1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练习 2026-2027学年高二上学期 人教A版（2019）选择性 必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固-综合运用-拓展提高”三层设计，实现空间向量概念到综合应用的递进，强化抽象能力与空间观念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量概念、线性运算、相等/相反向量|11题，选择/填空/解答结合，如单位向量判断、正方体中向量运算，夯实抽象能力| |综合运用|向量线性表示、重心问题、三棱柱向量化简|3题，多选与解答题，如四面体中向量分解、重心坐标表示，培养推理意识| |拓展提高|复杂几何体（正四棱台、平行六面体）向量应用|2题，结合光岳楼等现实情境，需建模与综合运算，发展空间观念与创新意识|

第二课时　共线向量与共面向量 一、基础巩固 1.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 2.下列命题中正确的是(　　) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面 C.若两个非零空间向量与满足+=0,则∥ D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb 3.已知O是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是(　　) A.=sin α+cos α B.=sin2α+cos2α C.=sin α-cos α D.=sin2α-cos2α 4.在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　) A.=3-2- B.+++=0 C.++=0 D.=-+ 5.若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是(　　) A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a 6.(多选)在以下命题中,不正确的命题是(　　) A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0 B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件 C.若与共线,则AB与CD所在直线平行 D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面 7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且=-x+,则实数x的值为(　　) A. B.- C. D.- 8.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为　　　　.  9.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是　　　　(填“平行”“相等”或“相反”).  10.有下列命题: ①若∥,则A,B,C,D四点共线; ②若∥,则A,B,C三点共线; ③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b; ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0. 其中是真命题的序号是　　　　(把所有真命题的序号都填上).  11.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断与是否共线. 二、综合运用 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有=+7+6-4,那么M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　.  14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面. 三、拓展提高 15.已知三棱锥P-ABC的体积为15,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是　　　　.  16.对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D(无三点共线)分别对应着向量a=,b=, c=,d=.求证:A,B,C,D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α,β,γ,δ,使αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0. 第二课时　共线向量与共面向量 一、基础巩固 1.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 答案　A 解析　∵=+=2a+4b=2, ∴A,B,D三点共线. 2.下列命题中正确的是(　　) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面 C.若两个非零空间向量与满足+=0,则∥ D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb 答案　C 解析　A中,若b=0,则a与c不一定共线,故A错误; B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面,故B错误; C中,∵+=0,∴=-, ∴与共线,故∥,故C正确; D中,若b=0,a≠0,则不存在λ,使a=λb,故D错误. 3.已知O是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是(　　) A.=sin α+cos α B.=sin2α+cos2α C.=sin α-cos α D.=sin2α-cos2α 答案　B 解析　在=x+y中,当x+y=1时,A,B,C三点共线. 因为sin2α+cos2α=1, 所以选项B可以判定A,B,C三点共线. 4.在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　) A.=3-2- B.+++=0 C.++=0 D.=-+ 答案　C 解析　∵++=0, ∴=--, ∴点M与点A,B,C必共面. 5.若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是(　　) A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a 答案　C 解析　向量a,b,c不共面,A项,b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面; B项,a+b+c=(a+b)+c,因此三个向量共面; C项,若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面; D项,a-b=2a-(a+b),因此三个向量共面,故选C. 6.(多选)在以下命题中,不正确的命题是(　　) A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0 B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件 C.若与共线,则AB与CD所在直线平行 D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面 答案　BCD 解析　+++=++=+=0,A正确; 若a,b同向共线,则|a|-|b|<|a+b|,故B不正确; 由向量平行知C不正确; D中只有x+y+z=1时,才有P,A,B,C四点共面,故D不正确.故选BCD. 7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且=-x+,则实数x的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　A 解析　=-x+=-x+=-x-. 又∵P是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面, ∴-x-=1,解得x=. 8.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为　　　　.  答案　-8 解析　因为=-=e1-4e2, =2e1+ke2, 又A,B,D三点共线, 由向量共线的充要条件得=, 所以k=-8. 9.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是　　　　(填“平行”“相等”或“相反”).  答案　平行 解析　设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),则=+=+=, 所以2=+, 从而∥(+). 10.有下列命题: ①若∥,则A,B,C,D四点共线; ②若∥,则A,B,C三点共线; ③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b; ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0. 其中是真命题的序号是　　　　(把所有真命题的序号都填上).  答案　②③④ 解析　根据共线向量的定义,若∥, 则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错; 因为∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b. 故③正确;易知④也正确. 11.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断与是否共线. 解　连接AC,如图. ∵N是BD的中点,四边形ABCD为平行四边形, ∴N为AC的中点. 又M是AD1的中点, ∴=- =- =(-)=, ∴与共线. 二、综合运用 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有=+7+6-4,那么M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 答案　C 解析　=+7+6-4 =++6-4 =++6-4 =+6-4 =11-6-4, 因为11+(-6)+(-4)=1, 于是M,B,A1,D1四点共面. 13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　.  答案　 解析　∵a,b,c三个向量共面, ∴存在实数m,n,使得c=ma+nb, 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k) =(2m-n)i+(-m+4n)j+(3m-2n)k. 因为i,j,k是不共面向量, ∴∴λ=. 14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面. 证明　令=a,=b,=c. 因为M,N,P,Q均为所在棱的中点, 所以=-=b-a, =+=a+c, =++=-a+b+c. 设=λ+μ, 则-a+b+c=λ+μ =(μ-λ)a+λb+μc, 所以解得 所以=2+, 所以向量,,共面. 又向量,,过同一点M, 所以M,N,P,Q四点共面. 三、拓展提高 15.已知三棱锥P-ABC的体积为15,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是　　　　.  答案　9 解析　因为=-++, 则15=-+3+4, 即15=--+3+3+4+4, 即9=-+3+4, 所以=-++. 因为-++=1, 则在平面ABC内存在一点D, 使得=-++成立, 即=,所以=, 即=,则=. 又三棱锥P-ABC的体积为15, 则VA-MBC=VP-ABC=×15=9. 16.对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D(无三点共线)分别对应着向量a=,b=, c=,d=.求证:A,B,C,D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α,β,γ,δ,使αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0. 证明　(充分性)∵α+β+γ+δ=0, ∴δ=-(α+β+γ), ∴αa+βb+γc+δd =αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0, 即α(a-d)+β(b-d)+γ(c-d)=0. ∵a-d=,b-d=,c-d=, ∴α+β+γ=0. 又α,β,γ是不全为零的实数,不妨设γ≠0, 则=--. ∴与,共面,即A,B,C,D四点共面. (必要性)∵A,B,C,D四点共面,且A,B,C三点不共线, ∴与不共线, 因而存在实数x,y,使=x+y, 即d-a=x(b-a)+y(c-a), ∴(x+y-1)a-xb-yc+d=0. 令α=x+y-1,β=-x,γ=-y,δ=1, 则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1　 第一课时　空间向量及其线性运算 一、基础巩固 1.下列命题中为真命题的是(　　) A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 B.空间非零向量就是空间中的一条有向线段 C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.向量与的长度相等 2.(多选)已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　) A.(+)+ B.(+)+ C.(-)- D.(+)+ 4.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 5.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于(　) A. B.3 C.3 D.2 6.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 7.某市119指挥中心接群众报警称:位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病,急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警,3名消防员立即乘车到达B处,马上下车跑步到达C处,再攀爬到塔吊上D处救下发病工人,则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　) A. B. C. D. 8.设A,B,C,D为空间任意四点,则-+=　　　　.  9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于　　　　(用a,b,c表示).  10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x=　　　　,y=　　　　.  11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个? (2)写出模为 的所有向量. (3)试写出的所有相反向量. 二、综合运用 12.(多选)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　) A.=b-c B.=b+c-a C.=b-c-a D.=a+b+c 13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　(用a,b,c表示).  14.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1)+; (2)++; (3)--. 三、拓展提高 15.光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼,其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则++=　　　　.  16.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体. (1)化简++,并在图中标出其结果; (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上靠近C'的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值. 1.1.1　 第一课时　空间向量及其线性运算 一、基础巩固 1.下列命题中为真命题的是(　　) A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 B.空间非零向量就是空间中的一条有向线段 C.不相等的两个空间向量的模必不相等 D.向量与的长度相等 答案　D 解析　对于选项A,其终点构成一个球面; 对于选项B,空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示,但不能说向量就是有向线段; 对于选项C,向量a与向量b不相等,有可能它们的模相等,但方向不同;D正确. 2.(多选)已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 答案　AB 解析　m(a-b)=ma-mb,A正确; (m-n)a=ma-na,B正确; 若m=0,则a,b不一定相等,C错误; 若a=0,则m,n不一定相等,D错误. 3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　) A.(+)+ B.(+)+ C.(-)- D.(+)+ 答案　ABD 解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质,逐一判断可知A,B,D的运算结果都为,而C中,(-)-=-=,故选ABD. 4.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　D 解析　∵=,∴||=||,AB∥DC, 即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,=.故应选D. 5.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于(　) A. B.3 C.3 D.2 答案　B 解析　-+=-(-)=-=+=+2=3. 6.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 答案　A 解析　∵+=+, ∴=, ∴∥且||=||, ∴四边形ABCD为平行四边形. 7.某市119指挥中心接群众报警称:位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病,急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警,3名消防员立即乘车到达B处,马上下车跑步到达C处,再攀爬到塔吊上D处救下发病工人,则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由消防员的运动过程知++=. 8.设A,B,C,D为空间任意四点,则-+=　　　　.  答案　 解析　-+=++=. 9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于　　　　(用a,b,c表示).  答案　b-a-c 解析　∵=-=(-)-,==c, ∴=b-a-c. 10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x=　　　　,y=　　　　.  答案　1　 解析　因为=+=+=+(+), 且=x+y(+),所以x=1,y=. 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有多少个? (2)写出模为 的所有向量. (3)试写出的所有相反向量. 解　(1)由题意知,AA1=1,所以向量,,,,,,,,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个. (2)易知A1D==, 所以模为的向量有,,,,,,,. (3)根据相反向量的定义,可得向量的所有相反向量为,,,. 二、综合运用 12.(多选)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　) A.=b-c B.=b+c-a C.=b-c-a D.=a+b+c 答案　BD 解析　由已知分析各选项:对于A,由向量的平行四边形法则,得=+=b+c,故A错误; 对于B,由向量的平行四边形法则和三角形法则, 得=-=- =-=+-=b+c-a,故B正确; 对于C,因为点P在线段AN上,且AP=3PN, 所以==b+c-a, 所以==b+c-a,故C错误; 对于D,=+=a+b+c-a=a+b+c,故D正确.故选BD. 13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　(用a,b,c表示).  答案　b+c-a 解析　如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c, O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心, ∴=+=(+)+(+)=(b+c)+[(+)+(+)]=(b+c)+ =(b+c)+(-b+c)-a+(b+c)-a=b+c-a. 14.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1)+; (2)++; (3)--. 解　(1)+=. (2)因为M是BB1的中点, 所以=. 又=, 所以++=+=. (3)--=-=. 向量,,如图所示. 三、拓展提高 15.光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼,其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则++=　　　　.  答案　 解析　如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=, 且=, ∴++=++=++=+=+=. 16.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体. (1)化简++,并在图中标出其结果; (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上靠近C'的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值. 解　(1)如图,取AA'的中点E,在D'C'上取一点F,使D'F=2FC',连接EF, 则=++=++. (2)因为=+ =+ =(+)+(+) =++, 且=α+β+γ, 所以α=,β=,γ=. 学科网（北京）股份有限公司 $