2.3.3 二次根式的混合运算 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第二章“二次根式的混合运算”同步练，以“基础巩固-方法应用-综合拓展”分层设计，实现从单一运算到几何综合的知识进阶，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|运算顺序、整式乘法类比|直接计算题型（如知识点01的4道题），强化运算规则| |方法应用|乘法公式运用、化简求值|公式简算题（如知识点03平方差公式应用），提升推理意识| |综合拓展|含字母条件运算、勾股定理综合|几何情境题（如知识点06楼梯地毯长度计算），体现模型意识|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 ▌课时目标 1. 掌握二次根式混合运算的顺序，能类比整式运算规则进行二次根式的加、减、乘、除及乘方混合运算，并将结果化为最简形式。 2. 理解乘法公式在二次根式运算中的适用性，能运用平方差公式和完全平方公式简化二次根式的乘法与化简求值运算。 3. 能结合字母条件、勾股定理等情境进行综合运算，体会二次根式在实际问题和几何图形中的综合应用，提高运算能力和迁移能力。 ▌课时目录 知识点01：二次根式混合运算的顺序 知识点02：二次根式与整式乘法的类比 知识点03：乘法公式在二次根式中的运用 知识点04：二次根式化简求值 知识点05：含字母条件的二次根式运算 知识点06：二次根式与勾股定理的综合运算 ▌知识点01：二次根式混合运算的顺序 二次根式混合运算的顺序与实数、整式混合运算一致：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。同级运算从左到右依次计算。每一步运算结果必须化为最简二次根式后再进行下一步。 例如：计算：。 先算乘法，再算加减：。 1．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）计算： (1)． (2)． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）计算： (1) (2)． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． 4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）计算 (1)； (2) ▌知识点02：二次根式与整式乘法的类比 二次根式的乘法可以完全类比整式的单项式乘法：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数。 例如：，类比于2x·3y＝6xy。 多项式乘以多项式时，同样适用“分配律”和”每一项乘每一项“的规则。 例如：。 关键在于运算后将每个二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式。 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）化简：________． 6．（25-26八年级下·广东江门·期末）计算：． 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． ▌知识点03：乘法公式在二次根式中的运用 乘法公式在二次根式范围内完全适用： 1. 平方差公式：。应用于二次根式时，a、b可以是二次根式。该公式是分母有理化的重要工具。例如：。 2. 完全平方公式：。例如：；。 运用公式可大幅简化运算，避免逐项展开的繁琐过程。 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）计算： (1)； (2)； 10．（25-26八年级下·安徽六安·期末）计算： (1) (2)． 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·天津河北·期末）计算： (1)； (2)． ▌知识点04：二次根式化简求值 已知字母的取值（或取值范围），代入含二次根式的代数式进行化简求值。 解题步骤： 1. 利用乘法公式或运算法则将代数式化简； 2. 代入字母的值计算； 3. 注意代入时要保证二次根式有意义。 例如：已知，求的值。 解法一：直接代入； 解法二：先化简原式，再代入。显然解法二更为简便。 13．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，，则代数式的值等于____________． 14．（25-26八年级下·北京大兴·期末）计算：已知，求的值． 15．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求的值． 16．（25-26八年级下·山东德州·期末）已知，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． ▌知识点05：含字母条件的二次根式运算 已知字母之间的关系式（如a＋b、ab的值），求含二次根式的代数式的值。此类问题通常不直接给出字母的具体数值，而是通过整体代入求解。 例如：已知a＋b＝3，ab＝1，求的值。 解：。 注意： 1. 运算过程中要保证字母使根式有意义（本题中a＞0，b＞0）； 2. 利用整体思想，避免直接求a、b的具体值。 17．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)已知，求的值． 18．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 19．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 20．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． ▌知识点06：二次根式与勾股定理的综合运算 在直角三角形相关计算中，边长常涉及二次根式，需结合勾股定理和二次根式运算求解。 常见题型： 1. 已知两直角边为无理数，求斜边，如a＝，b＝，则c＝＝； 2. 已知斜边和一直角边为无理数，求另一直角边，如c＝，a＝，则b＝＝； 3. 求直角三角形斜边上的高，利用面积法，如a＝，b＝，c＝，则h＝。 解题关键：勾股定理求出平方关系后，开方结果要化为最简二次根式。 21．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 22．（2026·河北邯郸·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 24．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26八年级下·河北雄安·期末）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）新定义运算：，，是任意实数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是___________． 6．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知两条线段的长分别为，，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是__________． 7．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，，，，则的面积为________． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算： (1) (2) 10．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 ▌课时目标 1. 掌握二次根式混合运算的顺序，能类比整式运算规则进行二次根式的加、减、乘、除及乘方混合运算，并将结果化为最简形式。 2. 理解乘法公式在二次根式运算中的适用性，能运用平方差公式和完全平方公式简化二次根式的乘法与化简求值运算。 3. 能结合字母条件、勾股定理等情境进行综合运算，体会二次根式在实际问题和几何图形中的综合应用，提高运算能力和迁移能力。 ▌课时目录 知识点01：二次根式混合运算的顺序 知识点02：二次根式与整式乘法的类比 知识点03：乘法公式在二次根式中的运用 知识点04：二次根式化简求值 知识点05：含字母条件的二次根式运算 知识点06：二次根式与勾股定理的综合运算 ▌知识点01：二次根式混合运算的顺序 二次根式混合运算的顺序与实数、整式混合运算一致：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的，按小括号、中括号、大括号依次进行。同级运算从左到右依次计算。每一步运算结果必须化为最简二次根式后再进行下一步。 例如：计算：。 先算乘法，再算加减：。 1．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则和零指数幂的性质计算即可． （2）利用单项式乘多项式法则展开后由二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用完全平方公式展开计算即可． （2）先算二次根式的乘法和除法，再算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·云南昆明·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1)2 (2)3 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ▌知识点02：二次根式与整式乘法的类比 二次根式的乘法可以完全类比整式的单项式乘法：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数。 例如：，类比于2x·3y＝6xy。 多项式乘以多项式时，同样适用“分配律”和”每一项乘每一项“的规则。 例如：。 关键在于运算后将每个二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式。 5．（26-27八年级·全国·暑假作业）化简：________． 【答案】 【详解】解：原式 6．（25-26八年级下·广东江门·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 7．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌知识点03：乘法公式在二次根式中的运用 乘法公式在二次根式范围内完全适用： 1. 平方差公式：。应用于二次根式时，a、b可以是二次根式。该公式是分母有理化的重要工具。例如：。 2. 完全平方公式：。例如：；。 运用公式可大幅简化运算，避免逐项展开的繁琐过程。 9．（25-26八年级下·广东广州·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 10．（25-26八年级下·安徽六安·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 12．（25-26八年级下·天津河北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先用完全平方公式计算，再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌知识点04：二次根式化简求值 已知字母的取值（或取值范围），代入含二次根式的代数式进行化简求值。 解题步骤： 1. 利用乘法公式或运算法则将代数式化简； 2. 代入字母的值计算； 3. 注意代入时要保证二次根式有意义。 例如：已知，求的值。 解法一：直接代入； 解法二：先化简原式，再代入。显然解法二更为简便。 13．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，，则代数式的值等于____________． 【答案】 【详解】解：． 14．（25-26八年级下·北京大兴·期末）计算：已知，求的值． 【答案】 【分析】将代数式化为，再代入数值计算即可. 【详解】解：∵， ∴ . 15．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】将原式化为，然后代入求值即可． 【详解】解： ； ∵，， ∴原式 ． 16．（25-26八年级下·山东德州·期末）已知，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入字母的值进行计算即可； （2）估算得到，，求出，，即可求出的值． 【详解】（1）解：原式＝ = ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ▌知识点05：含字母条件的二次根式运算 已知字母之间的关系式（如a＋b、ab的值），求含二次根式的代数式的值。此类问题通常不直接给出字母的具体数值，而是通过整体代入求解。 例如：已知a＋b＝3，ab＝1，求的值。 解：。 注意： 1. 运算过程中要保证字母使根式有意义（本题中a＞0，b＞0）； 2. 利用整体思想，避免直接求a、b的具体值。 17．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则可得：，可得：原式，根据有理数的加法法则计算； （2）把分母有理化，可得：，移项可得：，整理可得：，再用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 两边平方得：， ， ． 18．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）（1）计算； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6；（3）54 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，熟知平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式求解即可； （2）根据已知条件和平方差公式可得，据此可得答案； （3）设，则可推出，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）； （2）∵，， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 20．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)_____； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分母有理化，即可求解； （2）先求得的值，进而可得，整体代入，降次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）， ， ， ， ， ▌知识点06：二次根式与勾股定理的综合运算 在直角三角形相关计算中，边长常涉及二次根式，需结合勾股定理和二次根式运算求解。 常见题型： 1. 已知两直角边为无理数，求斜边，如a＝，b＝，则c＝＝； 2. 已知斜边和一直角边为无理数，求另一直角边，如c＝，a＝，则b＝＝； 3. 求直角三角形斜边上的高，利用面积法，如a＝，b＝，c＝，则h＝。 解题关键：勾股定理求出平方关系后，开方结果要化为最简二次根式。 21．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴的周长为， 同理可得：的周长为， 的周长为， 归纳类推得：的周长为（为正整数）， ∴的周长为 ． 22．（2026·河北邯郸·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由网格可知，，使用勾股定理计算出，再求出即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴． 23．（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长，再根据铺设地毯的长度等于的长解答即可． 【详解】解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米， ∴铺设地毯的长度为（米）． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，且． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 又， ， ； （3）解：． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2. 2．（25-26八年级下·河北雄安·期末）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二次根式运算结果的非负性排除错误选项，再验证剩余选项的开方运算是否正确． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）新定义运算：，，是任意实数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义可得，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、，故该选项错误，不符合题意； B、，与不一定相等，故该选项错误，不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； D、∵，， ∴两式不相等，故该选项错误，不符合题意． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是___________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知两条线段的长分别为，，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，分别为第三条线段是斜边、第三条线段是直角边，根据勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当第三条线段为斜边时，根据勾股定理，第三条线段的长为； 当第三条线段为直角边时，长为的线段为斜边， 根据勾股定理，第三条线段的长为， 综上所述，能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是或． 7．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在中，，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】证明得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 8．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【答案】14.14 【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算术平方根小数点向右移动一位，结合即可求出的近似值． 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 三、解答题 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法、去绝对值，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式乘法，利用平方差公式计算乘积，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $