第2章 2.3 立方根 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大八年级上册“立方根”同步练，以“概念辨析-技能应用-综合拓展”分层设计，通过递进式训练巩固立方根定义、性质及运算，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|立方根定义、表示方法、性质|选择判断题辨析概念，如负数立方根符号特征| |技能应用|开立方运算、解方程|计算题强化互逆关系，如x³=a型方程求解| |综合拓展|平方根与立方根辨析、实际应用|解答题结合生活情境，如正方体棱长计算|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训川练 第二章实数 2平方根与立方根 第3课时立方根 课时目标 理解立方根的定义，掌握正数、0、负数的立方根各有的特征，能准确用3√表示 个数的立方根。 2.理解开立方与立方运算的互逆关系，能熟练求出完全立方数的立方根，并能利用立方 根的概念解形如x=a的一元一次方程。 3. 能综合辨析平方根与立方根的异同，厘清两者在定义、性质、表示方法上的区别与联 系，避免概念混淆。 课时目录 知识点01：立方根的定义 知识点02：立方根的表示方法 知识点03：立方根的性质 知识点04：开立方运算的概念 1/10 知识点05：立方根与立方运算的互逆关系 知识点06：求一个数的立方根 知识点07：利用立方根的概念解方程 知识点08：平方根与立方根的综合辨析 知识点01：立方根的定义 般地，如果一个数x的立方等于a,即x=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三 次方根)。 例如：因为2=8，所以2是8的立方根；因为（一3）=一27，所以一3是一27的立方根： 因为0=0，所以0是0的立方根。与平方根不同，任意实数都有唯一确定的立方根。 1.(25-26七年级下-山东临折期术)下列判断：010的平方根是0，②6与6 10 与 互为相反数；③ =2+0+=0,则+y-:④01的算术平方根是001 .其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是（) A.正数有两个互为相反数的立方根 B.负数没有立方根 C.一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D.2的立方根是±迈 3.(25-26七年级下·山西吕梁期末)下列说法正确的是（) A.1的平方根和立方根都是1 B.负数的平方根仍是负数 C.一个数的算术平方根比这个数小 D.两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 4.(25-26七年级下·吉林四平·期末)下列结论正确的是（) 2/10 A.64的平方根是±4 1 B.一8没有立方根 C.立方根等于本身的数是0 D.27=27 知识点02：立方根的表示方法 数a的立方根记作ā，读作“三次根号a”。其中“”是三次根号（根指数3不能省 略)，a是被开方数。 例如：8的立方根记作8,8=2；一27的立方根记作-27，-27=一3。注意：平方 根的根指数2通常省略写作V石，但立方根的根指数3必须写出，不能省略。 5.(25-26七年级下·湖北襄阳·期末)下列式子错误的是() A.√4=+2 B.=-1 C.-V9=-3 D.V(-6)}=6 6.(25-26七年级下广西桂林·期末)8的立方根是() A.2 B.2 c.25 D.22 7.(25-26七年级下·安徽芜湖期末)下列式子正确的是() A.±V49=7B.-7=-7 C.√25=±5 D.V(-3}=-3 8.(25-26七年级下·安徽滁州期末)下列计算正确的是（) A.(a-0=a2-1 B.aa=a C.a=a D.(a2'=a 知识点03：立方根的性质 立方根具有以下性质： 正数的立方根是正数： 3/10 负数的立方根是负数： 0的立方根是0。 与平方根相比，立方根没有“正负两个根”的情况，每个实数都只有一个立方根，符号与 被开方数相同。即：a与a同号。 例如：27=3（正），-8=-2（负），6=0。 9.(2026宁夏银川三模)下列计算正确的是（) A.V-2)2=-2B.√4=2 D.g=3 10.(25-26七年级下广东肇庆·期中)下列各式正确的是（) A.±5=3B.√16=±4 C.V(-2)}2=-2 D.7=7 11.(25-26七年级下·山东临沂·期中)下列选项正确的是（) A.8的立方根是±2 B.-3)=3 11 c.27=-3 D.立方根等于本身的数只有1和0 12.(25-26七年级下·广西梧州期中)下列说法正确的是（) √100=±10 A B.0既没有平方根也没有立方根 c.（的立方根是-1 D.V49的平方根是7 知识点04：开立方运算的概念 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。开立方运算是立方运算的逆运算。立方运算是已 知底数求立方，开立方运算是已知立方求底数。 例如：因为（一2）=一8，所以一2是一8的立方根，这一过程就是开立方：反之，计算( 2)=一8是立方运算。开立方运算对所有实数都有意义，不存在被开方数的限制。 13.(25-26七年级下·福建福州·期中)下列结论正确的是（) A.27的立方根是±3 B.-8没有立方根 4/10 c.8=-8 0 D.立方根等于本身的数只有 14.(25-26七年级下·广西贵港·期中)下列说法不正确的是() A5的算术平方粮是5 B.4是16的一个平方根 C.4的平方根是2 D.-8的立方根是-2 15.(25-26七年级下·内蒙古兴安阶段检测)在下列结论中，正确的是() A 4 B.√9=3 C.-x2一定没有平方根 D.64的立方根是4 16。(25-26七年级下内蒙古呼和浩特阶段检测)己知一和5-2 的值互为相反数，且3x-21的平 方根是它本身，则x+y的平方根为 知识点05：立方根与立方运算的互逆送系 立方运算与开立方运算互为逆运算，即(@可=0，派=a。这两个等式对任意实数a都 成立，不受符号限制。 利用这一互逆关系可以进行验算：先求立方根再立方，结果应回到原数；或者先立方再开 立方，也应回到原数。 17.(2526七年级下吉林长春期中)要使0=“成立，郑么“的取值范围是《) A.a≤0 B.a<0 C.a20 D.任意数 18.(25-26八年级上上海虹口·期中)下列计算正确的是() A.V9=3 B.8=-2 C.27=3 D,.6=4 19,(23-24七年级下广东广州期中)下列判断：①10的平方根是±0，。 0,②6与6 互为相反数： ③01的算术平方根是0.01，④a=a,其中正确的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5/10 20,2526八车级上四川宜宾阶段检测)若派+行=0，则r与的关系是（) A.x=y=0 B.x+y=0 C.x=y D.y=1 知识点06：求一个数的立方根 求数a的立方根时，先判断α的符号，再根据完全立方数表直接得出结果。 常见完全立方数：13=1,29=8,33=27,43=64,53=125,63=216,7=343,8=512， 93=729,109=1000。 对于非完全立方数，可保留根号形式（如2、5）或根据题目要求取近似值。 21.(25-26七年级下·云南曲靖期末)下列计算正确的是() A.V36=6B.-27=-9 c.V-2y=-2 D.--8=2 22.(25-26七年级下·湖北孝感期末)计算： 9--2+-27 23.(25-26七年级下北京期末)计算： 27+小V5-1-4 24.(25-26七年级下安徽滁州期末)计算：、 564+- 知识点07：利甲立方根的概念解方程 对于形如x=a的一元一次方程，根据立方根的定义，方程的解为x=a。 与平方根不同，无论α是正数、负数还是0，方程都有且仅有一个实数解。 解题步骤： 将方程整理为x=a的形式； 直接开立方求解。 25.(25-26七年级下·福建福州期末)计算 )计算：（-2y-5+3-2 6/10 ②四求出x的值：-3= 8· 26.(25:26七年级下陕西榆林期末)计算：V25-64+l-V同 27.(25-26七年级下陕西期末)求x的值： 1)(2x-1°-169=0 ②125(r-2）3-343 28.(25-26七年级下重庆忠县·期末)求下列各式中x的值. 0x+2)3=-8 e4=9 知识点08：平方根与立方根的综合辨板 平方根与立方根的对比如下： 对比项目 平方根 立方根 定义 x2=a,x叫a的平方根 x=a,x叫a的立方根 表示方法 ±√a(a20) a(a为任意实数) 被开方数限制 a≥0 无限制，a可为任意实数 个数 正数有2个，0有1个，负数没有 任意实数都只有1个 符号 正数平方根一正一负，互为相反数 立方根与被开方数同号 根指数 2(通常省略) 3(必须写出) 逆运算 平方运算的逆运算 立方运算的逆运算 综合应用时需注意：√-a无意义(a≥0)，但-a=-a；±a有两个值，a只有一个 值。 29.(25-26七年级下湖南衡阳期末)若a是64的算术平方根，b是-64的立方根，则代数式a+b的值为 30.(25-26七年级下·陕西榆林期末)已知a+5是4的算术平方根，2b-6的立方根是2，则-3a+b的平 7/10 方根是 3引.(25：26七年级下安微合肥期末)已知2m+2的平方根是4，m+m-1的立方根是2，求m+n 的算 术平方根 32.(25-26七年级下·陕西榆林期末)已知正数5a-1的算术平方根是3,2a+b的立方根是-2.求 a-2b-1的平方根 课时训练 一、选择题 22 1,(25-26七年级下·宁夏吴忠期末)下列实数7，-π，3.14159,8，-27中无理数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 个 22 225 2. (25-26七年级下安徽合肥期末)下列各数中：3.i4,3,0.618,7,196,-8,无理数的个数 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3,(2526七年级下安微合肥期末)已知”是整数，且”<v6s<n+1,则”的值是《) A.8 B.9 C.10 D.11 4.(25-26七年级下·北京期末)下列各数是无理数的是() A.5 B.-3.14 c.0.3 D.V②5 二、填空题 5.(25-26七年级下·福建福州期末)四个棱长相等的正方体的体积之和是32cm,则每个正方体的棱长 是cm 6。(25-26七年级下陕西期末)若等腰三角形的两边长分别为a,b,且满足V(a-3+b-1=0,则该 等腰三角形的周长为 8/10 7.(25-26七年级下四川南充期末)若x=一8，则x的值为 8.(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔期末)如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于 纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：从纸定义为面积为1，长与宽之比为5：1 Ao 的纸张；沿 纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸：再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张 纸…， A3 A A5 A 依次类推，得到 等纸张.裁剪一张规格 纸最多可得到规格纸的张数 Aa As A2 A3 A 三、解答题 9、(25-26七年级下甘肃庆阳期末)已知0+之的立方根是3,3a+b-1的算术平方根是4，C是 的 整数部分. (I)求a,b,c的值： (2)求2a+b+4c的平方根， 10.(25-26七年级下·广东广州期末)广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技 法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为588cm,长、宽比为4：3的长方形彩纸 剪成如图形状。 9/10 (①)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽： (2)王芳想从中裁出面积为29l©m的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由.（π取3） 10/10 2026－2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 2 平方根与立方根 第3课时 立方根 ▌课时目标 1. 理解立方根的定义，掌握正数、0、负数的立方根各有的特征，能准确用³√a表示一个数的立方根。 2. 理解开立方与立方运算的互逆关系，能熟练求出完全立方数的立方根，并能利用立方根的概念解形如x³＝a的一元一次方程。 3. 能综合辨析平方根与立方根的异同，厘清两者在定义、性质、表示方法上的区别与联系，避免概念混淆。 ▌课时目录 知识点01：立方根的定义 知识点02：立方根的表示方法 知识点03：立方根的性质 知识点04：开立方运算的概念 知识点05：立方根与立方运算的互逆关系 知识点06：求一个数的立方根 知识点07：利用立方根的概念解方程 知识点08：平方根与立方根的综合辨析 ▌知识点01：立方根的定义 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根）。 例如：因为2³＝8，所以2是8的立方根；因为(－3)³＝－27，所以－3是－27的立方根；因为0³＝0，所以0是0的立方根。与平方根不同，任意实数都有唯一确定的立方根。 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A．∵的平方根是，立方根是，∴A错误． B．∵负数没有平方根，∴B错误． C．∵的算术平方根是，的算术平方根是，均等于原数；的算术平方根是，大于原数，∴C错误． D．设互为相反数的两个数为与，∵它们的立方根分别为和，∴两个数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，∴D正确． 4．（25-26七年级下·吉林四平·期末）下列结论正确的是（     ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】根据平方根与立方根的定义和性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，不是，A错误； B、任何实数都有立方根，负数也有立方根，，因此有立方根，B错误； C、立方根等于本身的数有0，1，，不只有，C错误； D、∵，，∴成立，D正确． ▌知识点02：立方根的表示方法 数a的立方根记作，读作“三次根号a”。其中“”是三次根号（根指数3不能省略），a是被开方数。 例如：8的立方根记作，＝2；－27的立方根记作，＝－3。注意：平方根的根指数2通常省略写作，但立方根的根指数3必须写出，不能省略。 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）下列式子错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，根据定义计算每个选项，即可找出错误的式子. 【详解】解： 表示的算术平方根，结果为非负数，，本选项错误； ，，本选项正确； ，，本选项正确； ，，本选项正确； 6．（25-26七年级下·广西桂林·期末）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义：若，则是的立方根，计算出结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是． 7．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的运算性质，根据平方根、立方根的定义对各选项逐一计算即可判断对错． 【详解】解：对于选项A，表示的平方根，结果为，不等于，A错误； 对于选项B，根据立方根的性质，负数的立方根是负数，可得，，B正确； 对于选项C，表示的算术平方根，结果为，不是，C错误； 对于选项D，，不等于，D错误． 8．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，∴A错误； 选项B：，∴B错误； 选项C：对任意实数成立，∴C正确； 选项D：，∴D错误． ▌知识点03：立方根的性质 立方根具有以下性质： 1. 正数的立方根是正数； 2. 负数的立方根是负数； 3. 0的立方根是0。 与平方根相比，立方根没有“正负两个根”的情况，每个实数都只有一个立方根，符号与被开方数相同。即：与a同号。 例如：（正），（负），。 9．（2026·宁夏银川·三模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质分别计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A：∵， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：∵表示的算术平方根，结果为，不是， ∴ B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵由立方根的性质，可得， ∴C正确，该选项符合题意； 选项D：∵， ∴ D错误，该选项不符合题意． 10．（25-26七年级下·广东肇庆·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义和性质，根据相关定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意． 11．（25-26七年级下·山东临沂·期中）下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 12．（25-26七年级下·广西梧州·期中）下列说法正确的是（    ） A． B．0既没有平方根也没有立方根 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵表示100的算术平方根，结果为非负数， ∴，A选项错误． ∵的平方根是，的立方根也是， ∴B选项错误． ∵，的立方根是， ∴的立方根是，C选项正确． ∵，的平方根是， ∴的平方根是，D选项错误． 故选：C． ▌知识点04：开立方运算的概念 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。开立方运算是立方运算的逆运算。立方运算是已知底数求立方，开立方运算是已知立方求底数。 例如：因为(－2)³＝－8，所以－2是－8的立方根，这一过程就是开立方；反之，计算(－2)³＝－8是立方运算。开立方运算对所有实数都有意义，不存在被开方数的限制。 13．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的立方根是正数，，∴ 的立方根是，A错误； ∵ 负数有一个负的立方根，，∴ 的立方根是，B错误； ∵ ，，∴ ，C正确； ∵ ，，，∴ 立方根等于本身的数是，D错误． 14．（25-26七年级下·广西贵港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．的算术平方根是 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的立方根是 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根与立方根的定义逐一判断各选项的正误即可． 【详解】A：5的算术平方根是，说法正确，不符合题意； B：由于，故是的一个平方根，说法正确，不符合题意； C：的平方根是，说法错误，符合题意； D：的立方根是，说法正确，不符合题意； 15．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）在下列结论中，正确的是（   ） A． B． C．一定没有平方根 D．的立方根是4 【答案】B 【分析】根据相关定义逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】对于选项A，，算术平方根本身结果为非负数， ，A错误； 对于选项B，表示9的算术平方根， ，B正确； 对于选项C，当时，，0有平方根，平方根为0， C错误； 对于选项D，，8的立方根是2， D错误； 16．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． ▌知识点05：立方根与立方运算的互逆关系 立方运算与开立方运算互为逆运算，即，。这两个等式对任意实数a都成立，不受符号限制。 利用这一互逆关系可以进行验算：先求立方根再立方，结果应回到原数；或者先立方再开立方，也应回到原数。 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 18．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意； C、，故C计算正确，符合题意； D、，故D计算错误，不符合题意； 故选：C． 19．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，掌握平方根、立方根和算术平方根的定义是解题关键，注意算术平方根的非负性，根据定义逐一判断各命题的正确性． 【详解】解：∵ 10的平方根是，故①正确； ∵与互为相反数，故②正确； ∵0．1的算术平方根是，而，故③错误； ∵成立，故④正确； ∴正确的命题有3个， 故选：C． 20．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到,再同时立方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． ▌知识点06：求一个数的立方根 求数a的立方根时，先判断a的符号，再根据完全立方数表直接得出结果。 常见完全立方数：1³＝1，2³＝8，3³＝27，4³＝64，5³＝125，6³＝216，7³＝343，8³＝512，9³＝729，10³＝1000。 对于非完全立方数，可保留根号形式（如、）或根据题目要求取近似值。 21．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，错误． B．，错误． C．，错误． D．，正确． 22．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）计算： 【答案】 【详解】解： ． 23．（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： 原式 ． 24．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 【答案】1 【详解】解： ． ▌知识点07：利用立方根的概念解方程 对于形如的一元一次方程，根据立方根的定义，方程的解为。 与平方根不同，无论a是正数、负数还是0，方程都有且仅有一个实数解。 解题步骤： 1. 将方程整理为的形式； 2. 直接开立方求解。 25．（25-26七年级下·福建福州·期末）计算 (1)计算：． (2)求出的值：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据实数的运算性质去绝对值，求得算术平方根，计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ． 26．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 27．（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 28．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， 即，． ▌知识点08：平方根与立方根的综合辨析 平方根与立方根的对比如下： 对比项目 平方根 立方根 定义 ，x叫a的平方根 ，x叫a的立方根 表示方法 （） （a为任意实数） 被开方数限制 无限制，a可为任意实数 个数 正数有2个，0有1个，负数没有 任意实数都只有1个 符号 正数平方根一正一负，互为相反数 立方根与被开方数同号 根指数 2（通常省略） 3（必须写出） 逆运算 平方运算的逆运算 立方运算的逆运算 综合应用时需注意：无意义（），但；有两个值，只有一个值。 29．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若是64的算术平方根，是的立方根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】是的算术平方根， ， 是的立方根， ， 将代入得： ． 30．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 31．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 32．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】根据算术平方根以及立方根的性质求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵正数的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的平方根为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期末）下列实数，，，，中无理数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，逐个判断所给实数即可求解． 【详解】解：是分数，是有限小数，是整数，都是有理数； 是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，都是无理数， ∴无理数共2个． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：，， 、、、、均为有理数，仅是无理数， 则，，0.618，，，，无理数的个数有1个． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知是整数，且，则的值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题利用算术平方根的性质，即被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较与相邻整数平方的大小，确定的取值范围，即可得到整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， 不等式两边同时开算术平方根，得， ∵，且为整数， ∴． 4．（25-26七年级下·北京·期末）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数的定义逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：开方开不尽，为无理数；是有限小数，是无限循环小数，是整数，三者均为有理数． 二、填空题 5．（25-26七年级下·福建福州·期末）四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】先根据四个正方体体积之和求出单个正方体的体积，再结合正方体体积公式计算得到棱长． 【详解】解：设每个正方体的棱长为， 根据题意列方程得： 系数化为得： 对等式两边开立方得： 棱长为正数，符合实际意义， 故每个正方体的棱长是． 6．（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 7．（25-26七年级下·四川南充·期末）若，则x的值为__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，对等式变形即可求出的值. 【详解】解：， 又， . 8．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 【答案】16 【分析】根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 【详解】解：∵由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， 纸的面积为纸面积的， ∴裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是16张， 三、解答题 9．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后利用无理数的估算求得c的值即可； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， 解得：； ， ， 是的整数部分， ； （2），，， ， 的平方根为． 10．（25-26七年级下·广东广州·期末）广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【答案】(1)长方形彩纸的长为，宽为； (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【分析】（1）设长方形彩纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $