专题3-3 导数与函数的极值、最值（6重难点题型+高考真题）训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以导数为工具，系统构建极值与最值问题的解题方法体系，通过高考真题与模拟题结合，实现概念理解、方法迁移与综合应用的逻辑闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |极值与极值点|多题（含高考真题）|“原极导零”及符号检验法，“穿越轴”判断极值口诀|从导数零点与极值关系切入，构建“求导→找点→验号→定极值”推理链条| |由极值求参数|多题（含模拟题）|列方程（导数为零+极值条件）+根的合理性验证|结合极值概念逆向推导，强化参数问题的逻辑严谨性| |最值求解|多题（含解答题）|闭区间上极值与端点值比较法，含参分类讨论策略|以极值为基础，拓展至最值的完整求解路径，体现从特殊到一般的抽象能力| |综合应用|多题（含创新题型）|导数工具与函数性质（对称性、零点）融合应用|整合极值最值与函数图像、方程解等知识，培养数学建模与批判性思维|

重难点3-3 导数与函数的极值、最值 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、判断零点所在的区间 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 5．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【难度】0.38 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、零点存在性定理的应用 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 6．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据极值点求参数、求函数值、导数的运算法则 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 8．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 9．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【难度】0.32 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值点 【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解； （2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数； （3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数. 【详解】（1），则， ， 所以，， 又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点；综上所述：与交点个数为. 重难点题型1 求函数的极值与极值点 1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． 2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系、根据函数的单调性解不等式 【分析】对函数求导分析其单调区间与极值点，即可判断AC；通过因式分解得，即可判断B；通过计算即可判断D. 【详解】已知函数，则， 对于A，由得，当时，有或；当时，有， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，极大值为，极小值为，故A错误； 对于B，由于，所以当且仅当或，故B错误； 对于C，因为，所以，由在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，假设的图象关于对称，则有， 而，所以的图象关于对称，而不是对称，故D错误. 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】根据导数作出函数图象，数形结合依次判断即可. 【详解】对函数求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，，，， 所以函数大致图象如下： 由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ， 图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误. 3．（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】A 【难度】0.74 【知识点】求已知函数的极值 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 4．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 5．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数在处取得极大值，则_________． 【答案】3 【难度】0.75 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求导，根据题意可得，计算可得或3，代入结合题意验证可解. 【详解】求导可得， 由题意可得，即，解得或3， 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 函数在处取得极大值，符合题意； 综上，. 6．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）若函数的极小值点为，则的极小值为__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，根据极小值点求得参数的值，从而可求函数的极小值. 【详解】， 因为函数的极小值点为，故即， 故， 当或时，；当时， 故仅在处取得极小值，故的极小值为. 故答案为：. 重难点题型2 由函数的极值、极值点，求参数 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】根据极值点求参数、导数的运算法则、根据极值求参数 【分析】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 2．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 3．（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】根据极值点求参数 【详解】由，得， 因为函数在处有极大值，所以， 所以，解得或， 若，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，不符合题意， 若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 综上所述：c值为6. 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，当时，取得极小值0，则______. 【答案】1 【难度】0.72 【知识点】根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】根据极值的概念可得和，解出的值即可得结果. 【详解】由题知，， 解得，此时， 当时，，当，时，， 所以在时取极小值，符合题意， 所以，. 又，解得， 所以. 5．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 6．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知0不是函数（为常数）的极值点，则___________． 【答案】 【难度】0.6 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导，令并求导，根据题设有求参数值，注意验证是否满足题意，即可得. 【详解】由题设， 令， 因为0不是函数（为常数）的极值点， 故在的左侧附近，,在的右侧附近，. 故，所以， 此时， 当时，，，故，则， 当时，，，故，则， 满足0不是函数（为常数）的极值点， 综上，. 重难点题型3 求函数的最值（不含参数） 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 1．（2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 【答案】(1) (2) (3)将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证. 【难度】0.22 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据值域求参数的值或者范围 【分析】(1)代入后通过单调性求解. (2)通过单调性一步步对范围进行排除，最后确定的范围. (3)通过实根的性质构造新的关于的函数求证. 【详解】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， . （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， . ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立； ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉； ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求. （3）略 2．（2026·浙江·三模）已知函数． (1)当时，求函数的最值； (2)讨论方程解的个数； (3)若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 【答案】(1)最大值，无最小值． (2)当，方程有一个解；当，方程有三个解． (3)证明见解析 【难度】0.32 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对时的函数求导，根据导数符号判断单调性，进而得到函数的最值； （2）利用奇函数性质将方程解的问题转化为时的情况，构造辅助函数，通过导数分析其单调性，分和两种情况讨论零点个数，再结合奇函数对称性得到方程总解数； （3）由（2）的结论设方程的两个非零解，，将待证不等式转化为 ，利用方程解的条件消去参数，构造新函数并通过导数判断其符号，从而证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导可得 函数在单调递增，在单调递减． 函数有最大值，无最小值． （2）函数是奇函数，始终是方程的一个解． 不妨令， ，可化简为 构造函数， 求导可得 ， ，令 ，则， ①当 恒成立，因此在单调递增． 故在单调递增，故． 即方程在无解． 根据函数是奇函数可知在也无解. ②当，由，可得在单调递减，在单调递增． 由 可得，存在使． 当 单调递减；当 单调递增． ，函数在有一个零点． 即方程在有一个解． 根据函数是奇函数可知在有另一个根． 综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解． （3）由（2）可得此时，且． ． 即证： ． 因为是方程的解，代入可得． 消可得， 设， ， 函数在单调递增，所以 ． 又因为 ，所以 ， 即原不等式得证. 3．（2026·山东济南·三模）已知函数． (1)设函数，求的最小值； (2)对任意，都有，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.22 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）可知，，求导，利用导数分析单调性和最值； （2）参变分离可得，，令，，利用导数分析的单调性和最值，即可得结果； （3）参变分离可得对任意，与在内有且仅有1个交点，可知在内单调递增，求导，结合（1）中结论分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，，则， 可知在内单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为. （2）若，，可得， 原题意等价于在内恒成立， 令，，则， 令，，则， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，可知在内单调递增， 则，可得，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数k的取值范围为. （3）令，，则， 原题意等价于对任意，与在内有且仅有1个交点， 则在内的值域为，且为单调函数， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知在内单调递增， 则在内恒成立， 可得，即在内恒成立， 因为， 由（1）可知：当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，即， 所以实数m的取值范围为. 4．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2)的取值范围是 【难度】0.7 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值； （2）先确定是方程的一个根，将问题转化为时仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值域，确定参数范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 重难点题型4 求函数的最值（含有参数） 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 1．（2026·湖北黄冈·二模）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有三个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) (3) 【难度】0.21 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）对求导后分析导数符号即可得的单调性； （2）将的解析式变为，令，通过分析单调性得到使得，再利用得到，且可在处取得等号，从而最大值即为，也可以通过分析的单调性，得到其只有一个零点，进而得到在取得最大值并结合求出最大值表达式； （3）依题意有三个变号零点，从而得到有三个变号零点，首先判断出时是减函数，至多有一个零点，不合题意，再令，求得其极小值为，根据和分类讨论得到的符号变化，进而得到的单调性，最后分析的零点情况. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则. 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以当时，，即；当时，，即， 故在上单调递增，在上单调递减． （2）解法一：， 令，若，则在上单调递增， 又时，；当时，， 所以，使得，接下来证明一个不等式： 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值也即最小值， 所以恒成立，当且仅当时等号成立， 于是有（当且仅当时等号成立）， 所以，时等号成立，所以． 解法二：， 令， 若，则，在上递减， 又时，，， 所以在上存在唯一的()使得， 当时，，即，递增； 当时，，即，递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且有， 即，变形得. 设，则，在上递增， 又，所以，得， 故． （3）依题意有三个变号零点， 令，则有三个变号零点， . 若，，在上递减，至多有一个零点，不合题意； 因此，令， 则， 故当或时，，递增； 当或时，，递减， 在取得极小值，又，当时，， ①若，此时，即在上恒成立， 所以在上递减，至多有一个零点，不合题意； ②若，即，解得， 又，且，所以， 故在上有且只有两个零点，设为，如图所示， 当或时，，即，递减； 当时，，即，递增， 因为，所以，， ， 令，，则，在上递增， 所以，从而， ，由知， 设，，则， 所以在上递增，有，即， 又时，，时，，如图所示， 所以有三个变号零点， 综上，. 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（） (1)求在区间上的最大值． (2)设，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.43 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论导数的符号后结合单调性可求最大值； （2）利用虚设零点结合不等式恒成立可求导数零点的范围，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1），令，得 ①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 ②当，即时，恒成立， 此时在区间上单调递减 ， ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 的最大值为与中的较大者. 当时， ，  ， 当时，  ，， 当时，， 综上所述：当时，， 当时，. （2）由题意： 令， 因为在上单调递减， 故在上单调递减，而，， 所以存在唯一的，使得，即. 当时，，，单增， 当时，，，单减， ， 由题意， 令，则 又因为 在上为增函数，，，， 即，解得，， 所以的取值范围为. 3．（2026·四川·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)5. 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论求出函数单调区间. （2）由（1）求出的最小值，进而建立不等式，利用导数确定函数单调性求解不等式. 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 当时，，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，当时，， 由，得，整理得， 令，由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 而，则由，得，因此，解得，又， 所以的最小值为5. 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 时，在上单调递减； (3) 时，， 时，， 时，. 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 重难点题型5 由函数的最值，求参数 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 2．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【难度】0.47 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【详解】，. 令，得或. 由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ， 即，解得. 又，可取共5个. 3．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 4．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.57 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数、已知函数最值求参数 【分析】求得，得到的单调区间和极小值为，令，求得或，画出的大致图象，根据题意，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可得函数的极小值为， 令，即，可得，解得或， 函数的大致图象，如图所示， 要使得函数在区间上有最小值， 结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为. 重难点题型6 综合应用 1．（2026·河北保定·三模）已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】反函数的性质应用、判断指数函数的单调性、利用导数研究函数的零点、求指数函数解析式 【分析】首先根据指数函数定义、单调性条件排除错误选项A、B，再结合反函数性质，将原问题转化为有且仅有两个实数解的问题，继而构造函数，利用导数解决函数的零点个数问题，即可判断出答案. 【详解】选项A：且，都有， 则可说明为R上的单调递增函数，由于在R上单调递减，不符合题意，排除； 选项B：不是指数函数（指数函数要求指数为自变量、定义域为），且时函数单调递减，不满足条件①，排除； 选项CD中函数均为R上的单调递增函数， 由于互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故若的图象有交点，则交点必在直线上， 选项C：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 则无零点，即无实数解，不符合题意，C错误； 选项D：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 当时，，当时，， 则有两个零点，即有且仅有两个实数解，符合题意，D正确. 2．（2026·湖北恩施·二模）已知，若实数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、对数的运算 【分析】根据的情况分类讨论即可求解. 【详解】由题意，当时，，由， 所以，即，故当满足题意； 当时，由，所以，又， 所以，满足题意； 当时，， 即在恒成立，令， 所以，由，所以， 所以在单调递增，所以， 所以，所以， 综上所述. 3．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【难度】0.55 【知识点】函数奇偶性的应用、利用导数研究函数的零点 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 4．（2024·四川成都·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为__________（精确到0.1）． 【答案】3.3 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数新定义、导数的加减法 【分析】分别求出曲线的切线方程，由切线方程求与x轴的交点横坐标，循环求解即可. 【详解】由，得． 当时，，， 则过点的切线方程为， 令，得． 又，， 则过点的切线方程为， 令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3． 故答案为：3.3 5．（2026·重庆·模拟预测）（1）已知函数，求函数单调区间（为自然对数的底数）． （2）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）． （ⅰ）求的极值； （ⅱ）证明：当时，． 【答案】（1）减区间为，增区间为. （2）（ⅰ）极小值为0，无极大值. （ⅱ）证明：因为，，所以在点处的切线方程为， 即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 【难度】0.62 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）（ⅰ）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （ⅱ）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【详解】（1）的定义域为，， 令，解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为. （2）（ⅰ），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （ⅱ）略 6．（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.51 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点3-3 导数与函数的极值、最值 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 6．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 8．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 9．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 重难点题型1 求函数的极值与极值点 1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾． 2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 3．（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 4．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 5．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数在处取得极大值，则_________． 6．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）若函数的极小值点为，则的极小值为__________. 重难点题型2 由函数的极值、极值点，求参数 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性． 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 2．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，当时，取得极小值0，则______. 5．（2026·山东潍坊·一模）若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 6．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知0不是函数（为常数）的极值点，则___________． 重难点题型3 求函数的最值（不含参数） 求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值． 1．（2026·山东聊城·二模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 2．（2026·浙江·三模）已知函数． (1)当时，求函数的最值； (2)讨论方程解的个数； (3)若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 3．（2026·山东济南·三模）已知函数． (1)设函数，求的最小值； (2)对任意，都有，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m的取值范围． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 重难点题型4 求函数的最值（含有参数） 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 1．（2026·湖北黄冈·二模）设，． (1)若，讨论的单调性； (2)若，求的最大值（用表示）； (3)若有三个极值点，求的取值范围． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（） (1)求在区间上的最大值． (2)设，若恒成立，求的取值范围． 3．（2026·四川·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 重难点题型5 由函数的最值，求参数 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 4．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______． 重难点题型6 综合应用 1．（2026·河北保定·三模）已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北恩施·二模）已知，若实数满足恒成立，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 4．（2024·四川成都·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为__________（精确到0.1）． 5．（2026·重庆·模拟预测）（1）已知函数，求函数单调区间（为自然对数的底数）． （2）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）． （ⅰ）求的极值； （ⅱ）证明：当时，． 6．（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $