第16讲 指数函数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第16讲 指数函数 预习目标 知识回顾 1．牢记指数函数标准解析式三大特征，准确判断指数函数。 2．掌握两类指数函数的定义域、值域、定点与单调性，能依据底数区分增减图像特征。 3．熟记底大图高规律，分清坐标轴两侧图像底数大小关系，掌握对称图像性质。 4．学会分a>1、0<a<1讨论指数函数，利用图像性质快速判断函数值大小、绘制草图。 1．掌握整数指数幂定义及运算法则，理解根式概念与性质，能完成根式化简与幂式运算。 2．熟记分数指数幂规定，熟练实现根式与分数指数幂互化，灵活运用有理指数幂运算公式。 3．认识无理数指数幂，明白其为确定实数，清楚所有指数幂运算性质在实数范围内均可通用。 新知导图 预习精讲 想一想 问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？ 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？ 思考：这些函数关系式有什么共同特征? 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 指数函数规定底数且的原因 1.若：仅时有意义，无意义，无法作为通用函数。 2.若：部分自变量取值会使式子出现偶次根式，实数范围内无函数值。 3.若：为常数函数，不具备指数函数研究价值。 【即学即练】 1．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 2．若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【详解】设的图象过点， 解得． 知识点02 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 注意 （1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 注意 1.分类讨论规则：分析图像与单调性，必须分、两种情况。 2.函数值变化规律：当时，函数单调递增，则，则；当时，函数单调递减，则，则。 3.底数大小对图像的影响：时，底数越大，图像越贴近轴，增长速度更快；时，底数越小，图像越贴近轴，下降速度更快。 4.对称性质：与的图像关于轴对称。 【即学即练】 3．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立， 因此恒过定点； 对于函数（且），令，代入得， 该结果与参数a的取值无关，因此函数的图象恒过定点A，坐标为. 4．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 题型速练 题型01 指数函数的概念 【例1】下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】只有符合指数函数的定义，A，B，D中函数都不符合（且）的形式． 故选：C 【例2】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 易错点 1.判断函数时忽略底数限制，忘记或不满足定义。 2.误将带系数、上下平移、左右平移的指数型函数当成指数函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【答案】C 【详解】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 【变式1-2】若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-3】下列函数中，______是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【详解】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 题型02 求指数函数的解析式或函数值 【例3】已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【答案】 【详解】设指数函数为，且，将代入得， 解得，故函数解析式为. 故答案为： 【例4】函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 必记结论 1.求解析式：先设标准形式，将函数图像上已知点坐标代入求解底数。 2.求函数值：把自变量代入解析式，按照分数、负指数幂运算法则化简求值。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 【变式2-2】若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 【变式2-3】已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则__________． 【答案】/0.25 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 题型03 指数函数的值域 【例5】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【例6】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 必记结论 1.基础指数函数值域恒为，函数值永远大于0。 2.复合指数型函数，先求内层取值范围，再结合单调性求整体值域。 【小试牛刀】 【变式3-1】已知函数是定义在上的奇函数．若当时，，则函数的值域为__________． 【答案】 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，由指数函数的性质知，当时，， 所以当时，，由奇函数的性质知，当时，， 所以函数的值域为. 【变式3-2】函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 【变式3-3】已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 题型04 指数函数的图象 【例7】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数和， 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越快， 函数在定义域为单调递增函数，可排除A和B项； 当时，函数在第一象限为单调递增函数，且增长趋势越来越慢， 函数在定义域为单调递减函数，可排除C项. 故选：D. 【例8】函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 必记结论 1.函数恒过定点，无论底数取何有效值，时。 2.图像单调上升；图像单调下降；与关于轴对称。 3.底数越大图像越靠近轴；底数越小图像越靠近轴。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 【变式4-2】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式4-3】函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 题型05 指数（型）函数的单调性 【例9】下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 【例10】若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 必记结论 1.：在上单调递增；在上单调递减。 2.复合指数函数遵循“同增异减”，内外层单调性一致则整体递增，相反则递减。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【答案】D 【详解】已知函数，定义域为，关于原点对称. .满足，故是奇函数. .因为且在上单调递增. 所以在上单调递增，进而在上单调递减. 故在上单调递减. 综上，是奇函数，且在上是减函数. 【变式5-2】已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：A 【变式5-3】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减， 因此 的单调性与 的单调性相反， 要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增. 二次函数 开口向上，对称轴为 ， 要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选： A 题型06 比较两数的大小 【例11】设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【例12】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 在上单调递减， 所以 ， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得. 易错点 1.底数在区间时，误用递增规律判断大小。 2.不会借助中间量，强行计算数值，过程繁琐易出错。 【小试牛刀】 【变式6-1】填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【答案】 ＜ ＞ 【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数， 又，∴， （2）， ∵函数在上是增函数， ∴，即． 【变式6-2】已知，，，则“ ”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】令，因为，所以函数在上单调递减，又， 若，则， 令，因为，所以函数在上单调递增，又， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 【变式6-3】已知，则的值所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数单调递增，所以只需，即可得. 比较5与：. 比较5与：. 比较5与：，，因为，即，所以. 比较5与：，，因为，即，所以. 综上，，所以. 题型07 解简单的指数不等式 【例13】不等式的解集是___________. 【答案】 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以， 所以不等式的解集为. 【例14】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到，即，则， 由，得到，则，所以. 必记结论 1.不等式两边统一化为同底数指数形式，去掉底数后转化为一次/二次不等式。 2.去掉指数不等号方向不变；去掉指数不等号反向。 【小试牛刀】 【变式7-1】若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以，解得或，故所求范围是. 故答案为： 【变式7-2】已知集合，，则______. 【答案】 【详解】， ，，所以，得，所以， 所以. 故答案为：. 【变式7-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，得，则，不符合题意； 当时，，则， 解得或，则或， 综上，不等式的解集为. 题型08 指数函数的分类讨论 【例15】已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 【例16】已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 必记结论 1.底数含参数时，分、两类讨论单调性、图像、值域、不等式。 2.解题前先排除、，该范围下式子无指数函数意义。 【小试牛刀】 【变式8-1】函数且的值域是，则实数__________. 【答案】或 【详解】当时，函数且是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且是减函数， 其值域是，则，解得， 所以实数或. 故答案为：或 【变式8-2】已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，需满足以下条件： （1）对于任意 ，需有 ， 由于 ，函数 在上单调递减， 因此，即 ； （2）令 ，则 ，由于 且 ，分两种情况： 若 ，则外层函数 递增，而内层函数 递减， 故复合函数 递减，不符合题意， 若 ，则外层函数 递减，内层函数 递减， 故复合函数 递增，符合题意， 故； 综上， 的取值范围是 . 故答案为： 【变式8-3】已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型09 恒成立问题 【例17】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 【例18】已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 必记结论 恒成立/存在性模型： 任意x∈D，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a； 任意x∈D，f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a； 存在x∈D，f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a； 存在x∈D，f(x)≤a成立⇔f(x)min≤a。 【小试牛刀】 【变式9-1】已知函数，若恒成立，则实数___________． 【答案】 【详解】当时，,则, 由于恒成立，则, 当时，,其对称轴为：, 由于,所以当时，, 则，解得：, 由于,则, 当时，时，，满足条件， 时，,满足恒成立 综上， 故答案为： 【变式9-2】已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 【变式9-3】已知函数为偶函数，其中. (1)求的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以，即，亦即， 因为，所以，约分可得，即，解得. （2）由（1）得， 又，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 又对恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 基础过关 1．已知函数，则的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，. 故选：A. 3．函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 4．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 5．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 6．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 7．（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 8．（多选）已知函数是上的减函数，则的取值可以是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为函数是上的减函数， 则，解得， 因为，，，，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 9．函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 10．不等式的解集是__________. 【答案】 【详解】因为在定义域内单调递减， 若，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 11．已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 12．已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知，， 解得，，所以. 因为，所以，所以在上的值域为. （2）当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去），故. 能力提升 13．已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 14．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 15．已知函数，其中且，若的值域是，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的值域为. 若的值域是，则，解得． 16．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 17．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 【答案】 【详解】由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. 则，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 挑战一刻 18．若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 19．若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. 20．已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 指数函数 预习目标 知识回顾 1．牢记指数函数标准解析式三大特征，准确判断指数函数。 2．掌握两类指数函数的定义域、值域、定点与单调性，能依据底数区分增减图像特征。 3．熟记底大图高规律，分清坐标轴两侧图像底数大小关系，掌握对称图像性质。 4．学会分a>1、0<a<1讨论指数函数，利用图像性质快速判断函数值大小、绘制草图。 1．掌握整数指数幂定义及运算法则，理解根式概念与性质，能完成根式化简与幂式运算。 2．熟记分数指数幂规定，熟练实现根式与分数指数幂互化，灵活运用有理指数幂运算公式。 3．认识无理数指数幂，明白其为确定实数，清楚所有指数幂运算性质在实数范围内均可通用。 新知导图 预习精讲 想一想 问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？ 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？ 思考：这些函数关系式有什么共同特征? 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 指数函数规定底数且的原因 1.若：仅时有意义，无意义，无法作为通用函数。 2.若：部分自变量取值会使式子出现偶次根式，实数范围内无函数值。 3.若：为常数函数，不具备指数函数研究价值。 【即学即练】 1．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 2．若指数函数的图象经过点，则_____． 知识点02 指数函数的图象和性质 1.指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的增函数 注意 （1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 2．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 注意 1.分类讨论规则：分析图像与单调性，必须分、两种情况。 2.函数值变化规律：当时，函数单调递增，则，则；当时，函数单调递减，则，则。 3.底数大小对图像的影响：时，底数越大，图像越贴近轴，增长速度更快；时，底数越小，图像越贴近轴，下降速度更快。 4.对称性质：与的图像关于轴对称。 【即学即练】 3．函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 4．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 题型速练 题型01 指数函数的概念 【例1】下列函数中一定是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 易错点 1.判断函数时忽略底数限制，忘记或不满足定义。 2.误将带系数、上下平移、左右平移的指数型函数当成指数函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 【变式1-2】若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【变式1-3】下列函数中，______是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 题型02 求指数函数的解析式或函数值 【例3】已知指数函数的图像过点，函数的解析式为______. 【例4】函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 必记结论 1.求解析式：先设标准形式，将函数图像上已知点坐标代入求解底数。 2.求函数值：把自变量代入解析式，按照分数、负指数幂运算法则化简求值。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-2】若指数函数满足，则_____． 【变式2-3】已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则__________． 题型03 指数函数的值域 【例5】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例6】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.基础指数函数值域恒为，函数值永远大于0。 2.复合指数型函数，先求内层取值范围，再结合单调性求整体值域。 【小试牛刀】 【变式3-1】已知函数是定义在上的奇函数．若当时，，则函数的值域为__________． 【变式3-2】函数的值域为______. 【变式3-3】已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型04 指数函数的图象 【例7】函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【例8】函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.函数恒过定点，无论底数取何有效值，时。 2.图像单调上升；图像单调下降；与关于轴对称。 3.底数越大图像越靠近轴；底数越小图像越靠近轴。 【小试牛刀】 【变式4-1】已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   题型05 指数（型）函数的单调性 【例9】下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【例10】若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 必记结论 1.：在上单调递增；在上单调递减。 2.复合指数函数遵循“同增异减”，内外层单调性一致则整体递增，相反则递减。 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数，则是（） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 【变式5-2】已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【变式5-3】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 比较两数的大小 【例11】设，则（   ） A． B． C． D． 【例12】已知，则（ ） A． B． C． D． 易错点 1.底数在区间时，误用递增规律判断大小。 2.不会借助中间量，强行计算数值，过程繁琐易出错。 【小试牛刀】 【变式6-1】填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【变式6-2】已知，，，则“ ”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】已知，则的值所在的区间是（    ） A． B． C． D． 题型07 解简单的指数不等式 【例13】不等式的解集是___________. 【例14】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.不等式两边统一化为同底数指数形式，去掉底数后转化为一次/二次不等式。 2.去掉指数不等号方向不变；去掉指数不等号反向。 【小试牛刀】 【变式7-1】若，则实数的取值范围是______. 【变式7-2】已知集合，，则______. 【变式7-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08 指数函数的分类讨论 【例15】已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例16】已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.底数含参数时，分、两类讨论单调性、图像、值域、不等式。 2.解题前先排除、，该范围下式子无指数函数意义。 【小试牛刀】 【变式8-1】函数且的值域是，则实数__________. 【变式8-2】已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【变式8-3】已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 题型09 恒成立问题 【例17】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【例18】已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 必记结论 恒成立/存在性模型： 任意x∈D，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a； 任意x∈D，f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a； 存在x∈D，f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a； 存在x∈D，f(x)≤a成立⇔f(x)min≤a。 【小试牛刀】 【变式9-1】已知函数，若恒成立，则实数___________． 【变式9-2】已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-3】已知函数为偶函数，其中. (1)求的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 基础过关 1．已知函数，则的值是（    ） A．4 B． C． D． 2．人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 3．函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 4．函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 5．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 7．（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 8．（多选）已知函数是上的减函数，则的取值可以是（   ） A．2 B． C． D． 9．函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 10．不等式的解集是__________. 11．已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 12．已知函数（，且，）. (1)若的图象过点和，求的解析式和值域； (2)当时，在区间上的最大值比最小值大，求的值. 能力提升 13．已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，其中且，若的值域是，则的取值范围是___________ 16．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则a的取值范围为 D．若，则的最小值为 17．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 挑战一刻 18．若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 20．已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $