第2章 3.2 二次根式的化简及加减运算 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式化简及加减运算，以“概念理解-方法应用-综合迁移”分层设计，通过基础判断、步骤训练、几何应用三阶路径巩固知识，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|最简/同类二次根式概念|选择题为主，如判断最简二次根式，强化抽象能力| |提升层|化简方法/分母有理化/加减法则|填空题与简单解答题，如分母有理化计算，培养运算能力| |综合层|复合运算/几何应用|解答题为主，如含周长计算的实际问题，发展应用意识|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及加减运算 ▌课时目标 1. 理解最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确判断二次根式是否为最简形式，能识别同类二次根式，厘清二次根式化简的前提条件。 2. 掌握化为最简二次根式、分母有理化的方法，能熟练进行二次根式的加减运算，规范运算步骤，避免未化简就合并的常见错误。 3. 能运用二次根式的加减、乘除混合运算解决简单的几何周长、面积问题，体会整式运算与二次根式运算的类比迁移思想。 ▌课时目录 知识点01：最简二次根式的概念 知识点02：化为最简二次根式的方法 知识点03：分母有理化 知识点04：同类二次根式的概念 知识点05：判断最简二次根式与同类二次根式 知识点06：二次根式的加减法则 知识点07：二次根式加减运算的步骤 知识点08：复合二次根式的化简 ▌知识点01：最简二次根式的概念 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如、是最简二次根式；（含能开得尽方的因数4）、（被开方数含分母）不是最简二次根式。 ．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可求解． 【详解】解：对选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B，被开方数含有分母，不是最简二次根式； 对选项C，被开方数含有分母，不是最简二次根式； 对选项D，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·北京·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断各选项，最简二次根式需满足：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A.的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式，符合题意； B.的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； C.，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意； D.，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式，不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A的，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 选项B的，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项C的，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 选项D的，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式． 4．（25-26八年级下·山东滨州·期末）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． ▌知识点02：化为最简二次根式的方法 化简步骤： 1. 将被开方数分解因数或因式，把能开得尽方的因数或因式写成平方的形式 2. 利用将能开得尽方的因数或因式移到根号外； 3. 整理后得到被开方数不含分母、不含能开得尽方因数或因式的最简形式。 注意：带系数的二次根式，系数与根号内的部分分别化简。 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． B选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． C选项：，被开方数不含分母，且，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． D选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．【点睛】 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：，被开方数含有能开得尽方的因数，故A不正确； ，被开方数含分母，故B不正确； 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故C正确； ，被开方数含有能开得尽方的因数，故D不正确． 7．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 8．（25-26八年级下·江西赣州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式乘法法则计算乘法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）用平方差公式计算，再化简求值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌知识点03：分母有理化 把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。常用方法： 1. 分母为单项式时，分子、分母同乘分母本身，利用消去分母的根号 2. 分母为二项式时，分子、分母同乘分母的有理化因式（利用平方差公式）。 分母有理化的结果要求分母不含根号，且分子、分母无公因式。 9．（25-26八年级下·天津南开·期末）化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答． 【详解】解：． 10．（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】利用分母有理化的方法去掉分母中的根号，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 11．（25-26八年级下·云南昆明·期末）计算： 【答案】 【分析】先利用负整数次幂、二次根式的性质、绝对值、零次幂、分母有理化化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌知识点04：同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 例如化简为，化简为，二者被开方数均为3，因此是同类二次根式；与被开方数不同，不是同类二次根式。 注意：判断同类二次根式必须先化简为最简形式，与系数无关，只与被开方数有关。 13．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 14．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 15．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 16．（25-26八年级下·江西赣州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． ▌知识点05：判断最简二次根式与同类二次根式 判断最简二次根式：依次检查两个条件，被开方数是否含分母、被开方数的因数或因式是否能开得尽方，两个条件均满足则为最简二次根式。 判断同类二次根式： 1. 先将所有待判断的二次根式化为最简二次根式； 2. 比较化简后的被开方数是否完全相同，相同则为同类二次根式，不同则不是。 17．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，不能与合并，故A符合题意； B、，能与合并，故B不符合题意； C、，能与合并，故C不符合题意； D、，能与合并，故D不符合题意． 18．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）若二次根式和能够合并，则的值可能为：______．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】将化为最简二次根式，进而作答即可． 【详解】解：， 则的值可能为：5（答案不唯一）． 19．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念和合并同类二次根式，已是最简二次根式，能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：是最简二次根式，且与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式，可得， 解得． 20．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）若与最简二次根式能合并，则___________． 【答案】2 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．本题中已经是最简二次根式，因此令被开方数相等，即可求出． 【详解】解：与最简二次根式能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得． ▌知识点06：二次根式的加减法则 二次根式加减时，先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅将系数相加减，被开方数和根指数保持不变。该法则与整式合并同类项类比：同类二次根式相当于同类项，合并时仅系数变化，被开方数不变。 例如：；。 注意：非同类二次根式无法合并，例如需保留原式。 21．（25-26八年级下·新疆省直辖县级单位·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简每一项二次根式，再合并同类项得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）解决下列问题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ▌知识点07：二次根式加减运算的步骤 规范运算步骤： 1. 化简：将每个二次根式化为最简二次根式； 2. 识别：找出其中的同类二次根式； 3. 合并：将同类二次根式的系数相加减，被开方数不变； 4. 整理：写出最终结果，非同类二次根式照抄。 例如计算：第一步化简得；第二步识别同类二次根式均为；第三步合并得。 易错点：未化简就合并，如直接算，属于错误操作。 25．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式、二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用零次幂、绝对值、二次根式的性质、负整数次幂化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 26．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． 27．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）根据完全平方公式及平方差公式将原式展开，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．（25-26八年级下·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的四则运算的法则进行计算． 【详解】（1）解： （2）解： ▌知识点08：复合二次根式的化简 复合二次根式指包含乘除、加减混合运算的二次根式式子，化简时遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，每一步均化为最简二次根式，最后合并同类二次根式。 例如计算：先算乘法；再算加法，因此原式。 若式子含除法，可灵活选择先分母有理化或先利用除法法则计算，以简化运算为原则。 例如计算：可先算分子，再算，或直接拆分为，两种方法均可。 29．（25-26八年级下·云南文山·期末）计算：． 【答案】3 【详解】解： ． 30．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先化简各项二次根式，再进行二次根式的混合运算即可； （2）根据平方差公式和二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 31．（25-26八年级下·河南郑州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的化简计算各项的值，然后再进行加减运算即可． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算各项的值，然后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：    ． 32．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·山东德州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A错误． 对选项B：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故B正确． 对选项C：的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式，故C错误． 对选项D：的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D错误． 2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0．1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：把二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：的被开方数为2， A．的被开方数为3，与的被开方数不同，不符合题意； B．化简后为2，被开方数为1，与的被开方数不同，不符合题意； C．的被开方数为2，与的被开方数相同，符合题意； D．的被开方数为6，与的被开方数不同，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级下·重庆垫江·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加法及除法运算法则判断各选项即可． 【详解】解：A．，原运算正确，故此选项符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； C．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； D．，原运算错误，故此选项不符合题意． 二、填空题 5．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 6．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，则=________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 8．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）一艘巡逻艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后回到O港．若行驶中巡逻艇的速度为，则A，B之间的距离是__________． 【答案】 【分析】根据巡逻艇行驶的轨迹可知：是等腰直角三角形，且，，再根据勾股定理可得，根据题意可知，求出的值，即可求出A，B之间的距离． 【详解】根据巡逻艇行驶的轨迹可知：是等腰直角三角形，且：，， ∴， ∵巡逻艇1小时行驶的距离为， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 9．（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别按照完全平方公式，通分依次计算，然后根据二次根式的混合运算计算即可． （2）先按照零指数幂、负指数幂、二次根式除法、绝对值化简依次计算，然后按照实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 10．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知：，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料中对偶式的方法，利用平方差公式计算两个对偶式的乘积，再除以已知的和，即可求出结果； （2）对每个分式进行分母有理化，即可得到结果． 【详解】（1）解：设，， 则 即， 已知， 所以， 即； （2）解：原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学)八年级上册课时同步训川练 第二章实数 3二次根式 第2课时二次根式的化简及加减运算 课时目标 理解最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确判断二次根式是否为最简形式，能 识别同类二次根式，厘清二次根式化简的前提条件。 2. 掌握化为最简二次根式、分母有理化的方法，能熟练进行二次根式的加减运算，规范 运算步骤，避免未化简就合并的常见错误。 3. 能运用二次根式的加减、乘除混合运算解决简单的几何周长、面积问题，体会整式运 算与二次根式运算的类比迁移思想。 课时目逯 知识点01：最简二火根式的概念 知识点02：化为最简二次根式的方法 知识点03：分母有理化 知识点04：同类二次根式的概念 1/11 知识点05：判断最简二次根式与同类二次根式 知识点06：二次根式的加减法则 知识点07：二次根式加减运算的步骤 知识点08：复合二次根式的化简 知识点01：最简二次根式的概念 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）： 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如√2、Vx2+1是最简二次根式；2（含能开得尽方的因数4）、 V2 (被开方数含分 母)不是最简二次根式。 (25-26八年级下·河南周口·期末)下列二次根式是最简二次根式的是() A.√24 B.7 c.0.4 D.7 2.(25-26八年级下·北京·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（) A.6 C.12 D.√1.2 3.(25-26八年级下·江苏淮安·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() AV3 B.v0.5 Cv⑧ D V12 x-y √2b 4.(25-26八年级下山东滨州期末)下列二次根式：V8x, Vx,3a2b,4,a2+1,√2x+. 0.1y ,其中最简二次根式的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 2/11 知识点02：化为最简二次根式的方法 化简步骤： 将被开方数分解因数或因式，把能开得尽方的因数或因式写成平方的形式 利用aV6=Vab(Q≥0，b20)将能开得尽方的因数或因式移到根号外， 整理后得到被开方数不含分母、不含能开得尽方因数或因式的最简形式。 注意：带系数的二次根式，系数与根号内的部分分别化简。 5.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)下列式子中，属于最简二次根式的是() A.√12 B.V5 C.√35 D.√50 6.(25-26八年级下广西南宁·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A,4 c.i D.8 7.(25-26八年级下安徽宣城期末)V27与最简二次根式2 2√2a-5 是同类二次根式，则a= 8.(25-26八年级下·江西赣州·期末)计算： )v8+V5x0 2(25+25-) 知识点03：分母有理化 把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。常用方法： 分母为单项式时，分子、分母同乘分母本身，利用Vaa=a消去分母的根号 分母为二项式时，分子、分母同乘分母的有理化因式（利用平方差公式）。 分母有理化的结果要求分母不含根号，且分子、分母无公因式。 9.(25-26八年级下·天津南开·期末)化简V7的结果为 3/11 4 10.(25-26八年级下·江苏南京期末)计算√2的结果是 11.(25-26八年级下·云南昆明期末)计算： -匝6-(26-+方 12.(25-26七年级下山东济南·期末)计算： a)2+5 21+v5)3-v5) 国s-+方 4-126+(N5-1°+-V5+V20 知识点04：同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根 式。 例如V2化简为25,27化简为35，二者被开方数均为3，因此是同类二次根式：V2 与V5被开方数不同，不是同类二次根式。 注意：判断同类二次根式必须先化简为最简形式，与系数无关，只与被开方数有关。 13。(25-26八年级下安徽准北期末)下列二次根式中，与V5 是同类二次根式的是() A.V3 B.V6 C.2 D.V18 14.(2526八年级下江苏扬州期末)下列二次根式中，与5是同类二次根式的是() A.V2 B.V⑧ C.0.3 D.27 15.(25-26八年级下·安徽毫州期末)下列是同类二次根式的一组是（) 4/11 2W7 √2m 2m A.3√20，V50B.√28,3 C.√2ab,3vab D.n,V n 16。(25-26八年级下江西赣州期末)最简二次根式V2a-1与 是同类二次根式，则a= 知识点05：判断最简二次根式与同类二次根式 判断最简二次根式：依次检查两个条件，被开方数是否含分母、被开方数的因数或因式是 否能开得尽方，两个条件均满足则为最简二次根式。 判断同类二次根式： 先将所有待判断的二次根式化为最简二次根式： 比较化简后的被开方数是否完全相同，相同则为同类二次根式，不同则不是。 17.(25-26八年级下海南省直辖县级单位期中)下列二次根式中，不能与√2合并的是() A.2 B V32 C⑧ D V18 18. (25-26八年级下甘肃张掖期中)若二次根式Vm和V2 能够合并，则m的值可能为： (写 出一个即可) 19.(25.26八年级下宁夏吴忠期中)若52与最简二次根式m 能合并，则m的值为 20,（25,26八年级下草庆长寿期中巾)若25与最筒=次根式 能合并，则m= 知识点06：二次根式的加减法则 二次根式加减时，先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅将 系数相加减，被开方数和根指数保持不变。该法则与整式合并同类项类比：同类二次根式 相当于同类项，合并时仅系数变化，被开方数不变。 例如： 2W3+33=(2+3)V5=5W5,52-22=32。 注意：非同类二次根式无法合并，例如V2+5需保留原式。 21.(25-26八年级下新疆省直辖县级单位期末)计算： 5/11 ①反+i-s 2(5-2(5+2)+5-2」 22.(25-26八年级下江苏南京·期末)计算： ar得+-治a0 a2-+(3+255-25)】 23.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)计算： a5-+7+-h-同 +3)x-)x(2+x(5- 24.(25-26八年级下江苏宿迁·期末)解决下列问题： w顾-4 2(5-22+w5)-(-5 知识点07：二次根式加减运算的步骤 规范运算步骤： 化简：将每个二次根式化为最简二次根式： 识别：找出其中的同类二次根式； 合并：将同类二次根式的系数相加减，被开方数不变： 整理：写出最终结果，非同类二次根式照抄。 例如计算V2+27-5:第一步化简得25+3√5-5，第二步识别同类二次根式均为V5 ；第三步合并得(2+3-)V3=4W5 6/11 易错点：未化简就合并，如直接算V2+V27=V39,属于错误操作。 25.(25-26八年级下·黑龙江大庆·期末)计算： 2+1°-8， ®a++厦- 26.(25-26八年级下江苏淮安·期末)计算： a25+312-4s 2++(2- 27.(25-26八年级下·安徽芜湖期末)计算： 5+2°-(7+3×(7-3) 28.(25-26八年级下浙江金华期末)计算： 0)(-6j-v25 a3553写 知识点08：复合二次根式的化简 复合二次根式指包含乘除、加减混合运算的二次根式式子，化简时遵循“先乘除、后加 减，有括号先算括号内”的运算顺序，每一步均化为最简二次根式，最后合并同类二次根 式。 例如计算 ：先算乘法V2 ws-8=5=3 再算加法V⑧=22，因此 原式=22+3。 7/11 若式子含除法，可灵活选择先分母有理化或先利用除法法则计算，以简化运算为原则。 18-V⑧ √2 例如计算2：可先算分子V8-⑧=32-22=2，再算2，或直接拆分为 18V⑧322W2 =3-2=1 √2√2√2√2 两种方法均可。 29. (25-26八年级下云南文山期末)计算： 6÷3+(-1}+9--2-(π-3)° 30.(25-26八年级下·辽宁鞍山期末)计算： a2-历-3唱 26-26+2)-8+2 31.(25-26八年级下河南郑州期末)计算： a8-a-5- 21-25-(2-5)2+5) 32.(25-26八年级下广东肇庆期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知Q=2+5,求2a-8a+1的值.他们是这样解答的： 2-√5 2+5+2-2-5 1 ∴a-2=-V5 (a-2}=3即a2-4a+4=3, .a2-4a=-1 ∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 8/11 1 )V3+V2 1 1 1 1 十…十 1 2)化简：V2+1'5+V2V4+5V120+119121+V120 1 Q= 3)若V10-3,求a2-6a+11的值. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·山东德州期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() 2 A.⑧ B.11 C.V5 D. 2.(25-26八年级下内蒙古鸟兰察布期未)若va 是最简二次根式，则a的值可以是() A.0.1 B.12 C.15 D.2 3.(25-26八年级下·湖北武汉期末)下列二次根式中，与V2是同类二次根式的是() B4 C.3V2 D.6 4.(25-26八年级下·重庆垫江期末)下列运算正确的是() A.V3+25=35 B.V2+3=V5 C.2+3=25 D.6÷2=5 二、填空题 5。（25-26八年级下安版鲜埠期未)若能与最筒二次根武-合并，则广的省为 6。(25-26八年级下辽宁铁岭期末)若最简二次根式Vm和V20 能够合并，则m的值为： 7.(2026江苏徐州：模拟预测)己知x=√5-√2，则x 9/11 8.(25-26八年级下·浙江丽水期末)一艘巡逻艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后回到0港.若 行驶中巡逻艇的速度为60km/h,则A,B之间的距离是 457 145 →东 三、解答题 9.(2425八年级下·四川南充阶段检测)计算 a5--5s- e-可+9-8*5+5-l 10,(2526八年缓下河南=门峡期未)定义：我们将a+)与6-)春称为对“对偶式”.因为 (a+V)(、a-)=(@-(6矿=a-b,可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造 “对偶式”来解决. 例如：已知V18-x-1-x=1,求8-x+1-x的值，可以这样解答： 因为 (8-x-11-x)8-x+1-x)=(18-x-(（1-x=18-x-11+x=7. 所以V18-x+V1-x=7. 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： (1)已知： 20-+4-=8,求20--4-的值： 1 a计算：1+2+2+5+5+V4+…+9s+99+V99+V100 10111 11/11