25.2.2 解一元二次方程的方法：公式法（讲义）2026-2027学年人教版九年级上册数学

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式与公式法这一核心知识点，先系统梳理判别式的概念、符号表示及理解要点，再阐述公式法的定义与应用条件，形成从判断根的情况到用公式求解的递进式学习支架。 资料通过典例剖析分题型设计，含思路点拨、规范解答及方法总结，培养学生推理能力（数学思维）和规范表达（数学语言）。课后作业分层设置，课中助教师引导学生逻辑推理，课后助学生强化练习，查漏补缺，提升知识应用能力。

25.2.2 公式法 讲义新知精讲 1.1 知识点1：一元二次方程根的判别式 【概念定义】 对于一元二次方程 （），式子 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 【符号表示/公式表达】 一元二次方程 （）的根的情况由 的符号决定： - 当 时，方程有两个不相等的实数根； - 当 时，方程有两个相等的实数根； - 当 时，方程没有实数根。 【理解要点】 1. 使用判别式前，必须先把方程化为一般形式 （），才能准确确定 、、 的值。 2. 、、 均包含前面的符号，例如方程 中 ，，。 3. 当题目只要求判断根的情况而不需要求根时，优先计算判别式，可避免复杂的求根运算。 1.2 知识点2：公式法解一元二次方程 【概念定义】 对于一元二次方程 （），当判别式 时，方程的实数根可以用求根公式直接求出： 这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 【理解要点】 1. 公式法适用于所有一元二次方程，尤其是不易因式分解或配方法较繁琐的方程。 2. 代入公式前，必须先把方程化为一般形式，并正确写出 、、 的值（含符号）。 3. 只有 时才能使用求根公式；若 ，方程没有实数根。 典例剖析 题型一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例1 下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 四个选项都是一元二次方程，要判断哪一个有两个不相等的实数根，只需分别计算各方程的判别式 ，看哪一个满足 即可。 【规范解答】 对于一元二次方程 （），当 时，方程有两个不相等的实数根。 A. 方程 中，，，，，方程没有实数根； B. 方程 中，，，，，方程没有实数根； C. 方程 中，，，，，方程有两个相等的实数根； D. 方程 中，，，，，方程有两个不相等的实数根。 故选：D。 【方法总结】 第1步：把方程化为一般形式 （）； 第2步：准确确定 、、 的值； 第3步：计算 ； 第4步：根据 的符号判断根的情况： 两不等， 两相等， 无实根。 【变式训练1】 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. 中，，没有实数根； B. 中，，有两个相等的实数根； C. 中，，有两个不相等的实数根； D. 中，，有两个不相等的实数根。 故选 B。 题型二：根据一元二次方程根的情况求参数 例2 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 方程有两个相等的实数根，说明判别式 。把 、、 代入 ，解关于 的方程即可。 【规范解答】 对于一元二次方程 （），当 时，方程有两个相等的实数根。 方程 中，，，。 由题意得 ， 解得 。 故选：C。 【方法总结】 第1步：根据根的情况确定判别式应满足的条件（如两相等根 、两不等根 、有实根 ）； 第2步：把方程化为一般形式，写出 、、（含参数）； 第3步：计算 并列出关于参数的方程或不等式； 第4步：求解并检验是否满足一元二次方程的前提（二次项系数不为 ）。 【变式训练2】 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程 中，，，。 因为方程有两个不相等的实数根，所以 ， 即 ，解得 。 故选 C。 题型三：用公式法解一元二次方程 例3 解方程：（用公式法） 【思路点拨】 方程已是一般形式，可直接确定 、、，然后计算判别式 ，判断有实数根后，代入求根公式 即可。 【规范解答】 方程 中，，，。 计算判别式：， 所以方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式： 即 ，。 【方法总结】 第1步：把方程化为一般形式 （）； 第2步：确定 、、 的值（注意符号）； 第3步：计算 ，判断根的情况； 第4步：当 时，代入求根公式 写出方程的根。 【变式训练3】 用公式法解方程：。 【答案】， 【解析】原方程整理为 ，其中 ，，。 ， ， 所以 ，。 课后作业 A组 基础巩固 1. 下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2. 一元二次方程 根的情况为（    ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 3. 若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 用公式法解一元二次方程 时， 的值为（   ） A． B． C． D． 5. 用公式法解方程 时，，， 的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6. 一元二次方程 的根是___________． B组 能力提升 1. 关于 的方程 ，无论实数 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为______． 2. 若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 3. 已知关于 的方程 ． (1) 求证：无论 取何值，此方程总有实数根； (2) 若一元二次方程 满足 ，求 的值． 4. 若代数式 与 的值互为相反数，求 的值． 附：课后作业参考答案与解析 A组 基础巩固 1. 答案：D 解析： 对于一元二次方程 （），当 时没有实数根。 - A. 中，，，，，有两个不相等的实数根； - B. 中，，，，，有两个不相等的实数根； - C. 中，，，，，有两个不相等的实数根； - D. 中，，，，，没有实数根。 2. 答案：A 解析： 方程 中，，，， ，所以该一元二次方程没有实数根。 3. 答案：C 解析： 方程 中，，，。 因为方程有两个实数根，所以 ，即 ，解得 。 4. 答案：C 解析： 方程 化为一般形式为 ，其中 ，，， 。 5. 答案：B 解析： 方程 移项得 ，所以 ，，。 6. 答案： ， 解析： 方程 中，，，， ， ， 所以 ，。 B组 能力提升 1. 答案： 解析： 原方程整理得 ， ，，， 。 因为方程总有两个不相等的实数根，所以 。 又因为 ，所以 ，解得 。 2. 答案：A 解析： 当 ，即 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 ，即 时，方程是一元二次方程，有实数根需满足 ，即 ，解得 。 综上所述，。 3. 答案： (1) 见解析；(2) 或 解析： (1) 当 ，即 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 ，即 时，，方程有两个实数根。 所以无论 取何值，方程总有实数根。 (2) 由求根公式得 ， 所以 ，。 由 得 。 当 时，解得 ； 当 时，解得 。 经检验， 和 都是原方程的解。 4. 答案： ， 解析： 因为 与 互为相反数， 所以 ，整理得 。 ，，，， ， 所以 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $