25.2.2-降次配方法-（第2课时）讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册 第二课时讲义 降次——配方法 第二十一章 · 一元二次方程 · 第 2 课时   LECTURE NOTES 本课时从直接开平方法出发，引导学生探究一元二次方程的一般解法——配方法。 通过“降次”思想将二次方程转化为一次方程，掌握配方法的步骤与技巧， 为后续学习公式法、因式分解法及二次函数等内容奠定基础。   适用对象 九年级师生 学科 数 学 版本 人 教 版

SECTION 01

课程导入与学习目标

  1.1 课时地位与作用

本课时是人教版九年级数学上册第二十一章“一元二次方程”的第 2 课时，核心内容是“降次”思想与配方法。在上一课时中，我们学习了一元二次方程的概念和一般形式；本课时开始，我们将系统探究一元二次方程的解法。配方法是一元二次方程最基本、最通用的解法，它不仅是直接开平方法的自然延伸，更是后续推导求根公式（公式法）的核心工具。

“降次”是本课时的核心数学思想——将二次方程通过配方转化为完全平方式，再利用直接开平方转化为一元一次方程求解。这种“高次→低次”的转化策略，在数学学习中具有普遍意义：高中阶段解高次方程、求函数零点等，都离不开降次思想。因此，配方法的学习不仅是为了解方程，更是培养数学转化能力的关键载体。

  1.2 本课时学习目标

本课时核心内容是配方法，具体学习目标如下：

 

  1.3 教学重难点

重点 · KEY POINT 配方法的一般步骤；运用配方法解一元二次方程。

 

难点 · DIFFICULTY 理解“配方”的本质——为什么要加一次项系数一半的平方；配方过程中的符号处理与运算技巧。

 

SECTION 02

情境引入

上节课我们列出了方程 x²−75x+350=0 和 x²+x−20=0，但还不会解。今天我们就来探究如何“降次”求解。先从一个简单的问题开始。

  问题一 · 面积问题

一个正方形的面积为 9，求它的边长。

设边长为 x，则 x²=9。由平方根的定义，x=±3。因为边长为正，所以 x=3。

观察 · OBSERVE 对于形如 x²=a 的方程，可以直接利用平方根的定义求解。这就是“直接开平方法”。

 

SECTION 03

直接开平方法

  3.1 方法定义

◆ 直接开平方法 对于形如 x²=a (a≥0) 或 (x+m)²=n (n≥0) 的方程，可以直接利用平方根的定义求解，这种方法叫做直接开平方法。

 

  3.2 解法原理

根据平方根的定义：

（1）若 x²=a (a>0)，则 x=±√a，即 x₁=√a，x₂=−√a。

（2）若 (x+m)²=n (n>0)，则 x+m=±√n，即 x₁=−m+√n，x₂=−m−√n。

（3）当 a=0 时，x²=0 有唯一解 x=0（二重根）；当 a<0 时，x²=a 无实数解。