8.1 培优课　函数零点的综合问题课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点综合问题，涵盖参数范围求解、一元二次方程根的分布、分段函数零点等核心知识点。通过典型例题导入，衔接函数性质与方程知识，以通性通法为学习支架，引导学生从基础应用过渡到综合探究。 其亮点在于题型分类系统，通性通法总结清晰，如分离参数法、数形结合法培养数学思维。例题结合图象分析，体现几何直观的数学眼光，解析用规范数学语言表达，助力学生掌握解题方法提升能力，为教师提供结构化教学资源提高教学效率。

培优课　 函数零点的综合问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 根据零点情况求参数范围 【例1】　若 f （ x ）＝2 x （ x － a ）－1在（0，＋∞）内有零点，则实 数 a 的取值范围是（　　） A. （－∞，＋∞） B. （－2，＋∞） C. （0，＋∞） D. （－1，＋∞） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 令2 x （ x － a ）－1＝0，∴ a ＝ x －（ ） x （ x ＞0）.令 g （ x ）＝ x －（ ） x ，则该函数在（0， ＋∞）上为增函数.令 h （ x ）＝ a ，则 g （ x ）与 h （ x ）在（0，＋∞）上的图象有交点.如图所示，作 出简图，结合图象易知 a ＞－1.故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参 数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以 解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在 同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方 法求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若关于 x 的方程lo x ＝ 在区间（0，1）内有解，则实数 m 的 取值范围是（　　） A. （0，1） B. （1，2） C. （－∞，1）∪（2，＋∞） D. （－∞，0）∪（1，＋∞） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　∵函数 y ＝lo x 在区间（0，1）上的值域为（0，＋ ∞），∴ ＞0，即 ＜0，解得0＜ m ＜1.∴实数 m 的取值范 围是（0，1）.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若函数 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有两个零点，则实数 b 的取值范围 为 ⁠. 解析：由 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b ＝0，得｜2 x －2｜＝ b .在同一平面直角坐标系中分别画出 y ＝｜2 x －2｜与 y ＝ b 的图象，如图所示.则当 0＜ b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函 数 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有两个零点. （0，2）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 一元二次方程的根的分布问题 【例2】　已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6＝0. （1）若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数 m 的取 值范围； 解：设 f （ x ）＝ x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6. f （ x ）的大致图象如图（ⅰ）所示， ∴ f （2）＜0，即4＋4（ m －1）＋2 m ＋6＜0，得 m ＜－1， ∴实数 m 的取值范围为（－∞，－1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数 m 的取值范围； 解： f （ x ）的大致图象如图（ⅱ）所示， ∴ 解得－ ＜ m ＜－ ，∴实数 m 的取值范围为（－ ，－ ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） ①有两个正根，此时如图（ⅲ）所示， 可得即 ∴－3＜ m ≤－1. （3）若方程至少有一个正根，求实数 m 的取值范围. 解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， 目录 数学·必修第一册（SJ） ③有一个正根，另一根为0，此时如图（ⅴ）所示，可得 ∴ m ＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数 m 的取值范围为 （－∞，－1]. ②有一个正根，一个负根，此时如图（ⅳ）所示，可得 f （0）＜ 0，得 m ＜－3. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与 x 轴交点 的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再 左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根 与系数的关系进行限制. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋2 m ＋1＝0，若方程有两个实数 根，其中一个根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求 实数 m 的取值范围. 解：令 f （ x ）＝ x2＋2 mx ＋2 m ＋1.依题意作出 f （ x ）的草图如图， 则即 解得－ ＜ m ＜－ .∴实数 m 的取值范围为（－ ，－ ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 分段函数的零点问题 【例3】　已知函数 f （ x ）＝ g （ x ）＝ f （ x ）＋ x ＋ a .若 g （ x ）存在2个零点，则实数 a 的取值范围是（　　） A. [－1，0） B. [0，＋∞） C. [－1，＋∞） D. [1，＋∞） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　函数 g （ x ）＝ f （ x ）＋ x ＋ a 存在2个零点，即关于 x 的方 程 f （ x ）＝－ x － a 有2个不同的实根，即函数 f （ x ）的图象与直线 y ＝－ x － a 有2个交点，作出直线 y ＝－ x － a 与函数 f （ x ）的图象， 如图所示，由图可知，－ a ≤1，解得 a ≥－1.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 求分段函数的零点的常用方法 （1）对于较简单的分段函数，直接分不同区间解方程，求出零点， 并且检验是否满足区间范围； （2）对于一般的分段函数，首先作出函数图象，然后分析函数在各 个区间上的零点情况，利用数形结合思想及分类讨论思想判断 零点所在区间，求解零点的个数或参数范围. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 函数 f （ x ）＝的零点个数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　当 x ≤0时，令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －3 ＝0，解得 x1＝－3， x2＝1（舍去）.当 x ＞0时，令 f （ x ）＝0，即 x －2＋ln x ＝0，即ln x ＝－ x ＋2.在 同一直角坐标系中作出两函数 y ＝ln x 与 y ＝－ x ＋2 （ x ＞0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个 交点.综上可知，函数 f （ x ）的零点个数为2. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＋ a －1有四个不同的零点，则实数 a 的 取值范围为 ⁠. 解析：由 f （ x ）＝0得 a －1＝2｜ x ｜－ x2，因为函数 f （ x ）＝ x2 －2｜ x ｜＋ a －1有四个不同的零点，所以函数 y ＝ a －1与 y ＝2｜ x ｜－ x2的图象有四个交点，画出函数 y ＝2｜ x ｜－ x2的图象，如 图所示， （1，2）　 观察图象可知，0＜ a －1＜1，即1＜ a ＜2，所以实数 a 的取值范围是（1，2）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 f （ x ）＝的所有零点构成的集合为（　　） A. {1} B. {－1} C. {－1，1} D. {－1，0，1} 解析： 　当 x ≤0时， f （ x ）＝ x ＋1＝0⇒ x ＝－1；当 x ＞0时， f （ x ）＝log2 x ＝0⇒ x ＝1，所以函数 f （ x ）的所有零点构成的集合 为{－1，1}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 f （ x ）＝3 x － － a 的一个零点在区间（1，2）内，则实数 a 的取值范围是（　　） A. （－2，7） B. （－1，6） C. （－1，7） D. （－2，6） 解析： 　由题意可得 f （1） f （2）＝（3－4－ a ）（9－2－ a ） ＜0，即（ a ＋1）（ a －7）＜0，解得－1＜ a ＜7，故实数 a 的取值 范围是（－1，7）.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知函数 f （ x ）＝ ax2－2 x ＋1（ x ∈R）有两个零点，一个大于1另一个小于1，求实数 a 的取值范围. 解：由题意得 f （0）＝1＞0，且 a ≠0，函数 f （ x ）的示意图 如图， 　 所以或解得0＜ a ＜1，所以实数 a 的取值范围为（0，1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $