课时规范练20 利用导数研究函数的极值、最值（Word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

课时规范练20　利用导数研究函数的极值、最值

(分值:66分)

 (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)

基础巩固练

1.(2025·上海浦东模拟)函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在区间[-2,2]上有最大值3,则f(x)在区间[-2,2]上的最小值为(　　)

A.-37 B.-5 C.1 D.5

2.(2025·重庆巴蜀中学模拟)若函数f(x)=(ax2+b)ex在x=1时有极小值-2e,则ab=(　　)

A.-2 B.-3 C.-e D.-1

3.函数f(x)=sin x-xcos x在[-]上的最小值为(　　)

A. B.-1 C. D.0

4.(2025·全国2,13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　.  

5.(2025·辽宁名校联盟一模)已知函数f(x)=xex-ax-bex+ab(a>0),若f(x)≥0,则的最大值为　　　　　.              

6.(15分)已知函数f(x)=e2x-(e2+1)ex+ax,a∈R.

(1)a=0时,曲线y=f(x)在x=0处的切线与x=x0(x0≠0)处的切线平行,求x0的值;

(2)若函数f(x)是增函数,求实数a的取值范围;

(3)若a=e2,求函数f(x)的单调区间与极值. 

综合提升练

7.(2025·安徽蚌埠模拟)设函数f(x)=x--3ln x,记f(x)的极小值点为x1,极大值点为x2,则f(x1)+f(x2)=(　　)

A.2 B.2ln 2 C.3ln 2 D.-3ln 2

8.(多选题)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则下列说法中正确的是(　　)

A.f(x)在R上有两个极值点 B.f(x)在x=-1处取得最小值

C.f(x)在x=2处取得极小值 D.函数f(x)在R上有三个不同的零点

9.(15分)(2025·全国2,18)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0<k<.

(1)证明:f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点;

(2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)的极值点和零点.

①设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t).证明:g(t)在区间(0,x1)单调递减;

②比较2x1与x2的大小,并证明你的结论. 

 

参考答案

课时规范练20　利用导数研究函数的极值、最值

1.A　解析 由已知得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),故当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,f(x)在区间[-2,0)上单调递增,当x∈(0,2]时,f'(x)≤0,f(x)在区间(0,2]上单调递减,故当x=0时,f(x)取得最大值f(0)=m=3,此时f(x)=2x3-6x2+3.当x∈[-2,0)时,f(x)≥f(-2)=-37,当x∈(0,2]时,f(x)≥f(2)=-5,故最小值为f(-2)=-37.故选A.

2.B　解析 f'(x)=(ax2+2ax+b)ex,因为f(x)在x=1时有极小值-2e,所以解得此时f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex,当x<-3或x>1时,f'(x)>0,当-3<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)在x=1时有极小值成立,因此a=1,b=-3,ab=-3.故选B.

3.B　解析 f'(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,所以f'(0)=0,且当x∈[-,0)时,f'(x)>0,x∈(0,]时,f'(x)>0,即f'(x)≥0在[-]上恒成立,所以f(x)在[-]上单调递增,因此f(x)在[-]上的最小值为f(-)=sin(-)-(-)·cos(-)=-1.故选B.

4.-4　解析 f'(x)=[(x-2)(x-1)(x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',又f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(0)=-4.

5.1　解析 f(x)=xex-ax-bex+ab=(x-b)ex-a(x-b)=(x-b)(ex-a),若f(x)≥0恒成立,则a=eb,那么,令g(a)=(a>0),g'(a)=,当a∈(0,1)时,g'(a)>0,g(a)单调递增,当a∈(1,+∞)时,g'(a)<0,g(a)单调递减,所以g(a)≤g(1)=1,即可得的最大值为1,当且仅当a=1时,等号成立.

6.解 (1)当a=0时,f(x)=e2x-(e2+1)ex,f'(x)=e2x-(e2+1)ex,

∴f'(0)=-e2=f'(x0)=-(e2+1),即-1)-e2(-1)=0,(-1)(-e2)=0,解得x0=2.