第13讲 指数运算讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第13讲 指数运算 01 学习新知 目录 知识点一、根式 1 1.根式的概念 1 2.根式的性质 1 知识点二、指数幂 2 1．分数指数幂的意义 2 2．有理数指数幂的运算性质 2 3．无理数指数幂 2 题型1由根式的意义求范围 3 题型2利用根式的性质化简或求值 3 题型3分式指数幂与根式的互化 4 题型4利用分数指数幂的运算性质化简求值 6 题型5整体代换求分数指数幂 7 知识点一、根式 1.根式的概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作1.根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 知识点二、指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 02 经典题型 题型1由根式的意义求范围 1. 若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 题型2利用根式的性质化简或求值 2. (课本例1)求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 解　(1)=-8； (2)=|-10|=10； (3)=|3-π|=π-3； (4)=|a-b|= 3. （多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 4. 求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 题型3分数指数幂与根式的互化 5. (课本例3)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0)： (1)a2·； (2). 解　（1）a2·=a2； （2）=(a=(. 6. 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)； (3)((b>0). 解　(1)原式==(. (2)原式=. (3)原式=[(. 7. 下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 8. 化简：= . 【答案】1 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 9. 设，则的值为 【答案】 7 【详解】因为， . 10. （1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）; （2）； （3）. 题型4利用分数指数幂的运算性质化简求值 11. 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 故选：B. 12. 计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 13. （多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确.故选：ACD. 题型5整体代换求分数指数幂 14. 已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】，所以. 故选：A. 15. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 16. （多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 指数运算 01 学习新知 目录 知识点一、根式 1 1.根式的概念 1 2.根式的性质 1 知识点二、指数幂 2 1．分数指数幂的意义 2 2．有理数指数幂的运算性质 2 3．无理数指数幂 2 题型1由根式的意义求范围 3 题型2利用根式的性质化简或求值 3 题型3分数指数幂与根式的互化 4 题型4利用分数指数幂的运算性质化简求值 5 题型5整体代换求分数指数幂 6 知识点一、根式 1.根式的概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作1.根式的概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中. 知识点二、指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 02 经典题型 题型1由根式的意义求范围 1. 若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型2利用根式的性质化简或求值 2. (课本例1)求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 3. （多选）下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 4. 求下列各式的值； (1)； (2)． 题型3分数指数幂与根式的互化 5. (课本例3)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中a>0)： (1)a2·； (2). 6. 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)； (3)((b>0). 7. 下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 8. 化简：= . 9. 设，则的值为 10. （1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 题型4利用分数指数幂的运算性质化简求值 11. 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 12. 计算（    ） A． B． C． D． 13. （多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型5整体代换求分数指数幂 14. 已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 15. 已知，则（    ） A． B． C． D． 16. （多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $