精品解析：广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：余成军 审题人：徐兰兰 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算得解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 又，，， 所以， 所以函数有唯一零点，且在内. 故选：C 3. 已知，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象． 【详解】函数（且）中由得， 则函数过定点， 设，代入可得，解得， 故幂函数，则B选项图象符合. 故选：B. 6. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，得，解得， 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：C 7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 8. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，将所求不等式转化为，再结合函数性质求解. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得，而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 角为第二象限角，则 B. 若，则 C. 角是第四象限角，则是第二象限角 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由诱导公式可判断A，由同角三角函数平方关系可判断B，由特殊值可判断C，由诱导公式和同角三角函数平方关系可判断D. 【详解】对于A，角为第二象限角，由诱导公式得，正确； 对于B，因为，，则，正确； 对于C，为第四象限角，，也是第四象限角，故错误， 对于D， ，正确， 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. 一元二次不等式的解集为，则 C. 正数，满足，则的最小值为 D. 若且，则的最小值是 【答案】AB 【解析】 【分析】全称命题的否定判断A；用韦达定理判断B；均值不等式判断C和D. 【详解】对于选项A，由全称命题的否定的定义可知，“”的否定是“”， 故A正确. 对于选项B，一元二次不等式的解集为，可知， 由韦达定理得，解得，则，故B正确. 对于选项C，由得， ， 当且仅当且，即时取等号. 故C错误. 对于选项D， 当且仅当时等号成立. ，故D错误. 故选：AB. 11. 函数满足：，且时，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】方法一：赋值得到方程，得到或，排除，得到；B选项，，时不合要求，，故；C选项，设，则，得到，故C正确；D选项，由单调性得到，解不等式得到D错误； 方法二：令，变形得到，不妨令，则，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】方法一：对于A：当时，，解得或， 若，当，令得， 代入，解得， 但当时，，不合要求，舍去， 若，令得， 即，恒成立，满足要求，，选项A错误； 对于B：， 时，若，则，与已知矛盾，； 又时，，所以，选项B正确； 对于C：设，则， ， 所以 ， 由B知，，故， 故， ，故在上单调递增，选项C正确； 对于D：由C知，在上单调递增， 故等价于， ， ， ，或， ，或，选项D错误. 方法二：， 即，令， 则， 不妨令，则， 满足时，，当时，， A选项，，A错误； B选项，恒成立，B正确； C选项，在上单调递增，C正确； D选项，等价于， ， ， ，或， ，或，D选项错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式及诱导公式求值即可. 【详解】， 即时，，时，， ， ． 故答案为：． 13. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可知，外层函数是增函数，结合对任意的，恒成立，根据这两个条件可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为且，则内层函数在上为减函数， 由于函数且在区间上单调递减， 则外层函数是增函数，则， 且对任意的，恒成立，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】由函数， 当时，，即， 当时，，即，所以可知的值域为， ， 由题意可知，函数在的值域应是函数值域的子集， 故当时，解得， 当时，，此时无解， 当时，，此时无解， 综上综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式求解，结合集合并集运算即可求解； （2）由，通过比较集合端点大小，即可求解. 【小问1详解】 当时， 或 ， 或； 【小问2详解】 “”是“”的充分条件，， 即又 或或， 而， 要使得，需有或， 或. 即实数a的取值范围是 16. 已知. （1）若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； （2）若，求的值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由角终边过点，得到，代入求值； （2）化简求得，代入利用诱导公式化简求值； （3）由求得，代入求值. 【小问1详解】 的终边过点； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，所以，即， 从而， 因为，所以，因此， 从而，故 17. 湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量小于60台时，（万元）；当年产量不少于60台时（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式？ （2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？ 【答案】（1）；（2）年产量为70台时，最大获得1300万元. 【解析】 【分析】 （1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解； （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解. 【详解】（1）由题意可得：时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： ， （2）由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为， 此时时，万元， 当时，， 当且仅当即时等号成立，， 综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是读懂题意得出年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式，对于分段函数求最值要分段来求. 18. 已知函数是定义在上的偶函数. （1）求实数的值与的值； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义得出，再根据恒成立计算参数得出解析式，代入求函数值即可； （2）利用单调性的定义结合偶函数的性质判定即可； （3）利用结合（2）的结论得出恒成立，利用换元法结合二次函数的性质与基本不等式计算即可. 【小问1详解】 由是定义在上的偶函数，得， ， ， 两边平方得，恒成立，， 则； 【小问2详解】 由（1）知，设， ， 易知， ， 在上单调递增， 又为偶函数，则在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 由（2）知，恒成立，即恒成立， 设恒成立， 当恒成立时， 由，可得对任意恒成立，； 当恒成立时，由，可得恒成立， ，当且仅当时取等号，， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； （3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】（1）具有性质，不具有性质，理由： 对任意，得，所以具有性质； 对任意，得. 当时，，所以不具有性质 （2）偶函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义判定即可； （2）设函数解析式，根据定义分类讨论计算，再利用函数的奇偶性定义判定即可； （3）利用对数的运算法则结合定义得出恒成立，根据对数函数的单调性变形得，再分类讨论与1的关系解不等式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设二次函数满足性质，则对任意， 满足. 当时，，此时可以为任何实数； 当时，恒成立， 易知恒成立，所以， 又，故. 综上所述，函数具有性质时，，此时， 即为偶函数. 【小问3详解】 由于，函数的定义域为， 易得， 若函数具有性质，则对于任意实数x， 有， 即，即， 由于函数在上单调递增，得， 即， 当时，，由，得， 得，得， 由题意得恒成立，所以，即， 当时，恒成立，适合题意 当时，， 由题意得，即， 综上：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：余成军 审题人：徐兰兰 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 7. 若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 8. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 角为第二象限角，则 B. 若，则 C. 角是第四象限角，则是第二象限角 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. 一元二次不等式的解集为，则 C. 正数，满足，则的最小值为 D. 若且，则的最小值是 11. 函数满足：，且时，，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则____________. 13. 已知函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 设集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 16. 已知. （1）若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； （2）若，求的值； （3）若，且，求的值. 17. 湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量小于60台时，（万元）；当年产量不少于60台时（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式？ （2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？ 18. 已知函数是定义在上的偶函数. （1）求实数的值与的值； （2）讨论函数的单调性； （3）设，若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； （2）已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性； （3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $