广东深圳市新安中学（集团）高中部2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

**基本信息** 新安中学高一年级数学期中卷聚焦集合、函数等核心知识，通过基础题（如定义域求解）与创新题（如函数对称中心推广）梯度设计，考查抽象能力与推理意识，适配阶段性素养评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、函数定义域|第7题结合定点坐标与不等式求最值，体现模型意识| |多选|3/18|函数单调性、方程根的性质|第10题分析方程根的充要条件，考查推理能力| |填空|3/15|幂函数、不等式应用|第13题利用基本不等式求最值，强化运算能力| |解答|5/77|函数奇偶性、单调性证明、对称中心|第19题推广奇函数性质探究对称中心，发展创新意识|

高一数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D D C B AC BCD 题号 11 12 13 14 答案 ACD 2 15．（1）原式 ；........5’ （2）①因为，所以，即，所以；.........9’ ②因为，又因为，所以........13’ 16．（1）设，则， ∵当时，， ∴，..............2’ ∵函数是定义在上的奇函数， ∴（），..........5’ ∴.........6’ （2）函数的图象如图所示： ............11’ （3）由图像可知，的单调递增区间是，..............13’ 单调递减区间为和．.........15’ 17．（1）函数，因为，所以，则.........3’ （2）函数在上单调递增，........4’ 由（1）知，，下面证明单调区间， 设，则，........7’ 由，则，...........9’ 所以，即，............10’ 所以函数在上单调递增.............11’ （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增，........12’ 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6．.............15’ 18．（1）因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立，.......1’ 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意；.......3’ 当时，则满足，解得，............5’ 综上可得，实数的取值范围为.................6’ （2）由不等式，可得，即， ①当时，不等式可化为，解得...............7’ 当时，方程的解，或， ②当时， 或；.............9’ ③当时， （i）当时，即， ；...............11’ （ii）当时不等式的解集为，..................13’ （iii）当时，， ，..................15’ 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.............17’ 19．（1）函数的图象有对称中心，.........1’ 证明如下： 因为， 假设函数的图象关于点成中心对称图形， 等价于函数为奇函数，..........2’ 因为，即， 可知的定义域为，可得，即，.........3’ 此时，可得，解得，.........4’ 此时为定义在内的奇函数， 所以的对称中心为............5’ （2）（i）当时，则， 可得， 又因为，则， 所以；.........7’ （ⅱ）当时，则， 可得， 可知在内单调递增，且，即， 又因为，则， 所以；........8’ （ⅲ）当时，则， 可得， 令， 因为，则在内单调递减， 则在内单调递减， 且，， 可知存在唯一实数，使得， ①当时，则，即； ②当时，则，即； 所以；......10’ （ⅳ）当时，则， 可得， 又因为，则， 所以；........11’ 综上所述：，.......12’ 可知：在内单调递增，此时的最大值为； 在内单调递减，无最大值； 在内单调递增，且；............14’ 又因为，即， 令，解得，， 可得：当时，，此时的最大值为； 当时，，此时无最大值；...........16’ 所以不是对任意的，都有最大值..........17’ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安中学（集团）高中部2024-2025学年第一学期期中考试题 高一年级数学 2024年11月 本试卷分选择题与非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 第I卷（共58分） 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 3．函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数 是偶函数，则（    ） A．1 B．-1 C． D． 6．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． , D． 7．函数的图像恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则 的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 8．已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于函数，下列判断正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C．方程有无数解 D．函数的值域为Z 第II卷（共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是 . 13．若，，且，则的最小值为 . 14．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(13分) （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16．(15分) 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　 （1）求函数的解析式； （2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象； （3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间． 17．(15分) 已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 18．(17分) 已知． (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集． 19．(17分) 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 已知函数，. (1)函数的图象是否有对称中心？请利用题设性质证明； (2)用表示，中的最小值，设函数，请讨论是否对任意的，都有最大值. 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $