第5章 一元一次方程 单元测试 2026～2027学年北师大版七年级上册数学

**基本信息** 北师大版七年级上册数学一元一次方程单元卷，以古算诗、生活情境为载体，覆盖方程概念、解法及应用，梯度设计适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|方程定义、等式性质、古算诗建模|结合日历T字框考规律探究| |填空题|5小题|一元一次方程定义、代数式表示|AI机器人折扣问题联系实际| |解答题|8小题|解方程、方案选择、规律探究|杆秤制作综合实践考应用能力|

2026~2027学年北师大版七年级上册数学 第5章 一元一次方程 单元测试 一．选择题（共10小题） 1．若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 2．下列选项中，是方程的是（　　） A．x+1＜2 B．x+y C．3+5＝8 D．x+1＝3 3．下列方程中属于一元一次方程的是（　　） A．x2+2x+1＝3 B．xy+y＝3 C． D．3﹣2x＝﹣1 4．如果3x＝2y，那么3x+z＝2y+z，其依据为（　　） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．若每人6根竹竿，则多出14根；若每人8根竹竿，则正好分完．设牧童有x人，则可列方程为（　　） A．6x+14＝8x B．6x﹣14＝8x C．6（x+14）＝8x D．6（x﹣14）＝8x 6．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程﹣mx﹣n＝4的解为（　　） x ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣8 ﹣4 0 4 A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 7．已知5x+4＝2x﹣5与关于x的方程x﹣1＝k的解相同，则k+1的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣2 D．3 8．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．当图2在图1的不同位置时，代数式4a﹣2b+3c+md为定值，则m的值为（　　） A．﹣4 B．5 C．﹣5 D．8 9．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿．甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有x竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有y人，根据题意可列方程6y+14＝8y﹣2． 下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误、乙正确 D．甲、乙都错误 10．将连续的奇数1，3，5，7，9，⋯，按如图所示方式排列．图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（　　） A．22 B．70 C．182 D．206 二．填空题（共5小题） 11．已知方程（m﹣3）x|m|﹣2+2026＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ． 12．已知方程y﹣2x＝﹣5，用含x的代数式表示y，则y＝ 　 　 ． 13．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为 　 　 ． 14．某款AI智能语音机器人的进价为320元，商店按进价提高50%后标价，为让利于顾客，销售时在标价的基础上给予一定的折扣优惠，若要使每台机器人的利润率为12.5%，则商店应按标价的　 　 折销售． 15．如图，AB，CD是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点A与点C重合，点B与点D重合），现将AB沿直线l向左平移k厘米，将CD沿直线l向右平移2k厘米，当B，C是线段AD的三等分点时，k的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解方程：． 17．学习了一元一次方程的解法后，王老师布置了这样一道题目： 解方程：．小明同学的解答如下： 解：去分母，得3x﹣（x+1）＝6…第①步 去括号，得3x﹣x+1＝6…第②步 移项，得3x﹣x＝6﹣1…第③步 合并同类项，得2x＝5…第④步 系数化为1，得第⑤步 根据小明同学的解答过程，回答下列问题： （1）第①步的依据是　 　 ． （2）老师发现小明同学的解答过程有错误，请你指出从第　 　 （填序号）步开始出现错误，并帮助小明写出正确的解答过程． 18．数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面；B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中x张用A方法裁剪，其余的用B方法． （1）一共可裁剪出侧面　 　 个，底面　 　 个（用含x的代数式表示）； （2）若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求x的值和制成的盒子个数． 19．古琴在我国的历史非常悠久，是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵、商、羽、角．其发声弦的弦长是通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声弦长是81， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声弦长是54； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声弦长是72； “商”经“三分损一”得“羽”；“羽”经“三分益一”得“角”． （1）按照上面的假设，“羽”音的发声弦长是　 　 ； （2）小明想要制作一个古琴，需要五根发声弦，每根发声弦分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声弦的长度总和为159.5cm，求该古琴中“宫”的发声弦长． 20．小明一家去某餐厅就餐，发现该餐厅的招牌菜品每份40元，针对招牌菜品推出两种优惠方案： 方案一：团购超值套餐，售价240元，包含8份招牌菜品，额外加购招牌菜品按原价（每份40元）支付； 方案二：首先支付40元办理一张会员卡，凭借该会员卡所有菜品均按7折支付． （1）小明计划点x份招牌菜品（x≥8），请帮他用含x的代数式分别写出按照两种优惠方案购买招牌菜品需支付的费用； （2）购买多少份招牌菜品时，两种方案的总费用相同？ （3）若小明一家最终点了12份招牌菜品，采用哪种方案更优惠？优惠多少元？ 21．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图1所示的数表． 一、规律探究 （1）用2×2方框框住数表中的四个数：13，15，23，25，通过计算说明：这四个数之和与方框内对角两数之和有什么关系？ （2）不改变2×2方框的大小，将其移至其它位置（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？若成立，请设方框左上角的数为a，用代数式表示并说明理由． 二、拓展应用 （3）用形框在数表中框住六个数，如图2，若将框上下左右移动（框内必须有数字），但不改变框的大小，回答问题： ①写出框中的六个数之间的一个规律，请说明理由． ②框中的六个数之和能等于2006吗？能等于2022吗？能等于2106吗？若能，写出这六个数；若不能，请说明理由． 22．【概念学习】数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小明进一步对数轴进行思考．若数m与n（m≠n）分别对应数轴上的点A与点B，则|m﹣n|为点A与点B的距离．定义：为点A与点B之间的四等分距离，记作W（m，n）．例如：数轴上表示﹣2与6的点之间的四等分距离是． 【初步感知】（1）已知W（﹣1，x）＝2，则x＝　 　 ． 【深入探究】（2）已知数轴上三点表示的数是整数x，﹣3，2，满足，求所有整数x的和． （3）已知数轴上的点A，B，C表示的数分别是﹣1，3，19，现在点A，B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，运动t秒后，点A，B表示的数分别是a，b，当W（a，b）+W（b，19）最小时，求时间t的取值范围，并求出W（a，b）+W（b，19）的最小值． 23．学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上给同学们布置了“如何自己动手做一杆秤”的实践活动，阅读材料，完成任务． 实践活动 如何自己动手做一杆秤 素材一 如图1，用一根质地均匀的60cm长的木杆和一些等重的小物体做下列实验，并记录每一次支点与木杆左右两边挂重物处的距离： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端挂重物的距离 状态 1 30cm 1 30cm 平衡 2 15cm 1 30cm 平衡 3 10cm 1 30cm 平衡 4 7.5cm 1 30cm 平衡 5 ① 1 30cm 平衡 素材二 同学们根据这个原理自制了一个杆秤，如图3所示，提钮处O是支点，已知OA为6cm，秤砣重量是500g，称盘重量是200g，秤砣到提钮处O秤砣的距离为ycm（即OB）． 任务一 （1）根据素材一实验记录数据的规律，补全实验记录：①　 　 ，如图2，支点在木杆中点处，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为lcm，支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程　 　 ． 任务二 （2）根据素材二，若秤盘上不放重物，问当y为何值时，杆秤刚好平衡． 任务三 （3）根据素材二，记放入的重物重量为mg．根据查阅的信息，若y与m的关系满足形如y＝km+b，其中k≠0，且k，b为常数，则说明杆秤上的刻度均匀．用式子表示y与m的关系，并判断自制的杆秤上的刻度是否均匀？若杆秤上最大刻度距离提纽处O点为30cm，求这根杆秤能称量的最大重量是多少？ ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 2026~2027学年北师大版七年级上册数学第5章一元一次方程单元测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解： 把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0 可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0， 解得：m＝8， 故选：D． 2．【解答】解：x+1＜2不是等式，则A不符合题意， x+y不是等式，则B不符合题意， 3+5＝8中不含未知数，则C不符合题意， x+1＝3是含有未知数的等式，则D符合题意， 故选：D． 3．【解答】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 4．【解答】解：∵由3x＝2y变形得到3x+z＝2y+z，是给方程左右两边同时加上同一个整式z， ∴等式仍成立， 故选：C． 5．【解答】解：根据题意得：6x+14＝8x． 故选：A． 6．【解答】解：﹣mx﹣n＝4， mx+n＝﹣4， 由表格可知，当x＝0时，mx+n＝﹣4， 所以关于x的方程﹣mx﹣n＝4的解为x＝0， 故选：B． 7．【解答】解：解方程5x+4＝2x﹣5， 移项得5x﹣2x＝﹣5﹣4， 合并同类项得3x＝﹣9， 系数化为1得x＝﹣3， 根据题意得x﹣1＝k的解是x＝﹣3， ∴﹣3﹣1＝k，即k＝﹣4， ∴k+1＝﹣4+1＝﹣3． 故选：A． 8．【解答】解：根据题意可得， c＝a+2，b＝a+14，d＝a+16， ∴4a﹣2b+3c+md ＝4a﹣2（a+14）+3（a+2）+m（a+16） ＝4a﹣2a﹣28+3a+6+ma+16m ＝（4﹣2+3+m）a+（﹣28+6+16m） ＝（5+m）a+（﹣22+16m）， ∵代数式4a﹣2b+3c+md为定值， ∴5+m＝0，解得m＝﹣5， 故选：C． 9．【解答】解：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿．甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有x竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有y人，根据题意可列方程6y+14＝8y﹣2． ∴甲、乙两位同学的方程均正确， 故选：A． 10．【解答】解：设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1， 则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10， ∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6． A、令框住的四个数的和为22， 则8n+6＝22， 解得：n＝2，故本选项不符合题意； B、令框住的四个数的和为70， 则8n+6＝70， 解得：n＝8，故本选项不符合题意； C、令框住的四个数的和为182， 则8n+6＝182， 解得：n＝22，故本选项不符合题意； D、令框住的四个数的和为206， 则8n+6＝206， 解得：n＝25， ∵2n﹣1＝49，不能处在T字框内中间且靠上方， ∴框住的四个数的和不能为206，故本选项符合题意； 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：根据题意得|m|﹣2＝1且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 12．【解答】解：∵y﹣2x＝﹣5， ∴用含x的代数式表示y＝2x﹣5， 故答案为：2x﹣5． 13．【解答】解：∵每人分4个梨，多12个梨， ∴孩童有个； ∵每人分6个梨，恰好分完， ∴孩童有个． ∴根据题意可列方程． 故答案为：． 14．【解答】解：设商店按标价的x折销售， 根据题意得：320×（1+50%）320＝320×12.5%， 解得：x＝7.5， ∴商店应按标价的七五折销售． 故答案为：七五． 15．【解答】解：依题意有：k+2k＝8÷2， 解得k． 或依题意有：k+2k＝8+8， 解得k． 故k的值为或． 故答案为：或． 三．解答题（共8小题） 16．【解答】解：原方程去分母得：3（3y﹣1）﹣12＝2（3y﹣7）， 去括号得：9y﹣3﹣12＝6y﹣14， 移项，合并同类项得：3y＝1， 系数化为1得：y． 17．【解答】解：（1）第①步的依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2； （2）观察小明的解答过程，第②步去括号时，对﹣（x+1）展开，根据去括号法则，应该得到﹣x﹣1，而小明写成了﹣x+1，符号处理错误，故从第②步开始出现错误； 正确的解答过程如下： 去分母，得3x﹣（x+1）＝6， 去括号，得3x﹣x﹣1＝6， 移项，得3x﹣x＝6+1， 合并同类项，得2x＝7， 系数化为1，得． 故答案为：②． 18．【解答】解：（1）∵一共领取了9张纸板，其中x张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面6x个，底面（81﹣9x）个； （2）根据题意得，6x﹣6＝2×9（9﹣x）， 解得x＝7， ∴6×（7﹣1）÷4＝9， 答：x的值为7时，可以制作9个盒子． 19．【解答】解：（1）由题意可得： “羽”音的发声弦长为； 故答案为：48； （2）设该古琴中“宫”的发声弦长为 xcm， 则“徵”音的发声弦长为， “商”音的发声弦长为， “羽”音的发声弦长为， “角”音的发声弦长为， 列方程得：， ∴x＝40.5， 答：该古琴中“宫”的发声弦长为40.5cm． 20．【解答】解：（1）方案一：购买招牌菜品需支付的费用为[240+（x﹣8）×40]元； 方案二：购买招牌菜品需支付的费用为（40+40×0.7x）元； （2）根据题意得240+（x﹣8）×40＝40+40×0.7x， 解得x＝10， 答：购买10份招牌菜品时，两种方案的总费用相同； （3）当x＝12时，240+（x﹣8）×40＝240+（12﹣8）×40＝400（元）； 当x＝12时，40+40×0.7x＝40+40×0.7×12＝376（元）， 因为400＞376，400﹣367＝33， 所以采用方案二更优惠，优惠33元． 21．【解答】解：（1）这四个数的和为：13+15+23+25＝76，对角两数之和为13+25＝38， ∵38×2＝76， ∴这四个数的和等于对角两数之和的2倍； （2）成立，理由如下： 设方框左上角的数为a，则其它三个数为a+2，a+10，a+12， ∴这四个数的和为：a+a+2+a+10+a+12＝4a+24，对角两数之和为a+a+12＝2a+12， ∵2（2a+12）＝4a+24， ∴这四个数的和等于对角两数之和的2倍； （3）①这六个数的和是6的整数倍，理由如下： 设方框左上角的数为x，则其余五个数分别为x+2，x+4，x+10，x+20，x+12， 这六个数的和为x+x+2+x+4+x+10+x+20+x+12＝6x+48＝6（x+8）， ∴这六个数的和是6的整数倍； ②六个数之和能等于2106，不能等于2006和2022，理由如下： 若六个数之和能等于2006，则6（x+8）＝2006， 解得：不是整数，不符合题意； 若六个数之和能等于2022，则6（x+8）＝2022， 解得：x＝329， ∵329在数表中最右侧，则不符合题意； 若六个数之和能等于2106， 则6（x+8）＝2106，解得：x＝343， 此时这六个数为343，345，347，353，357，363． 22．【解答】解：（1）由题意，∵W（﹣1，x）＝2， ∴|x﹣（﹣1）|＝2． ∴x＝﹣9或7． 故答案为：﹣9或7； （2）由题意，∵， ∴|x+3||x﹣2|． ∴|x+3|+|x﹣2|＝5． 当x≤﹣3时，﹣（x+3）﹣（x﹣2）＝5， ∴﹣2x﹣1＝5，则x＝﹣3； 当﹣3＜x＜2 时，（x+3）﹣（x﹣2）＝5，5＝5，则此区间内所有整数均满足条件，即x＝﹣2，﹣1，0，1； 当x≥2时，（x+3）+（x﹣2）＝5， ∴2x+1＝5，则x＝2． ∴满足条件的整数x为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，则它们的和为：(﹣3)+(﹣2)+(﹣1)+0+1+2＝﹣3； （3）由题意得，运动t秒后，点A，B表示的数分别是a＝﹣1+2t，b＝3+t， ∴W（a，b）+W（b，19）（|t﹣4|+|t﹣16|）． 由题意，结合绝对值的意义可得，当4≤t≤16时，|t﹣4|+|t﹣16|取最小值为12， ∴此时W（a，b）+W（b，19）（|t﹣4|+|t﹣16|）＝3． 答：当4≤t≤16时，W（a，b）+W（b，19）取最小值为3． 23．【解答】解：（1）观察素材一的实验数据，可以发现： 木杆左边挂重物个数×支点到木杆左边挂重物的距离＝30， 所以当木杆左边挂重物个数为5时，支点到木杆左边挂重物的距离为（cm）； 设每个重物重量为a g，木杆长为lcm， ∵支点在木杆中点， ∴支点到右端挂重物处的距离为， 根据题意，，约去a得． 故答案为：6，． （2）当秤盘上不放重物时， ∴200×6＝500y， 解得y＝2.4； 即y＝2.4时，杆秤刚好平衡； （3）放入重物重量为m g时，左边总重量为（200+m）g， 根据题意得：（200+m）×6＝500y， 整理化简为； ∴y与m的关系是形如y＝km+b的关系式， ∴自制的杆秤刻度均匀； 当y＝30cm时，， 解得m＝2300， 即这根杆秤能称量的最大重量是2300 g． 答案 学科网（北京）股份有限公司 $