第2章 常用逻辑用语 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦“常用逻辑用语”，通过单选、多选、填空及解答题全面覆盖充分必要条件、量词命题、命题否定等核心知识点，适配单元复习，可有效检测逻辑推理与符号表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|充分必要条件（如“1＜x＜3”与“x＜3”关系）、量词命题真假判断|基础概念辨析，突出逻辑关系理解| |多项选择|3/18|条件关系判断（如“ac=bc”是“a=b”的条件）、充分不必要条件|选项分层，考查严谨思维| |填空题|3/15|命题否定（如“∀x∈R，x²-x+3＞0”的否定）、必要不充分条件应用|符号转化与简单计算结合| |解答题|5/77|命题类型与否定（15题）、充要条件证明（18题）、集合与逻辑综合（16、19题）|综合应用，体现逻辑推理与数学表达，如18题证明“|x+y|=|x|+|y|”的充要条件|

章末检测（二）　常用逻辑用语 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.“1＜x＜3”是“x＜3”成立的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.下列全称量词命题中真命题的个数为（　　） ①末位是0的整数可以被2整除；②锐角都相等；③正方形中任意两条边都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 3.命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（　　） A.∀x∈R，x2≠x B.∀x∈R，x2＝x C.∃x∉R，x2≠x D.∃x∈R，x2＝x 4.已知命题p：∃x＞0，x2＋2x＋1＝0，则􀱑p为（　　） A.∃x≤0，x2＋2x＋1≠0 B.∀x≤0，x2＋2x＋1≠0 C.∀x＞0，x2＋2x＋1≠0 D.∃x＞0，x2＋2x＋1≠0 5.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.下列命题中的真命题是（　　） A.∃x∈R，x2＋1≤0 B.∀x∈R，2x＞x2 C.“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1” D.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件 7.下列选项中，使｜x－1｜＜2成立的一个必要不充分条件是（　　） A.－1＜x＜3 B.－3＜x＜3 C.0＜x＜3 D.0＜x＜4 8.若命题“存在x∈R，x2－2x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　） A.m≤－1 B.m≥－1 C.－1≤m≤1 D.m＞－1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是（　　） A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 10.命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A.a≥10 B.a≤9 C.a≥9 D.a＝9.5 11.下列说法正确的是（　　） A.a＞b的一个必要不充分条件是a－1＞b B.若集合A＝{x｜ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，则a＝ C.若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是{a｜a＞} D.已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.命题“∀x∈R，x2－x＋3＞0”的否定是　　　　. 13.已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　　　　. 14.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0）.若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假： （1）有一个奇数不能被3整除； （2）∀x∈Z，x2与3的和不等于0； （3）三角形的三个内角都为60°； （4）存在一个实数x，使＞2. 16.（本小题满分15分）已知P＝{x｜1≤x≤2}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}. （1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分15分）已知p：实数x满足a＜x＜4a（其中a＞0），q：实数x满足2＜x＜5. （1）若a＝1，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围； （2）若p与q一真一假，求实数a的取值范围. 18.（本小题满分17分）设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件是xy≥0. 19.（本小题满分17分）已知非空集合P＝{x｜a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x｜－2≤x≤5}. （1）若a＝3，求（∁RP）∩Q； （2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 章末检测（二）　常用逻辑用语 1.A　“1＜x＜3”可以推得“x＜3”，即满足充分性，但由“x＜3”得不出“1＜x＜3”，所以为充分不必要条件.故选A. 2.C　要判断全称量词命题“∀x∈M，p（x）”为真命题，要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立，如果在M中找到一个元素x，使p（x）不成立，那么这个全称量词命题为假命题，故①③都是真命题.故选C. 3.D　全称量词命题的否定为存在量词命题，原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D. 4.C　存在量词命题的否定为全称量词命题，“∃”改为“∀”，“＝”改为“≠”.即“∀x＞0，x2＋2x＋1≠0”.故选C. 5.B　∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件. 6.D　∵∀x∈R，x2＋1＞0为真命题，∴A为假命题；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点（2，2），此时2x＝x2，∴B为假命题；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C为假命题；当a＞1，b＞1时，ab＞1，∴D为真命题，故选D. 7.B　解｜x－1｜＜2得－1＜x＜3，对于A，－1＜x＜3是充要条件，A错误；对于B，（－1，3）⫋（－3，3），－3＜x＜3是｜x－1｜＜2成立的一个必要不充分条件，B正确；对于C，（0，3）⫋（－1，3），0＜x＜3是｜x－1｜＜2成立的一个充分不必要条件，C错误；对于D，（0，4）与（－1，3）没有包含关系，0＜x＜4是既不充分也不必要条件，D错误.故选B. 8.B　由题意知方程x2－2x－m＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2－4×（－m）≥0，解得m≥－1. 9.ACD　ac＞bc⇒/ a＞b且a＞b⇒/ ac＞bc，故A、C错误；a＝b⇒a－b＝0⇒（a－b）c＝0⇒ac＝bc，但ac＝bc⇒/ a＝b，∴ac＝bc是a＝b的必要条件，故B正确，D错误. 10.AD　若命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题，则a≥9.因为a≥10⇒a≥9，但a≥9⇒/ a≥10，所以a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.又因为a＝9.5⇒a≥9，但a≥9⇒/ a＝9.5，所以a＝9.5是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选A、D. 11.CD　对于A，当a－1＞b，即a＞b＋1时，则a＞b，即充分性成立；当a＞b时，例如a＝1，b＝0，则a－1＝b＝0，即必要性不成立，所以a＞b的充分不必要条件为a－1＞b，故A错误；对于B，若集合A＝{x｜ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，当a＝0时，集合A＝{x｜x＋1＝0}＝{－1}，只有一个元素，符合题意；当a≠0时，由Δ＝1－4a＝0，解得a＝.综上所述：a＝0或a＝，故B错误；对于C，命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2－x＋a≠0”是真命题，所以Δ＝1－4a＜0，解得a＞，故C正确；对于D，因为M∪N＝M，则N⊆M，且集合M＝{0，1}，则满足条件的集合N为{0}或{1}或{0，1}或⌀，故集合N的个数为4，故D正确.故选C、D. 12.∃x∈R，x2－x＋3≤0　解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，所以原命题的否定为∃x∈R，x2－x＋3≤0. 13.{m｜m＞2}　解析：由p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，q是p的必要不充分条件，即3＜m＋1，即m＞2. 14.[3，＋∞）　解析：由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1｜－1≤y1≤3}.由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2（a＞0），－1≤x≤2的取值范围为{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤ x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，即{y1｜－1≤y1≤3}⊆{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}，所以解得a≥3. 15.解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题. （2）是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题. （3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题. （4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题. 16.解：（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，需使P＝S，即此方程组无解，故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. （2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S⊆P. 当S＝⌀时，1－m＞1＋m，解得m＜0，满足题意； 当S≠⌀时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P， 则有解得m≤0，所以m＝0. 综上可得，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件.m的取值范围为（－∞，0]. 17.解：（1）当a＝1时，p：实数x满足1＜x＜4， 由题意得解得2＜x＜4，即实数x的取值范围为（2，4）. （2）当p真q假时，由p得a＜x＜4a，由q得􀱑q：x≤2或x≥5，画出数轴（图略）， 可得4a≤2或a≥5，即a的取值范围为0＜a≤或a≥5， 当p假q真时，由p得􀱑p：x≤a或x≥4a， q：2＜x＜5，画出数轴（图略），可得4a≤2或a≥5，得0＜a≤或a≥5， 故当p与q一真一假时，实数a的取值范围为（0，］∪[5，＋∞）. 18.证明：充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0，②x≠0，y＝0，③x＝0，y＝0.总有｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，显然成立. 如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0， 当x＞0，y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜， 当x＜0，y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜， 总之，当xy≥0时，｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立. 必要性：由｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜及x，y∈R，得（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2， 故｜xy｜＝xy，所以xy≥0，故必要性成立， 综上，原命题成立. 19.解：因为集合P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0. （1）当a＝3时，P＝{x｜4≤x≤7}， ∁RP＝{x｜x＜4或x＞7}， 又Q＝{x｜－2≤x≤5}， 所以（∁RP）∩Q＝{x｜－2≤x＜4}. （2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则P⫋Q， 即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围为{a｜0≤a≤2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $