课时规范练19利用导数研究函数的单调性专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以导数与单调性关系为核心，通过典例分层构建“求导-分析-判断”系统方法，覆盖基础应用与综合迁移，培养逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|3个考点（不含参数、含参数、应用）|求导分析导函数符号、分类讨论参数、结合图象判断单调性|导数概念→单调性关系→基础应用→综合拓展| |素能综合练|12题（选择、填空、解答）|构造函数、恒成立问题转化、充要条件证明|单调性与函数性质、不等式、图象的综合关联|

课时规范练19　利用导数研究函数的单调性 典例对点练 考点一　求不含参数函数的单调区间 1.(2025·广东模拟改编)讨论函数h(x)=xln x-ex+1在区间(0,+∞)上的单调性. 考点二　讨论含参数函数的单调性 2.(2025·河南洛阳模拟改编)已知函数f(x)=ax+ln(x+1)(a∈R).讨论f(x)的单调性. 考点三　与导数有关的函数单调性的应用 3.(多选题)已知a>0,且a≠e,则函数f(x)=ex-aln x的图象可能是(　　) A. B. C. D. 素能综合练 4.(2025·贵州贵阳模拟预测)下列函数在(0,+∞)上是单调递增的函数是(　　) A.f(x)=x3-x+2 B.f(x)=ln|x-1| C.f(x)=-ex+sin x D.f(x)=x- 5.(2025·云南曲靖模拟)已知函数f(x)与g(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是(　　) A.g'(-1)<0<f'(-1) B.f'(-1)<0<g'(-1) C.g'(3)<f'(3) D.f'(3)<g'(3) 6.(2025·吉林长春期末)已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为(　　) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)∪(2,+∞) 7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 8.(2025·天壹名校联盟联考)函数f(x)=(x2-3x+a)(-b)(a∈R,b>e),若f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则ln a+2ln b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 9.(多选题)(2025·广东佛山模拟)若函数exf(x)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是(　　) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 10.(多选题)(2025·湖南郴州模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)的导数为f'(x),若f(1)=1,且f'(x)+>0,则下列式子中一定成立的是(　　) A.f()<3 B.f()>π C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)<log3e 11.(2025·鄂东南高三联考)已知f(x)=ex-sin x+cos x,a=f(log23),b=f(log34),c=f(log45),则下列选项正确的是(　　) A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b 12.(2025·贵州铜仁三模)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2+1,g(x)=sin x-ax.用max{m,n}表示m,n的最大值,记F(x)=max{f(x),g(x)}.若对任意x∈R,F(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0] B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 13.(2025·贵州黔东南三模)已知函数f(x)=ex-ax2-x,若对任意x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,不等式>a-1恒成立,则实数a的最大值为　　　　　.  14.(2024·河北石家庄模拟)函数f(x)=sin2x+x2的单调递增区间是　　　　　.  15.(2025·皖北联考)已知函数f(x)=x3-ax2,g(x)=(x-a)ex. (1)若f(1)=2,求曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程; (2)证明:“f(x)在区间[2,+∞)上单调递增”是“g(x)在区间[2,+∞)上单调递增”的充要条件. 参考答案 课时规范练19　利用导数研究函数的单调性 1.解 由于函数h(x)=xln x-ex+1, 令g(x)=h'(x)=ln x+1-ex(x>0),则g'(x)=-ex, 显然g'(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且g'()=2->0,g'(1)=1-e<0,故∃x0∈(,1),使g'(x0)==0,即ln x0=-x0,当x∈(0,x0)时,g'(x0)>0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,故h'(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,+∞)上单调递减.故h'(x)≤h'(x0)=ln x0+1-=-(x0+)+1≤-2+1=-1<0,当且仅当x0=,即x0=1时,等号成立,显然,等号不成立,故h'(x)<0,故h(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 2.解 由题意知f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=a+. 当a≥0时,f'(x)>0在区间(-1,+∞)上恒成立,所以f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增; 当a<0时,令f'(x)>0,得-1<x<-1-,令f'(x)<0,得x>-1-,所以f(x)在区间(-1,-1-)上单调递增,在区间(-1-,+∞)上单调递减. 综上,当a≥0时,f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间(-1,-1-)上单调递增,在区间(-1-,+∞)上单调递减. 3.BCD　解析 由f(x)=ex-aln x,求导可得f'(x)=,易知函数f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,令g(x)=xex,求导可得g'(x)=ex(1+x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0<a.易知∃x0∈(0,+∞),使得g(x0)=a,则x0=a,即f'(x0)=0,当0<x<x0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(0,x0)上单调递减;当x>x0时,f'(x)>0,则函数f(x)在区间(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(x0)=-aln x0,由x0=a,则f(x0)=(1-x0ln x0),当0<a<e,即0<x0<1时,f(x)≥f(x0)=(1-x0ln x0)>0,故A错误,B可能正确;当a>e,即x0>1时,令h(x)=1-xln x(x≥1),求导可得h'(x)=-ln x-1<0,则函数h(x)在区间[1,+∞)上单调递减. 由h(1)=1-0>0,h(2)=1-2ln 2<0,则存在x1∈(1,2),使得h(x1)=0,所以当x0>1时,此时f(x0)符号不定,故C,D可能正确.故选BCD. 4.D　解析 对于A,f'(x)=3x2-1<0,当0<x<时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以A不符合题意; 对于B,当x∈(0,1)时,t=|x-1|单调递减,y=ln t单调递增,所以当x∈(0,1)时,f(x)单调递减,B不符合题意; 对于C,f'(x)=-ex+cos x,当x∈(0,+∞)时,-ex<-1,又cos x≤1,所以cos x-ex<0,故f'(x)<0,f(x)单调递减,C不符合题意; 对于D,f'(x)=1+>0在(0,+∞)恒成立,f(x)单调递增,D符合题意.故选D. 5.D　解析 由题图可知,f(x)与g(x)在区间[-1,3]上单调递增,所以g'(-1)>0,f'(-1)>0.在区间[-1,3]上,g(x)的图象比f(x)的图象更陡峭,所以0<f'(-1)<g'(-1),f'(3)<g'(3).故选D. 6.A　解析 由f(x)的图象可得,当x∈(-∞,-1),(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-1,1)时,f'(x)<0.由xf'(x)>0得解得x>1,-1<x<0.综上,不等式xf'(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选A. 7.C　解析 由题意可知f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)内恒成立,即a≥在区间(1,2)内恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,则0<,即a≥e-1.故选C. 8.C　解析 令g(x)=-b(x>0),则g'(x)=,则当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 又g(1)=-b=e-b<0,当x→0+时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,故g(x)有两个零点x1∈(0,1),x2∈(1,+∞). 由f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则g(x)>0时,需x2-3x+a≥0,g(x)<0时,需x2-3x+a≤0.因为y=x2-3x+a在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,则当x1,x2为y=x2-3x+a与g(x)的公共零点时,有f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则有且有b=,则ln a+2ln b=ln(ab2)=ln(x1x2·)=ln =x1+x2=3. 故选C. 9.AB　解析 设g(x)=ex·f(x),对于A,g(x)=ex·2-x=()x在定义域R上是增函数,故A正确;对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确;对于C,g(x)=ex·3-x=()x在定义域R上是减函数,故C错误;对于D,g(x)=ex·cos x,则g'(x)=excos(x+),所以g'(x)>0在定义域R上不恒成立,故D错误.故选AB. 10.AC　解析 因为当x>0时,f'(x)+>0,令g(x)=f(x)-,可得g'(x)=f'(x)+>0,所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,g()<g(1),即f()-3<0,所以f()<3,故A正确;对于B,g()<g(1),即f()-π<0,所以f()<π,故B错误;对于C,g(log2e)>g(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,故C正确;对于D,g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e,故D错误.故选AC. 11.C　解析 f'(x)=ex-cos x-sin x=ex-sin(x+),当x>1时,ex>e>sin(x+)≤,所以f'(x)>0,故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增. (方法1)构造函数h(x)=(x>1),h'(x)=. 因为x>1,所以0<ln x<ln(x+1),0<, 所以h'(x)=<0,故函数h(x)==logx(x+1)在区间(1,+∞)上单调递减,所以log23>log34>log45>1,所以f(log23)>f(log34)>f(log45),所以a>b>c. (方法2)令a>b>0,m>0,则<0,所以. 故logab==loga+m(b+m),所以0<log32<log43<log54<1,即>1,即log23>log34>log45>1,即f(log23)>f(log34)>f(log45),所以a>b>c. (方法3)=1,所以log23>log34,=1,所以log34>log45,所以log23>log34>log45>1,所以f(log23)>f(log34)>f(log45),所以a>b>c. 12.D　解析 由于f(x)=(x-1)ex-x2+1,故f'(x)=x(ex-1),从而对x<0和x>0均有f'(x)>0.这表明f(x)在(-∞,0]和[0,+∞)上均单调递增,从而在R上单调递增.由于g(x)=sin x-ax,故g'(x)=cos x-a. ①若a≥1,则g'(x)=cos x-a≤cos x-1≤0,且等号至多对x=2kπ(k∈Z)成立,所以g(x)在R上单调递减. 这就意味着对x≥0,有f(x)≥f(0)=0,对x<0,有g(x)≥g(0)=0,从而始终有F(x)=max{f(x),g(x)}≥0成立,满足题意; ②若a<1,取t∈(0,),使得cos t>a,则对-t<x<0,有g'(x)=cos x-a>cos t-a>0,从而g(x)在[-t,0]上单调递增. 这就意味着有g(-t)<g(0)=0, 又f(t)<f(0)=0,所以当x∈[-t,0)时,F(x)=max{f(x),g(x)}<0,不满足题意.综上,实数a的取值范围为[1,+∞).故选D. 13.　解析 不妨令x1>x2≥0,依题意,∀x1,x2∈[0,+∞),x1>x2,>a-1⇔f(x1)-(a-1)x1>f(x2)-(a-1)x2. 令g(x)=f(x)-(a-1)x=ex-ax2-ax,则∀x1,x2∈[0,+∞),x1>x2,g(x1)>g(x2),函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,因此∀x∈[0,+∞),g'(x)=ex-a(2x+1)≥0⇔a≤恒成立. 令h(x)=,x≥0,求导得h'(x)=,当0≤x<时,h'(x)<0;当x>时,h'(x)>0,所以函数h(x)在[0,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,h(x)min=h()=, 所以a≤,所以实数a的最大值为. 14.(0,+∞)　解析 f'(x)=2sin xcos x+2x=sin 2x+2x,因为f'(0)=0,所以x=0是f'(x)的一个零点,令f'(x)=g(x),则g'(x)=2+2cos 2x≥0,即f'(x)单调递增,所以当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,故函数在区间(0,+∞)上单调递增. 15.(1)解 因为f(1)=2,所以1-a=2,得a=-1,则g(x)=(x+1)ex,g'(x)=(x+2)ex,则g(0)=1,g'(0)=2,所以曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1. (2)证明 若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则f'(x)=3x2-2ax≥0对x∈[2,+∞)恒成立,则a≤对x∈[2,+∞)恒成立,所以a≤×2=3,所以g'(x)=(x-a+1)ex≥0对x∈[2,+∞)恒成立,则g(x)在区间[2,+∞)上单调递增. 若g(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则g'(x)=(x-a+1)ex≥0对x∈[2,+∞)恒成立,则a≤x+1对x∈[2,+∞)恒成立,所以a≤2+1=3,所以f'(x)=x(3x-2a)≥0对x∈[2,+∞)恒成立,则f(x)在区间[2,+∞)上单调递增. 综上,“f(x)在区间[2,+∞)上单调递增”是“g(x)在区间[2,+∞)上单调递增”的充要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $