25.2.2-降次配方法-（第2课时）讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的配方法这一核心知识点，前承直接开平方法（解x²=a或(x+m)²=n型方程），后启公式法推导，通过“降次”思想将二次方程转化为完全平方式再求解，系统梳理配方法“一化、二移、三配、四开”的步骤，为后续学习奠定基础。 资料以面积问题情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过从特殊到一般的探究过程发展逻辑推理能力，结合口诀、例题及易错警示强化数学运算能力，含配方法知识结构图助于系统理解，课中辅助教师高效教学，课后分层作业帮助学生查漏补缺。

2024 版 · 人教版九年级数学上册 · 第二十一章 一元二次方程 · 第 2 课时 人教版九年级数学上册 第二课时讲义 降次——配方法 第二十一章 · 一元二次方程 · 第 2 课时 LECTURE NOTES 本课时从直接开平方法出发，引导学生探究一元二次方程的一般解法——配方法。 通过“降次”思想将二次方程转化为一次方程，掌握配方法的步骤与技巧， 为后续学习公式法、因式分解法及二次函数等内容奠定基础。 适用对象 九年级师生 学科 数 学 版本 人 教 版 SECTION 01 课程导入与学习目标 1.1 课时地位与作用 本课时是人教版九年级数学上册第二十一章“一元二次方程”的第 2 课时，核心内容是“降次”思想与配方法。在上一课时中，我们学习了一元二次方程的概念和一般形式；本课时开始，我们将系统探究一元二次方程的解法。配方法是一元二次方程最基本、最通用的解法，它不仅是直接开平方法的自然延伸，更是后续推导求根公式（公式法）的核心工具。 “降次”是本课时的核心数学思想——将二次方程通过配方转化为完全平方式，再利用直接开平方转化为一元一次方程求解。这种“高次→低次”的转化策略，在数学学习中具有普遍意义：高中阶段解高次方程、求函数零点等，都离不开降次思想。因此，配方法的学习不仅是为了解方程，更是培养数学转化能力的关键载体。 1.2 本课时学习目标 本课时核心内容是配方法，具体学习目标如下： 目标维度 具体要求 知识与技能 理解直接开平方法的原理，能解形如 x²=a (a≥0) 或 (x+m)²=n (n≥0) 的方程；掌握配方法的一般步骤，能熟练运用配方法解一元二次方程；理解配方法的依据是完全平方公式 a²±2ab+b²=(a±b)²。 过程与方法 经历从特殊到一般的探究过程，体会“降次”的数学思想；通过观察、类比、归纳，发展学生的运算能力和逻辑推理能力。 情感态度与价值观 在配方过程中感受数学的对称美和简洁美；培养严谨细致、不怕困难的科学态度，增强学好数学的信心。 核心素养 数学运算（配方过程中的精确计算）、逻辑推理（降次转化的逻辑链条）、数学建模（将实际问题转化为方程）。 1.3 教学重难点 重点 · KEY POINT 配方法的一般步骤；运用配方法解一元二次方程。 难点 · DIFFICULTY 理解“配方”的本质——为什么要加一次项系数一半的平方；配方过程中的符号处理与运算技巧。 SECTION 02 情境引入 上节课我们列出了方程 x²−75x+350=0 和 x²+x−20=0，但还不会解。今天我们就来探究如何“降次”求解。先从一个简单的问题开始。 问题一 · 面积问题 一个正方形的面积为 9，求它的边长。 设边长为 x，则 x²=9。由平方根的定义，x=±3。因为边长为正，所以 x=3。 观察 · OBSERVE 对于形如 x²=a 的方程，可以直接利用平方根的定义求解。这就是“直接开平方法”。 SECTION 03 直接开平方法 3.1 方法定义 ◆ 直接开平方法 对于形如 x²=a (a≥0) 或 (x+m)²=n (n≥0) 的方程，可以直接利用平方根的定义求解，这种方法叫做直接开平方法。 3.2 解法原理 根据平方根的定义： （1）若 x²=a (a>0)，则 x=±√a，即 x₁=√a，x₂=−√a。 （2）若 (x+m)²=n (n>0)，则 x+m=±√n，即 x₁=−m+√n，x₂=−m−√n。 （3）当 a=0 时，x²=0 有唯一解 x=0（二重根）；当 a<0 时，x²=a 无实数解。 关键 · KEY 直接开平方法的关键是：方程的一边是完全平方式，另一边是非负常数。正数有两个互为相反数的平方根，零的平方根是零，负数在实数范围内没有平方根。 SECTION 04 配方法 4.1 从特殊到一般 直接开平方法只适用于特殊形式。对于一般的一元二次方程 x²+px+q=0，能否通过变形转化为 (x+m)²=n 的形式？ 回顾完全平方公式：x²+2mx+m²=(x+m)²。比较 x²+px 与 x²+2mx，令 2m=p，即 m=p/2，则 m²=(p/2)²。 x² + px + (p/2)² = (x + p/2)² 这就是配方的核心：在 x²+px 后面加上一次项系数一半的平方 (p/2)²，即可配成完全平方式。 4.2 配方法定义 ◆ 配方法 通过在方程两边加上同一个适当的数（或式），使方程的一边成为一个完全平方式，另一边为常数，从而用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法（completing the square）。 4.3 配方法的一般步骤 以方程 2x²+8x−1=0 为例，配方法的完整步骤如下： 第一步：若二次项系数不为 1，方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为 1。2x²+8x−1=0 → x²+4x−1/2=0。 第二步：移项，将常数项移到右边。x²+4x=1/2。 第三步：配方，方程两边同加上一次项系数一半的平方。一次项系数为 4，一半为 2，平方为 4。x²+4x+4=1/2+4。 第四步：写成完全平方式。左边为 (x+2)²，右边化简为 9/2。即 (x+2)²=9/2。 第五步：若右边>0，直接开平方得两个不等实根；若右边=0，得两个相等的实根（二重根）；若右边<0，方程无实数根。此处右边=9/2>0，开平方得 x+2=±√(9/2)，即 x₁=−2+3√2/2，x₂=−2−3√2/2。 口诀 · MNEMONIC “一化（二次系数化为1）、二移（常数移右）、三配（两边加系数一半的平方）、四开（开平方求解）” 4.4 易错警示 易错点 · WARNING 1. 忘记将二次项系数化为 1 就直接配方，导致配方错误；2. 配方时只在一边加 (p/2)²，忘记在另一边也加，破坏等式；3. 一次项系数一半的平方算错，特别是系数为负时，如 −4x 应配 (−2)²=4；4. 右边配方后为负数时仍强行开方，导致错误结论；右边为 0 时有两个相等实根（二重根），不要遗漏。 SECTION 05 知识梳理 5.1 方法对比 比较项 直接开平方法 配方法 适用形式 x²=a 或 (x+m)²=n ax²+bx+c=0 (a≠0) 核心操作 直接开平方 配方→开平方 关键步骤 识别完全平方式 加一次项系数一半的平方 通用性 仅适用特殊形式 适用于所有一元二次方程 地位 配方法的基础 推导求根公式的工具 5.2 知识结构图 图 4　配方法知识结构图 SECTION 06 例题精讲 例 1 ｜ 直接开平方法 解方程：(x−3)²=25。 解：由 (x−3)²=25，两边直接开平方得 x−3 = ±√25 = ±5 即 x−3=5 或 x−3=−5，解得 x₁=8，x₂=−2 例 2 ｜ 配方法（二次项系数为 1） 解方程：x²−4x−5=0。 解： 第一步：移项，得 x²−4x=5。 第二步：配方，两边同加一次项系数一半的平方 (−4/2)²=4： x²−4x+4 = 5+4，即 (x−2)²=9 第三步：直接开平方，得 x−2 = ±3 第四步：解得 x₁=5，x₂=−1 例 3 ｜ 补全配方式 用配方法将 x²+6x+___ 配成完全平方式，并说明横线上应填什么。 解：一次项系数为 6，一半为 3，平方为 9。 x²+6x+9 = (x+3)² 所以横线上应填 9。 规律：对于 x²+px，只需在后面加上 (p/2)²，即可配成完全平方式 (x+p/2)²。 例 4 ｜ 配方法（二次项系数不为 1） 解方程：2x²+8x−1=0。 解： 第一步：两边同除以 2，得 x²+4x−1/2=0。 第二步：移项，得 x²+4x=1/2。 第三步：配方，两边同加 (4/2)²=4： x²+4x+4 = 1/2+4 = 9/2，即 (x+2)²=9/2 第四步：直接开平方，得 x+2 = ±√(9/2) = ±(3√2)/2 第五步：解得 x₁=−2+(3√2)/2，x₂=−2−(3√2)/2 例 5 ｜ 配方法的综合应用 用配方法说明：不论 x 取何实数，代数式 x²+6x+10 的值恒为正。 解： 对 x²+6x+10 配方： x²+6x+10 = (x²+6x+9)+1 = (x+3)²+1 因为 (x+3)²≥0 对任意实数 x 恒成立，所以 (x+3)²+1 ≥ 1 > 0 因此，不论 x 取何实数，x²+6x+10 的值恒为正。 SECTION 07 课堂练习 7.1 选择题 1. 方程 (x+2)²=9 的解是（　　） A. x=1　　B. x=1 或 x=−5　　C. x=−1 或 x=5　　D. x=7 2. 用配方法解方程 x²−6x+5=0，配方正确的是（　　） A. (x−3)²=4　　B. (x−3)²=14　　C. (x+3)²=4　　D. (x−6)²=31 3. 将 x²+8x 配成完全平方式，应加上（　　） A. 4　　B. 8　　C. 16　　D. 64 7.2 填空题 4. 方程 x²−25=0 的解为 x=______。 5. 用配方法解方程 x²+10x+9=0，配方后得到 ______=0，解得 x₁=______，x₂=______。 6. 若 x²+4x+m=(x+n)²，则 m=______，n=______。 7.3 解答题 7. 用直接开平方法解下列方程： （1）x²=16　　（2）(x−1)²=4　　（3）(2x+1)²=9 8. 用配方法解下列方程： （1）x²−8x+7=0　　（2）x²+6x−1=0　　（3）3x²−6x−2=0 SECTION 08 课堂小结 8.1 核心知识梳理 知识模块 核心内容 直接开平方法 适用于 x²=a (a≥0) 或 (x+m)²=n (n≥0)；直接开平方求解 配方法 通过加一次项系数一半的平方，将方程化为 (x+m)²=n 的形式再求解 降次思想 二次方程→完全平方式→一次方程，是配方法的核心思想 配方关键 x²+px+(p/2)²=(x+p/2)²；两边同时加，保持等式 8.2 易错点口诀 记忆口诀 · MNEMONIC "一化系数二次清，二移常数到右停；三加半方配完全，四开平方两根生。系数为负莫慌张，一半平方照样上；两边同加保等式，右边为负无实根，右边为零二重根。" 8.3 易错点提示 1. 配方时必须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不能只加一边。 2. 一次项系数为负时，一半的平方仍为正。如 x²−6x 配方应加 (−3)²=9，不是 (3)²=9（结果相同但思路不同）。 3. 二次项系数不为 1 时，必须先除以二次项系数化为 1，再配方。 4. 配方后右边为负数（n<0）时，方程无实数根，不能强行开方；右边为 0 时，方程有两个相等的实数根（二重根）。 SECTION 09 课后作业 9.1 必做题 1. 用直接开平方法解方程：(x+5)²=16。 2. 用配方法解方程：x²−12x+11=0。 3. 用配方法解方程：x²+4x−6=0。 4. 用配方法解方程：2x²−4x−1=0。 5. 用配方法说明：x²−8x+17 的值恒为正。 6. 已知方程 x²+mx+9=(x+n)²，求 m 和 n 的值。 9.2 拓展探究 7. （★ 拓展提升）用配方法解方程：ax²+bx+c=0 (a≠0)，并写出推导过程。 8. （★ 拓展提升）已知不论 x 取何实数，x²−4mx+4m²+n 的值都不小于 n，请用配方法说明理由。 SECTION 10 参考答案与解析 课堂练习答案 1. 【答案】B。解析：x+2=±√9=±3，x=−2±3，x₁=1，x₂=−5。 2. 【答案】A。解析：x²−6x+5=0→x²−6x=−5→x²−6x+9=4→(x−3)²=4。 3. 【答案】C。解析：一次项系数 8 的一半为 4，平方为 4²=16。 4. 【答案】x=±5。解析：x²=25，x=±√25=±5。 5. 【答案】(x+5)²=16；x₁=−1；x₂=−9。解析：x²+10x+9=0→x²+10x=−9→x²+10x+25=16→(x+5)²=16→x+5=±4。 6. 【答案】m=4，n=2。解析：x²+4x+m=(x+n)²=x²+2nx+n²，比较得 2n=4→n=2，m=n²=4。 7. （1）x²=16→x=±4。（2）(x−1)²=4→x−1=±2→x₁=3，x₂=−1。（3）(2x+1)²=9→2x+1=±3→x₁=1，x₂=−2。 8. （1）x²−8x+7=0→x²−8x=−7→(x−4)²=9→x₁=7，x₂=1。 （2）x²+6x−1=0→x²+6x=1→(x+3)²=10→x₁=−3+√10，x₂=−3−√10。 （3）3x²−6x−2=0→x²−2x=2/3→(x−1)²=5/3→x₁=1+(√15)/3，x₂=1−(√15)/3。 课后作业答案 1. (x+5)²=16→x+5=±4→x₁=−1，x₂=−9。 2. x²−12x+11=0→x²−12x=−11→(x−6)²=25→x₁=11，x₂=1。 3. x²+4x−6=0→x²+4x=6→(x+2)²=10→x₁=−2+√10，x₂=−2−√10。 4. 2x²−4x−1=0→x²−2x=1/2→(x−1)²=3/2→x₁=1+(√6)/2，x₂=1−(√6)/2。 5. x²−8x+17=(x²−8x+16)+1=(x−4)²+1≥1>0，恒为正。 6. x²+mx+9=(x+n)²=x²+2nx+n²，比较得 2n=m，n²=9→n=±3。当 n=3 时 m=6；当 n=−3 时 m=−6。 7. 推导过程如下： ① 两边同除以 a（a≠0）：x²+(b/a)x+c/a=0； ② 移项：x²+(b/a)x=−c/a； ③ 配方，两边加 (b/2a)²：x²+(b/a)x+(b/2a)²=−c/a+(b/2a)²； ④ 左边写成完全平方式：(x+b/2a)² = −c/a+b²/4a² = (b²−4ac)/4a²； ⑤ 当 b²−4ac≥0 时，直接开平方：x+b/2a = ±√(b²−4ac)/2a； ⑥ 解得：x = (−b±√(b²−4ac))/2a。 8. x²−4mx+4m²+n=(x−2m)²+n≥n，因为 (x−2m)²≥0 恒成立，所以该式不小于 n。 九年级数学 · 第二课时 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $