第10讲 函数的单调性与最值讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第10讲 函数的单调性与最值 目录 一、函数的单调性 1 1.单调性的定义 1 2．函数的单调区间 2 3.复合函数的单调性 2 二、最值 2 题型1判断或证明函数的单调性 4 题型2求函数的单调区间   5 题型3已知函数的单调性求参数 7 题型4利用单调性解不等式 9 题型5比较大小 10 题型6求函数的最值 11 题型7求函数的值域 12 题型8根据最值求参数 13 01 学习新知 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 02 经典题型 题型1判断或证明函数的单调性 1. (多选)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0”的有(　　) A.f(x)=|x-1| B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)= 答案　BD 解析　∀x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0， 则f(x)在(0，+∞)上单调递减， f(x)=|x-1|在(1，+∞)上单调递增，故A错误； f(x)=-3x+1在(0，+∞)上单调递减，故B正确； f(x)=x2+4x+3的对称轴方程为x=-2，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C错误； f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故D正确. 2. 根据定义证明函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2，有 y1-y2==(x1-x2)+=(x1-x2)+(x1x2-1). 由x1，x2∈(1，+∞)，得x1>1，x2>1. 所以x1x2>1，x1x2-1>0. 又由x1<x2，得x1-x2<0. 于是(x1x2-1)<0，即y1<y2. 所以，函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 3. 证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 证明　∀x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2， f(x1)-f(x2)= =. 因为2<x1<x2， 所以x2-x1>0，x2+x1>0>4>4， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 4. 证明函数f(x)=在区间(-∞，-2)上单调递增. 证明　∀x1，x2∈(-∞，-2)，且x1<x2， f(x1)-f(x2)= 因为x1<x2<-2， 所以x2-x1>0，x2+x1<0>4>4， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)=在区间(-∞，-2)上单调递增. 5. 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； 【答案】(1) (2)在上是增函数，证明见解析 【详解】（1）由分式性质可知，，故函数定义域为： （2）函数在上是增函数，证明如下： 设，， ， 因为，则，， 可得，即， 所以在上是增函数. 题型2求函数的单调区间   6. 函数的单调减区间为 . 【答案】和 【详解】，由于函数的单调减区间为 和.故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 7. 函数的增区间为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 设，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增.故答案为：. 8. 已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】， 函数图象如图所示． 由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 9. 函数的单调递减区间是 . 【答案】和 【详解】当或时，，对称轴为， 当时，，对称轴为， 作出的图象如图所示， 由图可知单调递减区间为， 故答案为：和 题型3已知函数的单调性求参数 10. 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　(-∞，-4] 解析　f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3， 因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]， 因为f(x)在(-∞，3]上单调递增，所以-a-1≥3， 解得a≤-4，即实数a的取值范围为(-∞，-4]. 11. 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a的值为　　　　. 答案　-4 解析　f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3， 因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]， 由题意得-a-1=3，所以a=-4. 12. 若函数在上单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】函数的对称轴为， 故当或时，函数在上单调， 即或， 故答案为:或. 13. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 14. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，解得． 故答案为：. 15. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 16. 若函数f(x)=为R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　[-5，-4] 解析　∵f(x)为R上的增函数， 则解得-5≤a≤-4， ∴实数a的取值范围为[-5，-4]. 17. 已知函数f(x)=为R上的增函数，则实数t的取值范围为　　　　　　. 答案　{t|t≤-1或t=0} 解析　∵f(x)为R上的增函数， 则解得t≤-1或t=0. ∴实数t的取值范围为{t|t≤-1或t=0}. 题型4利用单调性解不等式 18. 若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 答案　 解析　由f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，得x>1-x⇒x> 即x的取值范围是. 19. 若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 答案　 解析　因为f(x)是定义在(-1，1)上的增函数且f(x)>f(1-x)， 所以<x<1，即x的取值范围是. 20. 已知函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，且f(2)=-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是(　　) A.(3，+∞) B.(-∞，3) C.[2，3) D.[0，3) 答案　C 解析　∵函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，且f(2)=-1， 又∵f(2x-4)>-1=f(2)，∴0≤2x-4<2，解得2≤x<3， ∴实数x的取值范围是[2，3). 21. 若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与f的大小关系是　　　　　　　. 答案　f ≤f 解析　∵a2+2a+=(a+1)2+函数f(x)是定义在R上的增函数， ∴f ≤f . 题型5比较大小 22. 已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 23. 设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 题型6求函数的最值 24. 函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以在区间上是减函数，所以在上的最大值为， 故选：A 25. 函数的最大值是 ． 【答案】4 【详解】当时，，此时函数单调递增，则最大值为4； 当时，，此时函数单调递减，则； 故函数的最大值为4. 故答案为：4 26. 函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【详解】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 27. 已知函数f(x)=. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1，5]上的最值. (1)证明　设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1> f(x1)-f(x2)= =.由于x2>x1> 所以x2-x1>0，且(2x1-1)(2x2-1)>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)=在区间上单调递减. (2)解　由(1)知，函数f(x)在[1，5]上单调递减， 因此，函数f(x)=在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值， 即最大值为f(1)=3，最小值为f(5)=. 题型7求函数的值域 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 28. (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[，+∞) 答案　ACD解析　对于A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，(分离常数法)y===2+，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). 对于C，(换元法)设t=，则x=t2+1，且t≥0，∴y=2(t2+1)-t=2+， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，+∞)， ∵y=与y=在[1，+∞)上均单调递增，∴y=+在[1，+∞)上为增函数， ∴当x=1时，ymin=，即函数的值域为[，+∞). 题型8根据最值求参数 29. 已知函数的最小值为-1，则 . 【答案】2 【详解】当时，. 因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1， 则，解得. 故答案为：2. 30. 已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性与最值 目录 一、函数的单调性 1 1.单调性的定义 1 2．函数的单调区间 2 3.复合函数的单调性 2 二、最值 2 题型1判断或证明函数的单调性 4 题型2求函数的单调区间   5 题型3已知函数的单调性求参数 6 题型4利用单调性解不等式 7 题型5比较大小 8 题型6求函数的最值 8 题型7求函数的值域 9 题型8根据最值求参数 10 01 学习新知 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 02 经典题型 题型1判断或证明函数的单调性 1. (多选)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有<0”的有(　　) A.f(x)=|x-1| B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)= 2. 根据定义证明函数y=x+在区间(1，+∞)上单调递增. 3. 证明函数f(x)=在区间(2，+∞)上单调递减. 4. 证明函数f(x)=在区间(-∞，-2)上单调递增. 5. 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； 题型2求函数的单调区间   6. 函数的单调减区间为 . 7. 函数的增区间为 ． 8. 已知函数，，根据图象写出它的单调区间．． 9. 函数的单调递减区间是 . 题型3已知函数的单调性求参数 10. 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 11. 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a的值为　　　　. 12. 若函数在上单调，则实数的取值范围为 ． 13. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 15. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 16. 若函数f(x)=为R上的增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 17. 已知函数f(x)=为R上的增函数，则实数t的取值范围为　　　　　　. 题型4利用单调性解不等式 18. 若函数f(x)在R上为增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 19. 若f(x)是定义在(-1，1)上的增函数，且f(x)>f(1-x)，则x的取值范围是　　　　　　. 20. 已知函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，且f(2)=-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是(　　) A.(3，+∞) B.(-∞，3) C.[2，3) D.[0，3) 21. 若函数f(x)是定义在R上的增函数，则f与f的大小关系是　　　　　　　. 题型5比较大小 22. 已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 23. 设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 题型6求函数的最值 24. 函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 25. 函数的最大值是 ． 26. 函数在区间上的最小值为，最大值为，则 27. 已知函数f(x)=. (1)证明：函数f(x)在上单调递减； (2)求函数f(x)在[1，5]上的最值. 题型7求函数的值域 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. 28. (多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[，+∞) 题型8根据最值求参数 29. 已知函数的最小值为-1，则 . 30. 已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 2 学科网（北京）股份有限公司 $