课时规范练17 函数模型及其应用（Word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过分层训练构建"问题情境-模型选择-参数求解-实际验证"的完整解题体系，强化数学建模与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|6题|分段函数建模、指数对数运算、幂函数应用|从具体情境（注水、电费）抽象函数关系，通过待定系数法确定模型参数| |综合提升|3题|复合函数分析、微分方程模型构建|结合生物、化学等跨学科背景，深化函数模型在动态变化问题中的综合应用|

课时规范练17　函数模型及其应用 (分值:56分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·广东揭阳模拟)向如图放置的空容器中匀速注水,直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是(　　) 　　 A. 　　　B. 　　　 C. 　　　D. 2.(2025·江西临川期末)近年来,人们对健康环境、生态环境的关注越来越高,因此,低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表: 生活用电实行分段计 电价 0~200 kW·h用电量 0.3元/kW·h 201~400 kW·h用电量 0.6元/kW·h 401 kW·h以上用电量 0.9元/kW·h 若某户居民本月缴纳的电费为150元,则此户居民本月的用电量为(　　) A.250 kW·h B.350 kW·h C.450 kW·h D.500 kW·h 3.(2025·福建漳州一模)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若在前5 h内消除了10%的污染物,则15 h后污染物含量还剩余(　　) A.70% B.85% C.81% D.72.9% 4.(2026·重庆沙坪坝高三月考)在物理学中音量大小用声强级η(单位:dB)表示,声强级η与声强I(单位:W/m2)的关系是η=10lg().已知声强为10-10 W/m2时对应的声强级为20 dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为[60,70](单位:dB),则学生早读期间读书的声强范围为(　　) A.[] B.[] C.[10-6,10-5] D.[10-5,10-4] 5.(多选题)(2025·河北衡水模拟)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,则下列选项正确的有(　　) A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为4 cm D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为3 cm 6.(2025·云南昆明模拟)某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值是　　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  综合提升练 7.(2025·广东佛山期末)表观活化能的概念最早是针对Arrhenius(阿伦尼乌斯)公式k=A中的参量Ea提出的,是通过实验数据求得,又叫实验活化能.Arrhenius公式中的k为反应速率常数,R为摩尔气体常量,T为热力学温度(单位为开尔文,简称开),A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当温度从300开上升到400开时,=　　　　　.(参考数据:ln 2≈0.7)  8.(2025·上海虹口模拟)著名人口学家假设:①人口数x(t)是随着时间t连续变化的函数;②人口增长率r为常数,且单位时间内的人口增长量x'(t)与x(t)成正比,进而建立了人口增长模型.之后的生物学家们发现由于人类生存条件的限制,r不是常数,因此改进了这位人口学家的假设②,并添加了1条假设:②r是随着时间t连续变化的函数,存在人口最大瞬时增长率r0,使r=r0-k·x(t)(k>0),且x'(t)仅与r和x(t)有关;③存在最大人口数N,当人口数达到N时,r=0.那么在这些假设下建立的人口增长模型x'(t)=　　　　　　　　　　.(用含有x(t),r0,N的式子表示)  9.(15分)(2025·福建宁德模拟)为了提升某水域的生态环境,科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物,投放量为1个单位数量.这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快,随后越来越慢,设投放x(x≥0)年后这种微生物的数量为y个单位.已知y与x的关系拟合后的分段函数的图象如图所示,①y=mx2+n(m>0);②y=p+q(p>0);③y=ax-2+b(a>0). (1)请从中选择并求合适的两个确定y关于x的函数解析式,并说明理由; (2)求该水域生态环境最佳的时长.(注:微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳) 参考答案 课时规范练17　函数模型及其应用 1.C　解析 由于容器上粗下细,所以匀速注水的过程中,高度的增长会越来越慢,只有C选项的图象符合条件. 2.B　解析 由题意,设该户居民用电量为x kW·h,本月缴纳的电费为y,可得y=当该户居民本月缴纳的电费为150元时,可得60+0.6×(x-200)=150,解得x=350,即居民本月的用电量为350 kW·h.故选B. 3.D　解析 当t=0时,P=P0e-k×0=P0;当t=5时,=0.9,即e-5k=0.9;当t=15时,=e-15k=(e-5k)3=0.93=0.729=72.9%. 4.C　解析 声强级η与声强I的关系公式为η=10lg(),其中I0为参考声强.当I=10-10 W/m2时,η=20 dB,代入公式可得20=10lg(),则2=lg(),根据对数定义得102=,解得I0=10-12 W/m2,即η=10lg(1012I)=120+10lg I.因为学生早读期间声强级范围为[60,70],所以60≤120+10lg I≤70,解得10-6≤I≤10-5,因此,学生早读期间读书的声强范围为[10-6,10-5]. 5.AC　解析 依题意可设v=kr4,k为常数.当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1 250 cm3/s,所以1 250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误;由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误.故选AC. 6.5　解析 由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2,所以(n-1)lg 1.2≥lg 2, 所以n-1≥≈3.810,所以n≥4.810.因为n∈N*,所以n的最小值为5. 7.8 400　解析 根据题意,温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当温度从300开上升到400开时,反应速率常数k变为300开时的210倍,由k=A得,当T=300开时,k1=A,当T=400开时,k2=A,所以=210,=210,=210,=210,=10 ln 2,=12 000 ln 2≈12 000×0.7=8 400. 8.r0·x(t)[1-]　解析 根据假设,可得r=r0-k·x(t)(k>0),当x(t)=N时,r=0,代入可得0=r0-k·N,解得k=,由单位时间内的人口增长量x'(t)与x(t)成正比,可得x'(t)=rx(t),将r=r0-k·x(t),代入可得x'(t)=[r0-x(t)]·x(t)=r0·x(t)[1-],所以假设下建立的人口增长模型x'(t)=r0·x(t)[1-]. 9.解 (1)易知模型③y=ax-2+b(a>0)在区间(0,+∞)上单调递减,因此可排除;因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快,根据二次函数性质可得①y=mx2+n(m>0)符合题意;又随后越来越慢,由幂函数性质可得②y=p+q(p>0)符合题意;因此当0≤x≤4时,y=mx2+n(m>0),当x>4时,y=p+q(p>0). 结合题图可知y=mx2+n(m>0)经过点(0,1),(4,37),即解得即y=x2+1(0≤x≤4); 函数y=p+q(p>0)经过点(4,37),(16,47),即 解得即y=5+27(x>4). 因此符合题意的两函数解析式为①y=x2+1(0≤x≤4)和②y=5+27(x>4). (2)因为微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳,当0≤x≤4时,令x2+1≥26,解得≤x≤4;当x>4时,令5+27≤42,解得4<x≤9. 综上,当≤x≤9时,满足题意,因此该水域生态环境最佳的时长为9-年. 1 学科网（北京）股份有限公司 $