第2章 1 认识实数课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第二章“认识实数”同步练，聚焦新授课，以“基础巩固—概念辨析—综合应用”分层设计，通过精准知识点覆盖与梯度题型，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数分类、无理数定义等单一知识点|基础选择/填空题（如负数个数判断），夯实概念理解| |概念辨析|实数分类、无理数类型等易混点|辨析题（如区分带根号数是否为无理数），强化推理意识| |综合应用|实数与数轴对应、大小比较等跨知识点|解答题（如蚂蚁爬行最短路径），体现数形结合与应用意识|

2026－2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 1 认识实数 ▌课时目标 1. 理解无理数和实数的概念，能准确区分有理数与无理数，掌握实数的两种分类方式，形成完整的数系知识结构。 2. 理解实数与数轴上的点一一对应，能将无理数在数轴上近似表示，体会数形结合思想。 3. 掌握实数范围内的相反数、绝对值、倒数等概念，能运用这些概念进行实数大小比较和简单运算，明确有理数的运算律在实数范围内同样适用。 ▌课时目录 知识点01：有理数的回顾 知识点02：无理数的定义 知识点03：常见无理数的类型 知识点04：实数的概念 知识点05：实数的分类——按定义分 知识点06：实数的分类——按正负分 知识点07：实数与数轴上的点一一对应 知识点08：实数范围内的相反数 知识点09：实数范围内的绝对值 知识点10：实数范围内的倒数 知识点11：实数的大小比较 ▌知识点01：有理数的回顾 有理数是初中阶段此前学习的数集，包括整数和分数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。有理数可以表示为两个整数的比（分母不为0），即形如（p、q为整数，q≠0）。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数。例如：0.25＝，，均属于有理数。 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查负数的基本概念，根据负数的定义，逐一判断各数是否为负数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：负数的定义为小于0的数，0既不是正数也不是负数． ∵，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ∴负数一共有4个． 2．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确非负整数的定义是和正整数，将题目中需要化简的数化简后，逐一判断即可统计出符合要求的数的个数． 【详解】解：非负整数包含和正整数， 先化简各数：，，， 属于非负整数的数为，，，，共个 ． 3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数的定义，负整数需要同时满足两个条件：为负数，为整数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵选项A．是正分数，不是负整数， 选项B．是负分数，不是整数， 选项C．是小于的整数，符合负整数定义， 选项D．是正整数，不是负整数， 故选C． ▌知识点02：无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。无理数不能表示为两个整数的比，这是其与有理数的本质区别。无理数的小数部分是无限的，且不循环。例如：＝1.41421356…是无限不循环小数，因此是无理数的典型代表。无理数的引入填补了有理数与数轴上点之间的“空隙”，使数系得以扩充。 5．（2026·河南新乡·三模）下列实数中，是无理数的是（     ） A． B．0.3 C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数、无理数的概念逐一判断选项即可，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数； B、是有限小数，可化为分数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 6．（25-26七年级下·广西南宁·期末）下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 【答案】A 【分析】根据定义判断各选项即可得到结果，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，∴是无理数. ∵是分数，属于有理数，3.14是有限小数，属于有理数，5是整数，属于有理数， ∴只有A选项符合要求． 7．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； D、，是整数，属于有理数，故D不符合题意． 8．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． ▌知识点03：常见无理数的类型 初中阶段常见的无理数主要有三类： 1. 开方开不尽的数：如、、等（注意：是有理数，需先化简再判断）。 2. 含π的数：如π、、2π+1等（π＝3.14159265…是无限不循环小数）。 3. 构造型无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），这类数人为构造，不循环且无限。 注意：带根号的数不一定是无理数（如），不带根号的数也不一定是有理数（如π）。 9．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∵是分数，是整数，是有限小数，即选项A、C、D均为有理数； ∵是无限不循环小数． ∴选项B是无理数． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，再逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负无理数的两个条件，即小于0且为无理数，逐一判断各数即可得到结果． 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 是负无理数，符合要求； 是有理数，且既不是正数也不是负数，不符合要求； 是正无理数，不符合要求． 12．（25-26七年级下·海南·期末）下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简可开方的根式，再根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故是无理数，故选项符合题意； C、是整数，属于有理数，故选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故选项不符合题意． ▌知识点04：实数的概念 有理数和无理数统称为实数。即实数包括所有有理数和所有无理数。实数概念的建立标志着数系从有理数扩充到了能够覆盖数轴上所有点的范围。 至此，在初中阶段接触的数集大小关系为： 1. 实数＞有理数＞整数＞正整数、0、负整数； 2. 实数＞有理数＞分数＞正分数、负分数； 3. 实数＞无理数＞正无理数、负无理数。 13．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛_……｝ (2)无理数集合｛_……｝ (3)正实数集合｛_……｝ (4)负实数集合｛_……｝ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 14．（25-26七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 15．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里： ，，，0，，， (1)有理数集合：{            } (2)无理数集合：{            } (3)正实数集合：{            } (4)负实数集合：{            } 【答案】(1)，，，0 (2)，， (3)，， (4)，， 【分析】本题考查了实数的概念和分类． 可以写成分数的形式的数称为有理数，无限不循环小数叫作无理数，有理数和无理数统称为实数． 【详解】（1）整数，分数，有限小数都是有理数， 故答案为：，，，0． （2）无限不循环小数，开方开不尽的数是无理数， 故答案为：，，． （3）正有理数和正无理数都是正实数， 故答案为：，，． （4）负有理数和负无理数都是负实数， 故答案为：，，． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的括号内：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 分数：___________________________________________． 有理数：_________________________________________． 无理数：_________________________________________． 【答案】，，；，，，0，；，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 【分析】本题考查了实数分类，理解分数，有理数，无理数的类概念是解题的关键． 根据实数分类，逐个选出分数，有理数，无理数即可． 【详解】解：∵，， ∴分数：，，， 有理数：，，，0，， 无理数：，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0）． ▌知识点05：实数的分类——按定义分 按数是否能表示为两整数之比分类： 1. 有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 2. 无理数：包括正无理数和负无理数。 17．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据无理数和有理数的定义判断选项，即可得到结果． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，该项不符合题意； B．是分数，属于有理数，该项不符合题意； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，该项符合题意． D．，是整数，属于有理数，该项不符合题意； 18．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）下列实数中，有理数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：A、是无理数； B、是无理数； C、是无理数； D、0是有理数． 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 20．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 ▌知识点06：实数的分类——按正负分 按数的正负属性分类： 1. 正实数：包括正整数、正分数、正无理数。 2. 0：单独一类，既不是正数也不是负数。 3. 负实数：包括负整数、负分数、负无理数。 21．（2026·安徽阜阳·二模）下列各数中为负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是负数，符合要求； 选项B：，是正数，不符合要求； 选项C：既不是正数也不是负数，不符合要求； 选项D：，是正数，不符合要求． 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）在实数，3，，，0中，负数有_____个． 【答案】2 【分析】根据负数的定义，即小于的实数是负数，逐个判断给定实数，统计负数的个数即可． 【详解】解：根据负数的定义逐个判断：，是负数；，不是负数；，是负数；，不是负数；既不是正数也不是负数， 因此负数共有个． 23．（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 24．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． ▌知识点07：实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个唯一的实数。这就是实数与数轴上的点的一一对应关系。有理数与数轴上的点不是一一对应的（有理数有“空隙”），而无理数的引入填满了这些空隙。例如：可以用边长为1的正方形的对角线长在数轴上近似表示（以原点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴于一点，该点即表示）。 25．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 【详解】解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 26．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴ ∵点表示的数是，点在点的右侧， ∴点表示的数为． 27．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得点表示的数大于3且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设点所代表的数为， 由数轴可知：，即，故B、C错误， ∵， ∴数轴上点表示的数可能是． 28．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． 【答案】 【详解】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． ▌知识点08：实数范围内的相反数 实数a的相反数是－a。若a与b互为相反数，则a+b＝0。几何意义上，互为相反数的两个实数在数轴上位于原点两侧，且到原点的距离相等。例如：的相反数是－；π的相反数是－π；0的相反数是0。求一个实数的相反数，只需在该数前添加“－”号，若原式已有“－”号则去掉。 29．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义，改变原数的符号即可求解． 【详解】解：的相反数为． 30．（25-26七年级下·重庆·期中）的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 31．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 32．（25-26七年级下·天津西青·期末）的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数为． ▌知识点09：实数范围内的绝对值 实数a的绝对值|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离。其代数定义为：。 例如：，|，。 绝对值具有非负性，即对任意实数a，，且。 两个负数比较大小时，绝对值大的数反而小。 33．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 34．（2026·河南平顶山·三模）下列四个数中绝对值最大的数是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的计算与实数大小比较，先根据绝对值的定义求出各数的绝对值，再比较各数绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解：根据绝对值的性质，分别计算四个数的绝对值： ∵ ，，， 又∵ ， ∴最大， 因此绝对值最大的数是． 35．（2026·山西忻州·一模）下列各数中绝对值最大的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出各选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ， ∴ 绝对值最大的是． 36．（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． ▌知识点10：实数范围内的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数。若a≠0，则a的倒数为。例如：的倒数是（分母有理化）；的倒数是π。0没有倒数。 求倒数时需注意：带分数先化为假分数，无理数结果一般保留根号形式或分母有理化。 37．（25-26八年级上·河北邢台·期中）与的关系是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小、相反数、绝对值等知识，根据绝对值的性质、相反数的定义进行化简，然后比较其关系即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 38．（2025·江苏泰州·二模）下列实数中，没有倒数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，一个数若有倒数，那么这个数与其倒数的乘积为负1，据此求解即可． 【详解】解：根据倒数的定义可知，只有0没有倒数， 故选：B． 39．（24-25七年级下·广东中山·阶段检测）是的（    ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．立方根 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号相反的两个数互为相反数或者两个数和为零这两个数互为相反数．本题通过定义判断两个数的关系，关键在于理解相反数、绝对值、倒数和立方根的概念，其中相反数的判定直接通过和为零的条件得出结论． 【详解】解：， 是的相反数． 故选：C． 40．（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． ▌知识点11：实数的大小比较 实数大小比较的方法： 1. 数轴上右边的点表示的数总比左边的大； 2. 正数＞0＞负数； 3. 两个正数比较，绝对值大的数大； 4. 两个负数比较，绝对值大的数反而小。 例如：比较和，因为，所以。对于含无理数的比较，可先估算无理数的近似值（如≈1.732），再进行比较。 41．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）下列四个实数中，最小的数是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用正数大于负数，负数比较时绝对值大的数反而小的规则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数是． 42．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，，正数大于一切负数， 、、都大于， ，，， ， 因此比小的数是． 43．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据正负数的大小关系缩小候选范围，再比较两个负数的绝对值确定最小数． 【详解】解：∵，，， ∴最小的数为或． ∵，，且， ∴，即最小的数为． 44．（25-26七年级下·云南昆明·期末）比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·安徽蚌埠·三模）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个选项中是最大的数． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐一判断即可． 【详解】根据勾股数定义判断： ∵ 选项A中 ， 不是正整数，不满足勾股数均为正整数的要求， ∴ 不是勾股数； ∵ 选项B中 ，，， ∴ 不是勾股数； ∵ 选项C中 ，， 都不是正整数， ∴ 不是勾股数； ∵ 选项D中 ，， 都是正整数，且 ，满足勾股数条件， ∴ 是勾股数． 3．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 4．（22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）在中，无理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数， ∵是无理数，∴是无理数； ∵ 是无限不循环小数，∴是无理数； ∵是整数，是分数，整数和分数都属于有理数，∴和是有理数； 因此无理数共有个. 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较平方后结果的大小判断原数大小，平方大的原数更大，据此求解即可． 【详解】解：∵，， 又， ． 6．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，， ， 点所表示的数为， 的值为． 故答案为：． 7．（2026·广东肇庆·三模）已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 8．（2026·陕西·中考真题）在实数，，，中，最大的数是_________． 【答案】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数和的大小，即可得到最大的数． 【详解】解：∵是负数，因此， 和都是正数，都大于0，且， ∴， ∴最大的数是． 三、解答题 9．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 10．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】(1)解：有三种展开方式，如图， ；；； (2)最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 1 认识实数 ▌课时目标 1. 理解无理数和实数的概念，能准确区分有理数与无理数，掌握实数的两种分类方式，形成完整的数系知识结构。 2. 理解实数与数轴上的点一一对应，能将无理数在数轴上近似表示，体会数形结合思想。 3. 掌握实数范围内的相反数、绝对值、倒数等概念，能运用这些概念进行实数大小比较和简单运算，明确有理数的运算律在实数范围内同样适用。 ▌课时目录 知识点01：有理数的回顾 知识点02：无理数的定义 知识点03：常见无理数的类型 知识点04：实数的概念 知识点05：实数的分类——按定义分 知识点06：实数的分类——按正负分 知识点07：实数与数轴上的点一一对应 知识点08：实数范围内的相反数 知识点09：实数范围内的绝对值 知识点10：实数范围内的倒数 知识点11：实数的大小比较 ▌知识点01：有理数的回顾 有理数是初中阶段此前学习的数集，包括整数和分数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。有理数可以表示为两个整数的比（分母不为0），即形如（p、q为整数，q≠0）。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数。例如：0.25＝，，均属于有理数。 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在，0，，，，，中，负数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． ▌知识点02：无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。无理数不能表示为两个整数的比，这是其与有理数的本质区别。无理数的小数部分是无限的，且不循环。例如：＝1.41421356…是无限不循环小数，因此是无理数的典型代表。无理数的引入填补了有理数与数轴上点之间的“空隙”，使数系得以扩充。 5．（2026·河南新乡·三模）下列实数中，是无理数的是（     ） A． B．0.3 C． D． 6．（25-26七年级下·广西南宁·期末）下列是无理数的是（     ） A． B． C．3.14 D．5 7．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． ▌知识点03：常见无理数的类型 初中阶段常见的无理数主要有三类： 1. 开方开不尽的数：如、、等（注意：是有理数，需先化简再判断）。 2. 含π的数：如π、、2π+1等（π＝3.14159265…是无限不循环小数）。 3. 构造型无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），这类数人为构造，不循环且无限。 注意：带根号的数不一定是无理数（如），不带根号的数也不一定是有理数（如π）。 9．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列实数，，，中，是负无理数的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·海南·期末）下列实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． ▌知识点04：实数的概念 有理数和无理数统称为实数。即实数包括所有有理数和所有无理数。实数概念的建立标志着数系从有理数扩充到了能够覆盖数轴上所有点的范围。 至此，在初中阶段接触的数集大小关系为： 1. 实数＞有理数＞整数＞正整数、0、负整数； 2. 实数＞有理数＞分数＞正分数、负分数； 3. 实数＞无理数＞正无理数、负无理数。 13．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛_……｝ (2)无理数集合｛_……｝ (3)正实数集合｛_……｝ (4)负实数集合｛_……｝ 14．（25-26七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 15．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里： ，，，0，，， (1)有理数集合：{            } (2)无理数集合：{            } (3)正实数集合：{            } (4)负实数集合：{            } 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的括号内：（只填写序号） ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间多一个0） 分数：___________________________________________． 有理数：_________________________________________． 无理数：_________________________________________． ▌知识点05：实数的分类——按定义分 按数是否能表示为两整数之比分类： 1. 有理数：包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。 2. 无理数：包括正无理数和负无理数。 17．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）下列实数中，有理数是（     ） A． B． C． D．0 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． ▌知识点06：实数的分类——按正负分 按数的正负属性分类： 1. 正实数：包括正整数、正分数、正无理数。 2. 0：单独一类，既不是正数也不是负数。 3. 负实数：包括负整数、负分数、负无理数。 21．（2026·安徽阜阳·二模）下列各数中为负数的是（    ） A． B． C．0 D． 22．（2026·陕西榆林·模拟预测）在实数，3，，，0中，负数有_____个． 23．（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 24．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． ▌知识点07：实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个唯一的实数。这就是实数与数轴上的点的一一对应关系。有理数与数轴上的点不是一一对应的（有理数有“空隙”），而无理数的引入填满了这些空隙。例如：可以用边长为1的正方形的对角线长在数轴上近似表示（以原点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴于一点，该点即表示）。 25．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上的点表示的数是________． ▌知识点08：实数范围内的相反数 实数a的相反数是－a。若a与b互为相反数，则a+b＝0。几何意义上，互为相反数的两个实数在数轴上位于原点两侧，且到原点的距离相等。例如：的相反数是－；π的相反数是－π；0的相反数是0。求一个实数的相反数，只需在该数前添加“－”号，若原式已有“－”号则去掉。 29．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 30．（25-26七年级下·重庆·期中）的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 31．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）实数的相反数是_________． 32．（25-26七年级下·天津西青·期末）的相反数是_________． ▌知识点09：实数范围内的绝对值 实数a的绝对值|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离。其代数定义为：。 例如：，|，。 绝对值具有非负性，即对任意实数a，，且。 两个负数比较大小时，绝对值大的数反而小。 33．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 34．（2026·河南平顶山·三模）下列四个数中绝对值最大的数是（     ） A． B． C．1 D．2 35．（2026·山西忻州·一模）下列各数中绝对值最大的是（    ） A． B． C．0 D． 36．（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． ▌知识点10：实数范围内的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数。若a≠0，则a的倒数为。例如：的倒数是（分母有理化）；的倒数是π。0没有倒数。 求倒数时需注意：带分数先化为假分数，无理数结果一般保留根号形式或分母有理化。 37．（25-26八年级上·河北邢台·期中）与的关系是（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 38．（2025·江苏泰州·二模）下列实数中，没有倒数的是（   ） A． B．0 C． D． 39．（24-25七年级下·广东中山·阶段检测）是的（    ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．立方根 40．（2025·江苏宿迁·三模）若实数的倒数是，则的值为（　　） A． B． C． D． ▌知识点11：实数的大小比较 实数大小比较的方法： 1. 数轴上右边的点表示的数总比左边的大； 2. 正数＞0＞负数； 3. 两个正数比较，绝对值大的数大； 4. 两个负数比较，绝对值大的数反而小。 例如：比较和，因为，所以。对于含无理数的比较，可先估算无理数的近似值（如≈1.732），再进行比较。 41．（25-26七年级下·安徽淮南·期末）下列四个实数中，最小的数是（     ） A． B． C．1 D． 42．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（     ） A．－1 B．2 C．0 D． 44．（25-26七年级下·云南昆明·期末）比较大小：______3（填“”，“”或“”） ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·安徽蚌埠·三模）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）在中，无理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 6．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_____． 7．（2026·广东肇庆·三模）已知实数m，n满足，则________． 8．（2026·陕西·中考真题）在实数，，，中，最大的数是_________． 三、解答题 9．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 10．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） (1)若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． (2)在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） / 学科网（北京）股份有限公司 $