21.2.2-配方法--（第2课时）讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“配方法”核心知识点，从完全平方式回顾切入，系统梳理配方法步骤，涵盖二次项系数为1与不为1的方程求解、求根公式推导、二次式最值计算及代数式恒正/恒负性证明，构建递进式学习支架。 资料通过步骤表格化梳理、分考点例题解析、易错点对比辨析及口诀归纳，助力学生在推导求根公式中培养推理意识，在求最值实例中强化应用意识。课中辅助教师高效授课，课后练习与解析帮助学生巩固知识，查漏补缺。

人教版九年级数学上册 · 第二十一章 一元二次方程 人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 第 3 课时 配方法 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 初三数学同步讲义 · 暑期预习衔接 ▎一、学习目标 1. 理解配方法的意义，掌握配方法的基本步骤。 2. 能熟练运用配方法解一元二次方程（二次项系数为 1 和不为 1 的情形）。 3. 能用配方法推导一元二次方程的求根公式。 4. 能运用配方法求二次式的最大值或最小值。 5. 能运用配方法证明某些代数式的恒正性或恒负性。 ▎二、知识梳理 ◆ （一）完全平方式的回顾 配方法的基础是完全平方公式。我们回顾一下： 反过来： 在配方法中，最常用的是关于 x 的完全平方式： 💡 配方的关键 对于 x² + bx，要配上一个常数项，使其成为完全平方式。 配的常数项是：一次项系数一半的平方。 即 x² + bx 配上 (b/2)² 后，得 x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)² ◆ （二）配方法的步骤 用配方法解一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一般步骤： 步骤 操作 说明 第1步 二次项系数化为1 两边同除以 a（注意 a ≠ 0） 第2步 移项 将常数项移到等号右边 第3步 配方 两边同加上一次项系数一半的平方 第4步 开平方 将方程写成 (x + m)² = n 的形式后开方 第5步 求解 解两个一元一次方程，写出根 ◆ （三）配方过程详解 以解方程 x² + 6x - 7 = 0 为例，展示完整的配方过程： 第1步：二次项系数已为1，跳过。 第2步：移项，把常数项移到右边： 第3步：配方。一次项系数为6，一半为3，平方为9。两边同加9： 左边化为完全平方式： 第4步：开平方： 第5步：求解：x + 3 = 4 得 x = 1；x + 3 = -4 得 x = -7。 所以 x₁ = 1，x₂ = -7。 ▎三、用配方法推导求根公式 配方法是解一元二次方程的通用方法。下面用配方法解一般形式的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)，推导求根公式。 第1步：二次项系数化为1，两边同除以 a： 第2步：移项，常数项移到右边： 第3步：配方。一次项系数为 b/a，一半为 b/(2a)，平方为 b²/(4a²)。两边同加： 左边化为完全平方式，右边通分： 第4步：开平方（当 b²-4ac ≥ 0 时）： 第5步：求解，移项得： 💡 求根公式 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式为： 其中 b² - 4ac 称为判别式，记作 Δ = b² - 4ac。 当 Δ > 0 时，方程有两个不等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根。 ▎四、考点精讲 ◆ 考点1：二次项系数为1的配方解方程 例1 解方程 x² + 8x - 9 = 0 【解析】 第1步：移项 x² + 8x = 9 第2步：配方。一次项系数为 8，一半为 4，平方为 16。两边同加 16： 第3步：开平方 x + 4 = 第4步：求解。x + 4 = 5 得 x = 1；x + 4 = -5 得 x = -9。 所以 x₁ = 1，x₂ = -9。 例2 解方程 x² - 10x + 21 = 0 【解析】 第1步：移项 x² - 10x = -21 第2步：配方。一次项系数为 -10，一半为 -5，平方为 25。两边同加 25： 第3步：开平方 x - 5 = 第4步：求解。x - 5 = 2 得 x = 7；x - 5 = -2 得 x = 3。 所以 x₁ = 7，x₂ = 3。 ◆ 考点2：二次项系数不为1的配方解方程 当二次项系数不为 1 时，先两边同除以二次项系数，将其化为 1，再进行配方。 例3 解方程 2x² + 4x - 1 = 0 【解析】 第1步：两边除以 2： 第2步：移项： 第3步：配方。一次项系数为 2，一半为 1，平方为 1。两边同加 1： 第4步：开平方： 第5步：求解： 所以 x₁ = ，x₂ = 。 例4 解方程 3x² - 6x - 2 = 0 【解析】 第1步：两边除以 3： 第2步：移项： 第3步：配方。一次项系数为 -2，一半为 -1，平方为 1。两边同加 1： 第4步：开平方： 第5步：求解： 所以 x₁ = ，x₂ = 。 ◆ 考点3：配方后无实数根的情况 例5 解方程 x² + 2x + 5 = 0 【解析】 第1步：移项 x² + 2x = -5 第2步：配方。一次项系数为 2，一半为 1，平方为 1。两边同加 1： 第3步：因为右边 -4 < 0，而 (x+1)² ≥ 0，所以方程无实数根。 ⚠ 配方后判断根的情况 配方后方程变为 (x + m)² = n 的形式： ① n > 0 → 两个不等的实数根 ② n = 0 → 两个相等的实数根 ③ n < 0 → 无实数根 ◆ 考点4：用配方法求二次式的最值 通过配方，可以将二次式化为 a(x + m)² + n 的形式，从而求出最大值或最小值。 例6 求代数式 x² - 4x + 7 的最小值。 【解析】 配方： 因为 (x - 2)² ≥ 0，所以 (x - 2)² + 3 ≥ 3。 当 x = 2 时，(x - 2)² = 0，代数式取最小值 3。 所以 x² - 4x + 7 的最小值为 3，此时 x = 2。 例7 求代数式 -2x² + 8x - 5 的最大值。 【解析】 先提取 -2： 配方（括号内加 4）： 因为 (x - 2)² ≥ 0，所以 -2(x - 2)² ≤ 0，从而 -2(x - 2)² + 3 ≤ 3。 当 x = 2 时，-2(x - 2)² = 0，代数式取最大值 3。 所以 -2x² + 8x - 5 的最大值为 3，此时 x = 2。 💡 求最值的配方技巧 ① 二次项系数为正（a > 0）→ 有最小值 ② 二次项系数为负（a < 0）→ 有最大值 ③ 配方后化为 a(x + m)² + n 的形式 当 a > 0 时，最小值为 n（当 x = -m 时取到） 当 a < 0 时，最大值为 n（当 x = -m 时取到） ◆ 考点5：用配方法证明不等式 例8 证明：无论 x 取何值，代数式 x² + 6x + 10 的值恒为正数。 【证明】 配方： 因为对任意实数 x，(x + 3)² ≥ 0，所以 (x + 3)² + 1 ≥ 1 > 0。 所以无论 x 取何值，x² + 6x + 10 > 0 恒成立。 例9 证明：无论 x 取何值，代数式 -x² + 4x - 5 的值恒为负数。 【证明】 配方： 因为对任意实数 x，(x - 2)² ≥ 0，所以 -(x - 2)² ≤ 0，从而 -(x - 2)² - 1 ≤ -1 < 0。 所以无论 x 取何值，-x² + 4x - 5 < 0 恒成立。 ▎五、易错点辨析 ◆ 易错点1：配方时常数加错 ⚠ 【误区】 解方程 x² + 6x - 7 = 0 时， 移项 x² + 6x = 7， 配方时只在左边加 (6/2)² = 9，右边不加： x² + 6x + 9 = 7 ← 错误！ ✓ 【正解】 配方时两边必须同时加上相同的常数： x² + 6x = 7 x² + 6x + 9 = 7 + 9 = 16 (x + 3)² = 16 口诀：配方两边同加减，等号不变是关键。 ◆ 易错点2：一次项系数带符号时配方出错 ⚠ 【误区】 解方程 x² - 8x + 15 = 0 时， 一次项系数是 -8，配方时常数加 (-8/2)² = 16， 但写成 (x + 4)² ← 符号错误！ ✓ 【正解】 一次项系数为 -8，一半为 -4， x² - 8x + 16 = (x - 4)² 配方结果中括号内的符号与一次项系数的符号一致。 口诀：一次系数正负号，配方括号同号。 ◆ 易错点3：二次项系数不为1时忘记先除以系数 ⚠ 【误区】 解方程 2x² + 4x - 1 = 0 时， 直接配方：一次项系数 4 的一半为 2，加 2² = 4 2x² + 4x + 4 = 1 ← 错误！这不是完全平方式。 ✓ 【正解】 必须先将二次项系数化为 1： 两边除以 2：x² + 2x - 1/2 = 0 移项：x² + 2x = 1/2 配方：x² + 2x + 1 = 1/2 + 1 = 3/2 (x + 1)² = 3/2 ◆ 易错点4：求最值时配方化简错误 ⚠ 【误区】 求 -2x² + 8x - 5 的最大值时， 配方写成 -2(x² - 4x + 4) - 5 = -2(x-2)² - 5 ← 错误！ 提取 -2 后，括号内多减了 4，需要补回。 ✓ 【正解】 -2x² + 8x - 5 = -2(x² - 4x) - 5 = -2(x² - 4x + 4 - 4) - 5 = -2(x - 2)² + 8 - 5 = -2(x - 2)² + 3 最大值为 3（当 x = 2 时取到）。 关键：提取系数后，括号内加减的值要乘以系数补回。 ▎六、方法归纳 💡 配方法解题口诀 一除：二次项系数化为1（两边同除以a） 二移：常数项移到等号右边 三配：两边同加一次项系数一半的平方 四开：写成 (x+m)² = n 后开平方（n ≥ 0 时） 五解：解两个一元一次方程 六判：n > 0 两根，n = 0 等根，n < 0 无根 💡 配方法的三大应用 1. 解方程：将一元二次方程化为 (x+m)² = n 的形式求解 2. 求最值：将二次式化为 a(x+m)² + n，a>0有最小值n，a<0有最大值n 3. 证不等式：配方后利用完全平方式非负性证明 ▎七、随堂练习 ◆ （一）选择题 1. 将 x² + 6x - 3 = 0 配方后，正确的形式是（ ） A. (x+3)² = 6　　B. (x+3)² = 12　　C. (x-3)² = 12　　D. (x+3)² = 3 2. 方程 x² - 8x + 15 = 0 配方后为（ ） A. (x-4)² = 1　　B. (x-4)² = 31　　C. (x+4)² = 1　　D. (x-4)² = -1 3. 用配方法解方程 x² + 2x - 4 = 0，配方后得（ ） A. (x+1)² = 3　　B. (x+1)² = 5　　C. (x-1)² = 3　　D. (x+1)² = -3 4. 代数式 x² - 6x + 10 的最小值是（ ） A. 1　　B. -10　　C. 10　　D. -1 5. 用配方法解方程 2x² - 4x - 1 = 0，配方后正确的是（ ） A. (x-1)² = 3/2　　B. (x+1)² = 3/2　　C. (x-1)² = 1/2　　D. 2(x-1)² = 3 6. 无论 x 取何值，代数式 -x² + 2x - 3 的值（ ） A. 恒为正　　B. 恒为负　　C. 恒等于 0　　D. 无法确定 ◆ （二）填空题 7. x² + 12x + ____ = (x + 6)²，横线上应填 ____。 8. 配方：x² - 5x + ____ = (x - ____)²，横线上分别填 ____ 和 ____。 9. 代数式 x² + 4x + 5 的最小值是 ____，此时 x = ____。 10. 用配方法解方程 x² + 3x - 1 = 0，配方后得 (x + ____)² = ____。 11. 若 x² + 6x + m = (x + n)²，则 m = ____，n = ____。 12. 代数式 -3x² + 12x - 10 的最大值是 ____，此时 x = ____。 ◆ （三）解答题 13. 用配方法解下列方程： （1）x² + 8x - 9 = 0 （2）x² - 6x + 4 = 0 （3）3x² + 6x - 1 = 0 （4）2x² - 5x + 1 = 0 14. 用配方法求下列代数式的最值： （1）求 x² - 8x + 17 的最小值； （2）求 -3x² + 6x - 1 的最大值。 15. 证明： （1）无论 x 取何值，x² + 6x + 10 > 0 恒成立； （2）无论 x 取何值，-x² + 4x - 5 < 0 恒成立。 ▎八、答案与解析 ◆ （一）选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B A A B 【解析】 1. B。x²+6x=3，加9：(x+3)²=3+9=12。 2. A。x²-8x=-15，加16：(x-4)²=-15+16=1。 3. B。x²+2x=4，加1：(x+1)²=4+1=5。 4. A。x²-6x+10=(x-3)²+1，最小值1。 5. A。除以2：x²-2x=1/2，加1：(x-1)²=1/2+1=3/2。 6. B。-x²+2x-3=-(x-1)²-2≤-2<0，恒为负。 ◆ （二）填空题答案 7. 36。解析：(6/2)²... 修正：一次项系数12，一半为6，平方为36。 8. 25/4；5/2。解析：一次项系数-5，一半为-5/2，平方为25/4。 9. 最小值为1，此时 x = -2。解析：x²+4x+5=(x+2)²+1。 10. 3/2；13/4。解析：一次项系数3，一半为3/2，平方为9/4。移项x²+3x=1，加9/4：(x+3/2)²=1+9/4=13/4。 11. m = 9，n = 3。解析：(x+3)²=x²+6x+9，所以m=9，n=3。 12. 最大值为2，此时 x = 2。解析：-3x²+12x-10=-3(x-2)²+2。 ◆ （三）解答题答案 13.【解答】 （1）移项：x² + 8x = 9 配方：加 (8/2)² = 16，x² + 8x + 16 = 9 + 16 = 25 x + 4 = ，x₁ = 1, x₂ = -9。 （2）移项：x² - 6x = -4 配方：加 (-6/2)² = 9，x² - 6x + 9 = -4 + 9 = 5 x - 3 = （3）两边除以3：x² + 2x = 1/3 配方：加1，x² + 2x + 1 = 1/3 + 1 = 4/3 x + 1 = （4）两边除以2：x² - (5/2)x =-1/2 等式两边同时加上 25/16： 左边化为完全平方式： 开平方： 所以方程的解为： 14.【解答】 （1）配方：x² - 8x + 17 = (x² - 8x + 16) + 1 = (x - 4)² + 1 因为 (x - 4)² ≥ 0，所以 (x - 4)² + 1 ≥ 1。 当 x = 4 时，最小值为 1。 （2）配方：-3x² + 6x - 1 = -3(x² - 2x) - 1 = -3(x² - 2x + 1 - 1) - 1 因为 (x - 1)² ≥ 0，所以 -3(x - 1)² ≤ 0，从而 -3(x - 1)² + 2 ≤ 2。 当 x = 1 时，最大值为 2。 15.【证明】 （1）配方：x² + 6x + 10 = (x² + 6x + 9) + 1 = (x + 3)² + 1 因为对任意实数 x，(x + 3)² ≥ 0，所以 (x + 3)² + 1 ≥ 1 > 0。 所以无论 x 取何值，x² + 6x + 10 > 0 恒成立。 （2）配方：-x² + 4x - 5 = -(x² - 4x + 5) = -(x² - 4x + 4 + 1) = -(x - 2)² - 1 因为对任意实数 x，(x - 2)² ≥ 0，所以 -(x - 2)² ≤ 0，从而 -(x - 2)² - 1 ≤ -1 < 0。 所以无论 x 取何值，-x² + 4x - 5 < 0 恒成立。 学科网（北京）股份有限公司 $