5.2一元一次方程的解法同步练习2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程解法，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一解题步骤到实际应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|移项、去括号、去分母等基本步骤|选择/填空题（1-5、11-13）直接考查单一解法，夯实运算能力| |提升|同解方程、含参问题、错误分析|解答题（18-21）结合方程解的应用与解题过程纠错，培养推理意识| |拓展|新定义运算、实际情境应用|解答题（22-23）引入"美好方程""和解方程"及纸盒制作问题，发展应用意识与创新意识|

· 5.2 一元一次方程的解法同步练习 · 2026-2027学年北师大版数学七年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解方程：，移项正确的是（     ） A． B． C． D． 2．解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 3．把方程中的分子、分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若 是关于 的方程 的解，则 的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0.5 5．已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（   ） A． B． C． D．5 6．如果和是同类项，那么m，n的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．若与互为相反数，则等于（    ） A．5 B． C．7 D． 8．新定义一种运算：．例如：．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．4 9．小南在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意，在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为．请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 10．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．一元一次方程的解为___________． 12．若与互为相反数，则的值为_______________． 13．方程的解是，则______． 14．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，输出的结果为5．若输出的结果是0，则输入的x为______． 15．方程：的解为 ___________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．解方程： (1)； (2)． 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 20．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为． (1)求a的值； (2)求原方程的解． 21．下面是小亮解方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 ______，得．第三步 合并同类项，得．第四步 方程两边都除以，得．第五步 填空： (1)以上求解步骤中，第三步变形的名称是______，其依据是______； (2)以上求解步骤中第______步开始出错，这一步错误的原因是______； (3)请直接写出该方程的正确解______． 22．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”，例如：的解为，且，则该方程是和解方程． 请根据上边规定解答下列问题： (1)判断是否为和解方程； (2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值． 23．综合实践 【材料阅读】汕头澄海被誉为“中国玩具礼品之都”，每年各个玩具生产厂家需要大量各式各类的包装盒．澄海某中学七年级学生到纸盒包装工厂开展“制作正方体纸盒”的实践活动，他们利用长为a，宽为b的长方形纸板设计并制作出正方体纸盒(纸板厚度及接缝处忽略不计)，有以下两种设计方案： 方案一：(设计无盖正方体纸盒)如图1，当时，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形纸板，再沿虚线折起来就可以做成一个棱长为m的无盖的正方体纸盒； 方案二：(设计有盖正方体纸盒)如图2，当时，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形纸板和两个同样大小的正方形纸板，剩余部分折起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体纸盒的棱长大小一样． 【问题解决】（1）根据方案一的操作，当时，无盖的正方体纸盒的体积为 ； （2）根据方案二的操作，请你在图2中画出一种符合要求的设计图； 【实际应用】（3）如图3，将一张长为，宽为的长方形纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折起来可以得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A C A B A D 11． 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故答案为：． 12．3 【分析】此题主要考查相反数的应用，根据相反数的性质得，求解即可，解题的关键是熟知相反数的性质． 【详解】解： 与 互为相反数， ， 解得：， 故答案为：3． 13．8 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：8． 14． 【分析】本题考查的是程序框图与方程的应用，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，开始输入x的值是4，输出的结果为5， ∴， 解得：， ∴， 当输出的结果是0时， ∴或， 当，解得：，不符合题意； 当，解得：，符合题意； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了方程的解，通过将方程拆项移项转化为，即可求得方程的解． 【详解】解：原方程转化为， ， 即， ∴． 故答案为：． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为得： （2）解： 方程两边同乘去分母得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为得： 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． (1)根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求出方程的解； (2)根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为求出方程的解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得:， 合并同类项得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 18． 【分析】本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 19．(1)不是“美好方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解每一个方程，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）先求解每一个方程，再根据“美好方程”的定义即可判断； 【详解】（1）解：不是“美好方程”，理由如下： 由，解得：， 由，解得：， ∵， ∴方程与方程不是“美好方程”； （2）解：由，解得：， 由，解得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：． 20．(1)1 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的错解问题． （1）根据“方程右边的忘记乘12”得到小明去分母后的方程，进而将代入求解即可； （2）得到正确的方程，进而根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得， ∵小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12， ∴小明去分母后的方程应为， ∵求出的解为， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴方程为， 两边乘12，得， 去括号得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为1得． 21．(1)移项；等式的基本性质； (2)二；去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项1相乘； (3)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）根据第三步中，等号左边的2到等号右边去了可知，这一步是移项，依据是等式的性质； （2）步骤中第二步开始出错，去括号时，等号左边括号外的和括号内的第二项1相乘计算错误； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤，进行解答即可． 【详解】（1）解：第三步变形的名称是移项，其依据是等式的基本性质（等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立）； 故答案为：移项；等式的基本性质； （2）解：以上求解步骤中第二步开始出错，这一步错误的原因是去括号时，等号左边括号外的没有和括号内的第二项1相乘； 故答案为：二；去括号时，等号左边括号外的和括号内的第二项1相乘计算错误； （3）解：正确求解过程： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边都除以，得． 故答案为：． 22．(1)是和解方程； (2)的值为． 【分析】（）根据新定义代入判断即可； （）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：是和解方程，理由： 由可得， ，解得：， ∴， ∴是和解方程； （2）解：根据题意得：， 又， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：， ∴的值为． 23．（1）64；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了正方体的展开图等知识，熟练掌握正方体展开图的特点，是解题的关键． （1）根据图形可以直观得出； （2）将左侧两个角减去两个长方形，右侧两个角减去两个正方形； （3）根据正方体的11种展开图中分为3类，横排至少4个面，得出正方体的棱长最大是，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴无盖的正方体纸盒的体积为； （2）如图2， （3）如图3， 因为正方体的11种展开图中分为3类，横排至少4个面， ∴正方体的棱长最大是， ∴表面积最大为：． 答案第4页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $