3.3　培优课　不等式恒成立、能成立问题课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式恒成立与能成立问题，通过典型例题导入，从R上恒成立到给定区间恒成立再到能成立问题，逐步构建知识脉络，以例题解析和通性通法为学习支架，帮助学生掌握不同情境下的求解策略。 其亮点在于分类呈现题型，结合二次函数图象与参数分离法，培养学生数学抽象与逻辑推理能力。如例1对二次项系数的讨论体现严谨思维，跟踪训练强化知识应用，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

培优课 不等式恒成立、能成立问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 在R上的恒成立问题 【例1】　（1）已知不等式 kx2＋2 kx －（ k ＋2）＜0恒成立，求实数 k 的取值范围； 解：当 k ＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当 k ≠0时，令 y ＝ kx2＋2 kx －（ k ＋2），由 y ＜0恒成立， ∴其图象都在 x 轴的下方，即开口向下，且与 x 轴无交点. ∴解得－1＜ k ＜0. 综上，实数 k 的取值范围是{ k ｜－1＜ k ≤0}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若不等式－ x2＋2 x ＋3≤ a2－3 a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解：原不等式可化为 x2－2 x ＋ a2－3 a －3≥0， ∵该不等式对任意实数 x 恒成立，∴Δ≤0，即4－4（ a2－3 a － 3）≤0，即 a2－3 a －4≥0， 解得 a ≤－1或 a ≥4， ∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤－1或 a ≥4}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　一元二次不等式在R上的恒成立问题转化为一元二次不等式解集 为R的情况，即 ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立⇔ ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立⇔ 目录 数学·必修第一册（SJ） ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立⇔ ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立⇔ 提醒　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一 定要讨论二次项系数是否为0. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 对于任意实数 x ，不等式（ a －2） x2－2（ a －2） x －4＜0恒成 立，则实数 a 的取值范围为（　　） A. { a ｜ a ＜2} B. { a ｜ a ≤2} C. { a ｜－2＜ a ＜2} D. { a ｜－2＜ a ≤2} 解析：　当 a －2＝0，即 a ＝2时，－4＜0，恒成立，符合题意； 当 a －2≠0时，由题意知，解 得－2＜ a ＜2，∴－2＜ a ≤2，故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若关于 x 的一元二次不等式 x2＋ mx ＋1≥0的解集为实数集R，则实 数 m 的取值范围是 ⁠. 解析：因为关于 x 的一元二次不等式 x2＋ mx ＋1≥0的解集为实数集 R，所以只需Δ＝ m2－4≤0，解得－2≤ m ≤2，即实数 m 的取值范 围是[－2，2]. [－2，2]　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 在给定区间上的恒成立问题 【例2】　（1）当1≤ x ≤2时，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，则实数 m 的取值范围为 ⁠； { m ｜ m ＜－5}　 解析：令 y ＝ x2＋ mx ＋4.∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立，∴ y ＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得∴ m 的取值范围 是{ m ｜ m ＜－5}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若不等式 x2＋ ax ＋1≥0对一切 x ∈（0，2]恒成立，则 a 的最小 值是 ⁠. 解析：由于 x ∈（0，2]，若不等式 x2＋ ax ＋1≥0恒成立，则 a ≥－ ， x ∈（0，2]时恒成立.令 m ＝ x ＋ ， x ∈（0， 2]，则 m ≥2 ＝2（当且仅当 x ＝1时等号成立）.∴－ 的最大值是－2.因此 a ≥－2，则 a 的最小值为－2. －2　 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 （1）当 a ＞0时， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立⇔ y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时小于0；当 a ＜0 时， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立⇔ y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时大于0； （2）通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若关于 x 的不等式 x2－4 x ≥ m 对任意 x ∈{ x ｜0≤ x ≤3}恒成立，则实数 m 的取值范围是（　　） A. { m ｜ m ≥－3} B. { m ｜－3≤ m ≤0} C. { m ｜ m ≤－4} D. { m ｜ m ≤－3或 m ≥0} 解析：　因为不等式 x2－4 x ≥ m 对任意 x ∈{ x ｜0≤ x ≤3}恒成 立，令 y ＝ x2－4 x ，0≤ x ≤3，则 m ≤ ymin，因为 y ＝ x2－4 x 在 x ∈{ x ｜0≤ x ≤3}上的最小值为－4，故 m ≤－4.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若对任意的－3≤ x ≤－1都有 ax2－ x －3＜0恒成立，则实数 a 的取 值范围是 ⁠. 解析： ax2－ x －3＜0在－3≤ x ≤－1上恒成立，等价于 a ＜ ＝ ＋ 在－1≤ ≤－ 上恒成立，令 m ＝ ，即 a ＜3 m2＋ m 在－ 1≤ m ≤－ 上恒成立，二次函数 y ＝3 m2＋ m 的对称轴为 m ＝－ ，所以当 m ＝－ 时， y 有最小值0，故 a ＜0. { a ｜ a ＜0}　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 简单的能成立问题 【例3】　若存在 x ∈R，使得 ≥2成立，求实数 m 的取值 范围. 解：∵ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2＞0，∴4 x ＋ m ≥2（ x2－2 x ＋3） 能成立， ∴ m ≥2 x2－8 x ＋6能成立， 又 y ＝2 x2－8 x ＋6＝2（ x －2）2－2≥－2， ∴ m ≥－2， ∴ m 的取值范围为{ m ｜ m ≥－2}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 能成立问题的解题思路 （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，可转化为 m ＞ ymin或 m ＜ ymax的形式，通过 求 y 的最小值或最大值，求得参数的取值范围. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 关于 x 的不等式 x2－6－ a ≥0在{ x ｜1≤ x ≤4}内有解，则实数 a 的取值范围是（　　） A. { a ｜ a ≤6} B. { a ｜ a ≥－10} C. { a ｜ a ≥－6} D. { a ｜ a ≤10} 解析：　不等式 x2－6－ a ≥0在{ x ｜1≤ x ≤4}内有解等价于在 { x ｜1≤ x ≤4}内， a ≤（ x2－6）max.当1≤ x ≤4时，－5≤ x2－ 6≤10，所以 a ≤10.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若命题“∀ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ＞0”为假命题，则实数 a 可取的最小整数值是 ⁠. 解析：因为命题“∀ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ＞0”为假命题，所以 “∃ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ≤0”为真命题，则∃ x ∈[0，3]，使得 a ≥ x2－2 x ，所以 a ≥（ x2－2 x ）min，因为 y ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2 －1， x ∈[0，3]，所以当 x ＝1时， y ＝ x2－2 x 有最小值－1，所以 a ≥－1，所以实数 a 可取的最小整数值是－1. －1　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知1≤ x ≤2， x2－ ax ＞0恒成立，则实数 a 的取值范围是（　　） A. { a ｜ a ≥1} B. { a ｜ a ＞1} C. { a ｜ a ≤1} D. { a ｜ a ＜1} 解析：　因为1≤ x ≤2，故 x ＞0，故 x2－ ax ＞0在1≤ x ≤2上恒成 立等价于 x － a ＞0在1≤ x ≤2上恒成立，即 a ＜1.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，则实数 m 的取值范围是 （　　） A. { m ｜ m ≤－2或 m ≥2} B. { m ｜－2≤ m ≤2} C. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2} D. { m ｜－2＜ m ＜2} 解析：　∵关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，且函数 y ＝－ x2＋ mx －1的图象开口向下，∴函数图象与 x 轴有交点，∴Δ＝ m2 －4≥0，解得 m ≥2或 m ≤－2.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知不等式 ax2＋4 x ＋ a ＞1－2 x2. （1）当 a ＝3时，解此不等式； 解：当 a ＝3时，不等式为5 x2＋4 x ＋2＞0. 因为5 x2＋4 x ＋2＝0中Δ＝16－40＜0， 可知不等式的解集为R， 所以当 a ＝3时，不等式的解集为R. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若此不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解：已知不等式可整理成（ a ＋2） x2＋4 x ＋ a －1＞0， 当 a ＋2＜0，即 a ＜－2时，不符合题意. 当 a ＋2＝0，即 a ＝－2时，也不符合题意. 当 a ＋2＞0，即 a ＞－2时，要使（ a ＋2） x2＋4 x ＋ a － 1＞0恒成立， 则有42－4（ a ＋2）（ a －1）＜0，解得 a ＞2. 综上所述，使不等式对一切实数 x 恒成立的实数 a 的取值 范围是{ a ｜ a ＞2}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $