1.1.2空间向量的数量积运算同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕空间向量数量积运算，按概念辨析、运算、应用分层设计，题量配比合理，梯度衔接自然，构建从概念理解到综合应用的巩固路径，适配新授课“基础+提升”教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|数量积定义、性质辨析|以选择填空为主，如第1-2题辨析向量关系，培养抽象能力与空间观念| |运算技能层|数量积计算（直接运算、基底/坐标表示）|结合几何模型，如第5-7题正方体、三棱柱中的运算，提升运算能力与几何直观| |综合应用层|模、夹角、二面角及运算律应用|含探究性问题，如第12题存在性论证，发展推理能力与创新意识|

1.1.2空间向量的数量积运算 题型一 空间向量数量积的概念辨析 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 3．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 4．已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长； （2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角. 【详解】（1）， 利用空间向量加法可得； 由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，， 所以，，， ， 所以线段CD的长为. （2），， ， 又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值. 题型二 求空间向量的数量积 5．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 6．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 7．如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 8．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 题型三 空间向量数量积的应用 9．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 10．如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 11．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 12．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程，求可得的长. （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值，结合二面角与二面角互补可得结论. （3）过点作，证明平面，过点作交于点，在上取点，使得，证明，结合条件可求. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 因为平面，底面，所以. 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成的角， 设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接. 因为底面，底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为为的中点，，四边形为矩形， 所以，所以，所以。 所以，设二面角的平面角为，则， 所以，所以. 所以二面角的平面角的正弦值为.    （3）存在符合条件的点，依题意得，， 又，所以. 又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，得， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得. 连接，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，易知，所以， 所以.    题型四 用空间基底表示向量 13．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    14．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 15．已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 16．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 题型五 数量积的运算律 17．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 18．如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A．若平面PCD，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由点为中点和线面平行推出点的位置；B选项得到两角余弦的关系，反推角的大小； C选项，表示两角正弦值，得到角的大小； D选项，将用表示，通过向量数量积运算判断. 【详解】A选项，若平面PCD，则点E，F到平面PCD的距离相等， 注意到平面PCD，故为BC的中点，即，正确． B选项不正确，记PF的射影与AB的夹角为， 则，故． C选项正确，记点在平面ABCD内的射影为，点在棱BC上的射影为， 则，，由可得． D选项正确，即， 因为，则在方向上的投影长度是， 所以，． 19．在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 【答案】 【分析】过作于，利用已知可得，过作于，进而可得，过作于，为二面角的平面角，计算可求得最大值. 【详解】过作于，因为，， 所以四边形是矩形，所以， 所以，所以， 又因为，，，所以， 又因为，所以， 所以，过作于， 则， 所以，过作于， 因为，又，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 因为，又，所以， 又因为，所以， 由正弦定理可得，所以. 20．如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【答案】(1)， (2)， (3) 当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 【分析】（1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量，，表示，.； （2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案； （3）由平面ABCD等价于，，利用向量数量积公式计算即得结论. 【详解】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2空间向量的数量积运算 题型一 空间向量数量积的概念辨析 1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 3．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 4．已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：． (1)试用表示，并求线段CD的长； (2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值． 题型二 求空间向量的数量积 5．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 6．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 7．如图，平行六面体中，，，则__________． 8．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 题型三 空间向量数量积的应用 9．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 10．如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 11．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 12．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 题型四 用空间基底表示向量 13．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 15．已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 16．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 题型五 数量积的运算律 17．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A．若平面PCD，则 B． C． D． 19．在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 20．如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $