∪[4，＋∞) B.(－∞，－4]∪[2，＋∞) C.(－2,4) D.(－4,2) (2)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 【解析】　(1)x＋2y＝(x＋2y)·＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立. 由x＋2y>m2＋2m恒成立， 可知m2＋2m<8，m2＋2m－8<0， 解得－4<m<2. (2)因为x>0，a>0， 所以f(x)＝4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即4x2＝a时f(x)取得最小值，因为x＝3，所以a＝4×32＝36. 【答案】　(1)D　(2)36 【方法总结】　 求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. (3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A； 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B. [对点训练] 　已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A.2　　　　　 B.4 C.6 D.8 A基础巩固练 1.若a，b都是正数，则·的最小值为(　　) A.7　　　　 B.8 C.9 D.10 2.若0≤x≤6，则f(x)＝的最大值为(　　) A. B.4 C. D. 3.若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝(　　) A. B.3 C. D.4 4.已知a>0，b>0，a＋b＝4，则＋的最大值为(　　) A.2 B.＋1 C.2 D.4 5.当x>1时，不等式x＋≥a＋1恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.≤ B.＋≤1 C.≥2 D.a2＋b2≥8 7.周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________. 8.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. B能力提升练 9.(多选题)下列式子，正确的有(　　) A.a2＋1＞2a B.≥2 C.≥2 D.x2＋≥1 10.下列结论正确的是(　　) A.若a>0，b>0, 且a＋4b＝1, 则 ab的最大值为 B.若正实数a, b满足ab＝a＋b＋3, 则ab的最小值为20 C.若a, b为正实数，且a＋2b＝2，则 ＋的最小值为6 D.若a，b∈R，ab>0, 则 的最小值为3 11.设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a；②≥4； ③(a＋b)≥4；④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是________(填序号). 12.某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2　基本不等式 [基础知识整合] 1.≥　“a＝b”　≤　a＝b [新知自主探究] 典例1　对点训练 　解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2， 所以≥(a＋b)， 同理≥(b＋c)，≥(c＋a)， 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]， 即＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 典例2　对点训练 　解析：y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立. 答案：2＋2 典例3　对点训练 　B　(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2(x，y，a>0)，当且仅当y＝x时等号成立，所以(x＋y)·的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立.所以a≥4. [学习效果检测] 1.C　因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时等号成立. 2.B　因为0≤x≤6，所以8－x>0，所以f(x)＝≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立.故f(x)的最大值为4. 3.B　由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，等号成立. 4.C　∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴≤ ，即＋≤·＝2， 当且仅当a＝b＝2时等号成立. ∴＋的最大值为2. 故选C. 5.A　由题意，只需在x>1时，min≥a＋1即可，又x>1，则x－1>0，故x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝⇒x＝2时等号成立，故min＝3，所以a＋1≤3⇒a≤2，即实数a的取值范围为.故选A. 6.D　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8. 7.解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以直角三角形面积S＝ab≤，即S的最大值为. 答案： 8.解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m， 则y＝x(10－x)≤＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 答案：25 9.BD　∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0， ∴a2＋1≥2a，故A不正确； 当x＞0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)； 当x＜0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时等号成立)，∴B正确； 若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故C不正确； x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时等号成立)，故D正确. 10.C　A选项：若a>0，b>0, 则a＋4b＝1≥2，解得ab≤， 当且仅当a＝4b＝时等号成立，故A选项错误； B选项：因为正实数a, b满足ab＝a＋b＋3，则ab－3＝a＋b≥2， 解得ab≥9(负舍)，当且仅当a＝b＝3时等号成立， 则ab的最小值为9，故B选项错误； C选项：因为a>0，b>0，a＋2b＝2，所以4＝2a＋4b， 所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝6， 当且仅当a＝2b＝1时等号成立，故C选项正确； D选项：≥＝4ab＋≥4， 当且仅当即a2＝，b2＝时等号成立，故D选项错误. 故选C. 11.解析：由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立； 由于＝ab＋＋＋≥2 ＋2 ＝4. 当且仅当 即a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4.当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立. 综上，①②③正确. 答案：①②③ 12.解：设平行线段长为x m，半圆形直径为d m，中间的矩形区域面积为S m2. 由题意可知S＝xd，且2x＋πd＝400， 所以S＝xd＝×πd×2x≤2＝，当且仅当πd＝2x＝200，即d＝，x＝100时，等号成立. 所以当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积最大，最大为 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$