第2章 第13节 第2课时 利用导数研究不等式的恒(能)成立问题（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦导数研究不等式恒成立与能成立问题，以构造函数、分类讨论、导数分析单调性及最值为核心方法，形成从基础导数应用到复杂不等式求解的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立问题|3题（1、3、4）|构造辅助函数，求导分析单调性与最值，分类讨论参数范围|导数几何意义→单调性→极值/最值→不等式恒成立| |能成立问题|1题（2）|转化为函数存在最小值小于目标值，结合导数研究单调性|存在性问题→函数最值→参数范围|

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时冲关21利用导数研究不等式的恒成立（能）成立问题 学生用书P303 1.(2024:西安市质检)已知函数fx)=lnx,g)=x一1. 1)求函数y=x)的图像在x=1处的切线方程： (②)若不等式x)≤ag()对任意的x∈(1，十∞)均成立，求实数a的取值范围. 解：1)fx)=,f(1)=1. 又1)=0，所求切线的方程为y-1)=f(1)心-1)， 即为x-y-1=0. (2)易知对任意的x∈(1，+o∞)，fx)>0,gx)>0. ①当a≥1时，x)gw)≤agx); ②当a≤0时，fx)>0,ag(x)≤0， 不满足不等式x)≤g(w); ③当0KK1时，设p(x)=f)-agx)=nx-a(-1),则o'(x)=-ax>1), 令p'(x)=0,得x=, 当x变化时，o'w),(x)的变化情况如下表： o'(x) 0 00x) 0 极大值 0 ∴.p(x)ax=0>p(1)=0,不满足不等式 综上所述，实数a的取值范围为[1，+o), 2.(2024广东汕头联考)己知fx)=xex-x2一x十1，a≠0. (1)当a=1时，求x)的单调区间： (2)若3≥1，使fx)<成立，求参数a的取值范围. 解：1)当a=1时，w)=xe--x+1, 所以fw)=e+xe-x-1=(e-1)x+1).由f(x)>0,得x<-1或x>0;由f(x)< 0,得-1<x<0. 零学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以fx)的单调递减区间为(-1,0)，x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(0，+∞). (2)由题意，得fx)mn<(x≥1)， 因为fw)=(+1)(e-1),由()=0，解得x1=-,2=0. ①当a>0时，因为x≥1，所以f(x)>0,所以fx)单调递增，即fx)mm=1). 1)=e-<,即e&-a<0, 设g(a=e-a(a>0),g'(=e2-1>0. 所以g(admm>g(0)=e-0=1>0,即e>a恒成立，即g(a)>0,所以不等式e&-a<0无 解； ②当a<0时， 当x变化时，f(w),x)变化情况如下表： x (-∞，0) 0 f(x) 0 0 + Ax) 极大值 0 极小值 0 且f0)=1>0,由①知f1)>恒成立， 若3和≥1，使xo)<,则 所以 所以解得1-<a<0. 综上所述，参数a的取值范围为. 3.(2024唐山市模拟)函数x)=x21nx一1)， (1)求函数y=x)在点(1，f1)处的切线方程； (2)若m>0时，有mfx)十e≥0成立，求m的取值范围. 解：(1)f(x)=2x(nx-1)+x=2xnx-x, f(1)=-1,又f1)=-1, 所以在点(1,1)处的切线方程为x+y=0. (2)由于函数y=x)定义域为(0，+∞)， 零学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以m/w)+e≥0÷x2(lnx-1)+e≥0÷ x(lnx-1)≥-，令gx)=x(nx-1) 则g'w)=lnx,可得当x∈(0,1)时，g'x)<0,当x∈(1，+o)时，g'(x)>0, 所以g(x)mm=g(1)=-m, 令h(x)=-,则h'(x)=, 可得当x∈(0,1)时，h'(x)>0,当x∈(1，+o)时，h'(w)<0,所以h(x)mx=1)=- 因此，由-m≥-e得，≤e, 所以，m的取值范围为(0，e]. 4.(2024石家庄市模拟)己知函数fx)=2x一1)nx十a,其中(a∈R). I)当a=0时，求函数x)的单调区间； (2)若对于任意x>0,都有x)≤0恒成立，求a的取值范围. 解：1)当a=0时，x)=2c-1)lnx, f(x)=2lnx+=2nx-+2, .f(x)在(0，+o)上单调递增，又(1)=0， 当x∈(0,1)时，f(x)<0,当x∈(1，+∞)时，f(x)>0, x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，+o). (2)设g()=2x-1)lnx-(x>0),则g'(x)=2lnx-+3-2x+, g”(x)=+-2-= =-≤0， g'(x)在(0，+∞)上单调递减，又g'(1)=0, 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0, :gw)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， .gx)≤g(1)=0, 即2(x-1)nx≤在(0，+∞)上恒成立，当且仅当x=1时取等号， 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由(1)可知2(x-1)nx≥0，x2-x-1+≥0， 显然当x=1时，a取任何数都成立， 当x≠1时，<1，即->-1， .2(x-1)nx+0恒成立， .a≤-恒成立， .‘.a≤-1. 所以a的取值范围是(-oo,-1]. 4