专题2.6 有理数及其运算章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+30个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题】-2026-2027学年北师大版数学七年级上册同步讲义

该初中数学单元复习讲义通过思维导图系统梳理有理数及其运算知识体系，将正数负数、有理数、数轴等15个知识点按逻辑递进组织，用清晰框架呈现概念、法则及内在联系，突出绝对值、混合运算等重难点。 讲义亮点在于30个题型讲练设计，如正负数实际应用、数轴动点问题等，结合中考真题与分层训练，培养运算能力和几何直观。基础夯实与培优拔高分层题满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升学生数学思维与应用意识。

专题2.6 有理数及其运算（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+30个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 正数和负数 3 知识点二 有理数 3 知识点三 数轴 4 知识点四 相反数 4 知识点五 绝对值 4 知识点六 加法法则 5 知识点七 加法运算定律 5 知识点八 减法法则 6 知识点九 乘法法则 6 知识点十 乘法运算定律 6 知识点十一 倒数 6 知识点十二 除法法则 6 知识点十三 乘方法则运算 6 知识点十四 混合运算 6 知识点十五 科学计数法 7 题型讲练 7 题型一 正负数的实际应用 7 题型二 带“非”字的有理数 7 题型三 数轴的三要素及其画法 8 题型四 利用数轴比较有理数的大小 8 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 9 题型六 数轴上找原点 9 题型七 数轴上整点覆盖问题 10 题型八 数轴上的规律探究 10 题型九 化简多重符号 11 题型十 绝对值的几何意义 11 题型十一 绝对值非负性 11 题型十二 有理数大小比较 11 题型十三 有理数大小比较的实际应用 12 题型十四 有理数的加减混合运算 12 题型十五 有理数加减中的简便运算 12 题型十六 有理数加减混合运算的应用 13 题型十七 数轴上两点之间的距离 14 题型十八 有理数乘除混合运算 14 题型十九 有理数乘除中的简便运算 15 题型二十 有理数四则混合运算 15 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 16 题型二十二 数轴上的翻折 17 题型二十三 乘方运算的符号规律 17 题型二十四 用科学记数法表示绝对值大于1的数 18 题型二十五 将用科学记数法表示的数变回原数 18 题型二十六 算"24"点 18 题型二十七 含乘方的有理数混合运算 19 题型二十八 求一个数的近似数 19 题型二十九 求近似数的精确度 20 题型三十 近似数推断取值范围 20 中考真题演练 20 难度分层训练 22 【基础夯实】 22 【培优拔高】 23 知识点一 正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点二 有理数 （1）概念 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点三 数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点四 相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点五 绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点六 加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点七 加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点八 减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点九 乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点十 乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点十一 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点十二 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点十三 乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点十四 混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点十五 科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 题型一 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）妈妈微信钱包有500元，今天她收到转账退款150元，记作元，然后她在超市用微信支付，支出150元，记作（   ）元 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期末）手机微信支付给生活带来便捷，微信零钱明细显示“”表示微信钱包收入20元，则微信零钱明细显示“”表示微信钱包________． 题型二 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）在，0，，，，中，非负整数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，0，，，． 整数集：{                        …} 负分数集：{                            …} 非负有理数集：{                            …}． 题型三 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【变式训练】（23-24七年级上·河北沧州·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·河南许昌·期末）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接： ，，，， 【变式训练】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“”连接． ，，， 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（2025七年级上·广东汕头·专题练习）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 【变式训练】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 题型六 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【变式训练】（25-26七年级上·新疆昌吉·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ，，，， 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 【变式训练】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 题型八 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练】（25-26七年级上·全国·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 题型九 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）在数，，%，，，，，中，非负整数有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（25-26七年级上·湖南常德·期末）比较大小：_________． 题型十 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·云南怒江·阶段检测）在数轴上用点表示下列各数，其中与原点的距离最近的是（    ） A．5 B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A．绝对值最小的数是0 B．有最大的正整数和最小的负整数 C．相反数等于本身的数是0 D．没有最小的有理数 题型十一 绝对值非负性 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【变式训练】（2025七年级上·北京·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．有理数就是正数和负数的统称 B．最小的有理数是 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 题型十二 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）有理数0，，，1中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 题型十三 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）手机导航中常用“”（交通信息频道）来实时反映路况拥堵情况．通常用“”到“3”之间的整数表示，数值越小表示越拥堵．以下是某城市四个路段在早高峰时的值：甲：，乙：1，丙：，丁：0．则最拥堵的路段是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）下列四个海拔中，最低的是（   ） A．0米 B．米 C．米 D．1米 题型十四 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中点为原点，A，D所对应的数分别为，如图所示． (1)请在图中标出点C的位置； (2)点B为AD的中点，请直接写出点所对应的数；若在数轴上另取点，且，两点间的距离是7，求A，B，C，D，E所对应数的和． 【变式训练】（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：=______． 题型十五 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 题型十六 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）某种速冻水饺的储藏温度是，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此水饺的温度是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·四川广安·期末）2025年4月7日是世界卫生日，主题为“健康起点，希望未来”，小亮决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，某天他从家出发，沿着家门口东西方向笔直的道路开始跑步（家到道路的距离忽略不计），如果规定向东跑步的米数记为正数，向西跑步的米数记为负数．当天小亮的跑步记录（单位：m）如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 假设小亮在同一次跑步记录下是单向行驶． (1)跑步结束时小亮距离家多远？ (2)在第几次记录时小亮距离家最远？ (3)若跑步平均每千米消耗60千卡热量，则小亮跑步共消耗多少千卡热量？ 题型十七 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·广西百色·期末）如图，数轴上点，表示的数互为相反数．若点表示的数为，点在点的右侧，则点到原点的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，数轴上每格表示1个单位长度．若，两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________． 题型十八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)解答过程从第__________开始出错； (2)请写出正确的计算过程． 题型十九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·阶段检测）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【变式训练】（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 题型二十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南周口·期末）定义新运算：，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”．下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多_____单； (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40单，每单补贴4元；超过40单，该天所有单每单补贴6元．该外卖小哥这一周收入多少元？ 【变式训练】（25-26七年级上·河南开封·期末）外卖小哥小张某天中午两个小时内骑电动车在东西走向的中山路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．具体行程（单位：）的记录如下：． (1)当将最后一个外卖送到目的地时，小张距出发地点的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，通常每天除了中午的两个小时送餐工作，晚饭时间还有两个小时的送餐，送餐路程和中午基本相同，另外，小张每天往返家等其他的路程大概是，请问：在该电动车满电而途中不再充电的情况下，小张是否可以完成一天的行程？请说明理由． 题型二十二 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值．_________，_________，_________； (2)点为数轴上一动点，现以点为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 【变式训练】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 题型二十三 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知与互为相反数． (1)求a和b的值： (2)求下式的值：． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法中：①一定是负数：②一定是正数；③有理数不是整数就是分数；④绝对值等于它本身的数只有0；⑤互为相反数的两个数的绝对值相等；⑥若，则，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二十四 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均用水量的四分之一，我们必须节约用水．若每人每天浪费水升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（   ）升． A． B． C． D． 【变式训练】2022年6月13日，由四川省文物考古研究院和三星堆研究院、三星堆博物馆联合主办的“考古中国”重要项目——三星堆遗址考古发掘阶段性成果新闻通气会在三星堆博物馆举行，会上发布三星堆遗址祭祀区考古工作阶段性重大成果：6座坑共计出土编号文物近13000件．将数据13000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型二十五 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级上·广西梧州·期末）用科学记数法表示的数是，原来的数是（   ） A．20880 B．208800 C．2088000 D．20880000 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）一个整数用科学记数法表示为，则原数为（　　） A．80100 B．801000 C．8010 D．8010000 题型二十六 算"24"点 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【变式训练】（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于的整数进行加减乘除混合运算（每个数都用，且只用一次），使其结果等于．现有四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算． 题型二十七 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 题型二十八 求一个数的近似数 【典例精讲】（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【变式训练】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）自然常数精确到0.01的近似数是______． 题型二十九 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·青海西宁·期中）近似数，精确到__________位. 【变式训练】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）港珠澳大桥自开通以来，充分助力粤港澳大湾区深度融合，其主桥长约千米，近似数千米精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 题型三十 近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学测量茶杯口的直径长度说大约是，那么下列给出的直径的实际数据不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·陕西安康·中考真题）如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【真题演练2】（2025·浙江金华·中考真题）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·安徽宿州·中考真题）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 【真题演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．下面各数中，不是“完全数”的是（    ） A．6 B．28 C．35 D．496 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如果，那么“”内的运算符号为_____（从“，，，”四种运算符号中选择一种填入）． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 6．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 7．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 8．（24-25七年级上·山西临汾·期末）计算： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列数字规律 2        8  32        128     则第8行第10个数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期中）有理数、在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 5．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）在数轴上A、B、C三点表示的数分别是、、，是平方等于本身的数，是倒数等于本身的负数，且，点到、的距离和是，则点表示的数是_____． 6．（25-26七年级上·重庆·期中）规定：一个四位正整数M，若M各个数位上的数字互不相同，且均不为0，且个位比百位上的数字小1，十位比千位上的数字小1，则称M为“智慧数”．规定：四位正整数的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，记；规定N的千位数字和十位数字组成的两位数为，百位数字和个位数字组成的两位数为，记．规定，求________．若四位数A、B均为“智慧数”，A的十位数字为5，且，B的十位数字为，B的百位数字为y，当能被6整除时，则B的最大值为________． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 8．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 9．（25-26七年级上·四川资阳·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足，． (1) ； ； (2)在（1）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为 x ，则代数式有最 （填“大 ”或“小 ”）值为 ； (3)点 P 从点A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒），求第几秒时，点P，Q之间的距离是点C、Q之间的距离的2倍？ 10．（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 有理数及其运算（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+30个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共85题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 正数和负数 3 知识点二 有理数 3 知识点三 数轴 4 知识点四 相反数 4 知识点五 绝对值 4 知识点六 加法法则 5 知识点七 加法运算定律 5 知识点八 减法法则 6 知识点九 乘法法则 6 知识点十 乘法运算定律 6 知识点十一 倒数 6 知识点十二 除法法则 6 知识点十三 乘方法则运算 6 知识点十四 混合运算 6 知识点十五 科学计数法 7 题型讲练 7 题型一 正负数的实际应用 7 题型二 带“非”字的有理数 8 题型三 数轴的三要素及其画法 9 题型四 利用数轴比较有理数的大小 10 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 11 题型六 数轴上找原点 12 题型七 数轴上整点覆盖问题 13 题型八 数轴上的规律探究 14 题型九 化简多重符号 15 题型十 绝对值的几何意义 16 题型十一 绝对值非负性 16 题型十二 有理数大小比较 17 题型十三 有理数大小比较的实际应用 18 题型十四 有理数的加减混合运算 19 题型十五 有理数加减中的简便运算 20 题型十六 有理数加减混合运算的应用 22 题型十七 数轴上两点之间的距离 23 题型十八 有理数乘除混合运算 24 题型十九 有理数乘除中的简便运算 25 题型二十 有理数四则混合运算 27 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 28 题型二十二 数轴上的翻折 29 题型二十三 乘方运算的符号规律 31 题型二十四 用科学记数法表示绝对值大于1的数 32 题型二十五 将用科学记数法表示的数变回原数 33 题型二十六 算"24"点 33 题型二十七 含乘方的有理数混合运算 34 题型二十八 求一个数的近似数 36 题型二十九 求近似数的精确度 36 题型三十 近似数推断取值范围 37 中考真题演练 38 难度分层训练 41 【基础夯实】 41 【培优拔高】 47 知识点一 正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点二 有理数 （1）概念 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 知识点三 数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 知识点四 相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点五 绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 （3）代数符号意义： 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点六 加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点七 加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点八 减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点九 乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点十 乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点十一 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点十二 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点十三 乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点十四 混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点十五 科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 注： （1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 题型一 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）妈妈微信钱包有500元，今天她收到转账退款150元，记作元，然后她在超市用微信支付，支出150元，记作（   ）元 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的实际意义．根据正负数表示一对意义相反的量，收入为正，则支出为负，进行作答即可． 【详解】解：由题意，支出150元记作元； 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期末）手机微信支付给生活带来便捷，微信零钱明细显示“”表示微信钱包收入20元，则微信零钱明细显示“”表示微信钱包________． 【答案】支出35元 【分析】本题主要考查了正负数的应用，根据题干中“”表示收入20元，可知“”号表示支出，因此“”表示支出35元． 【详解】解：微信零钱明细中，“”号表示收入，“”号表示支出，因此“”表示微信钱包支出35元． 故答案为：支出35元． 题型二 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）在，0，，，，中，非负整数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查非负整数的定义；非负整数包括正整数和零，据此逐一判断给定各数是否符合定义即可. 【详解】解：∵是负数，不是非负整数；0是非负整数；是小数，不是非负整数；是无限不循环小数，不是非负整数；是非负整数；是非负整数， ∴非负整数有0、、，共3个. 故选：B. 【变式训练】（24-25七年级上·辽宁丹东·期中）把下列各数填入相应的集合里： ，，，，0，，，． 整数集：{                        …} 负分数集：{                            …} 非负有理数集：{                            …}． 【答案】整数集：，0，；负分数集：；非负有理数集：，，，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、负分数、非负有理数的定义是解题的关键． 根据整数、负分数、非负有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，整数集有：，0，； 负分数集有：； 非负有理数集有：，，，0，． 题型三 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）如图所示为一个不完整的数轴． (1)请将该数轴补充完整，并将数表示在数轴上； (2)将（1）中的各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴三要素，求相反数，求绝对值，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据数轴三要素将数轴补充完整，化简多重符号，绝对值，最后将各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴作答即可． 【详解】（1）解：数轴补充如下： ；， 表示如下： ； （2）解：用“”连接如下： ． 【变式训练】（23-24七年级上·河北沧州·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴的三要素是正确解答此题的关键．根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐个判断即可． 【详解】解：（1）中没有原点，故错误； （2）符合数轴的三要素，故正确； （3）原点左边的数字、位置不对，故错误； （4）中单位长度不相等，故错误， 故选：B． 题型四 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·河南许昌·期末）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接： ，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了用数轴的点表示数和利用数轴比较有理数的大小．把各数按照对应位置表示在数轴上，再按从小到大的顺序用“<”连接即可． 【详解】解：各数在数轴上表示如下： 按从小到大的顺序用“<”连接如下： 【变式训练】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“”连接． ，，， 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：， 数轴表示如下所示： ∴． 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（2025七年级上·广东汕头·专题练习）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 【答案】(1)，， (2)，， (3)5 (4)或 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其绝对值即可． 【详解】（1）解：点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为：，，； （3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为：； （4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 故答案为：或． 【变式训练】（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 【答案】8或2 【分析】本题考查数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：点A到原点的距离为3， 点表示的数为或， 此时点B表示的数是：或． 故答案为：8或2． 题型六 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1) (2)在数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点与原点的距离为，那么从点的位置向右数格即为原点位置，据此画出原点，再求出点表示的数即可； （2）先计算绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，在数轴上标出原点，点所表示的数是， 故答案为：； （2） ， 在数轴上表示各数如下： ． 【变式训练】（25-26七年级上·新疆昌吉·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ，，，， 【答案】(1)图见解析；4 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的大小比较. （1）根据题意可得点A与原点的距离为3，那么从点A的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点B表示的数即可； （2）在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示， 点B表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：如图， ． 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 【变式训练】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 题型八 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）边长为个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字时停止运动，此时与数字重合的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故选：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数，是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第二个点重合，该点表示的数字为， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是， 故选：D． 题型九 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）在数，，%，，，，，中，非负整数有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值化简、多重符号化简及有理数的分类．先化简各数，再根据非负整数(大于等于0的整数)的定义筛选即可． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴非负整数有、、，共个 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南常德·期末）比较大小：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较．先化简得到，然后比较负数和正数，根据“正数大于负数”即可解答． 【详解】解：，正数总是大于负数， ，即， 故答案为：． 题型十 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·云南怒江·阶段检测）在数轴上用点表示下列各数，其中与原点的距离最近的是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的定义，数轴上点与原点的距离是该数的绝对值，比较各选项的绝对值大小即可． 【详解】解：，，，，且， 与原点的距离最近的是， 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A．绝对值最小的数是0 B．有最大的正整数和最小的负整数 C．相反数等于本身的数是0 D．没有最小的有理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值和相反数， 根据绝对值、正整数、负整数、相反数和有理数的概念分析各选项． 【详解】解：∵绝对值最小的数是0，∴A正确； ∵没有最大的正整数，也没有最小的负整数，∴B错误； ∵相反数等于本身的数只有0，∴C正确； ∵有理数没有最小值，∴D正确. 故选：B． 题型十一 绝对值非负性 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【分析】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 利用绝对值的非负性，得出的最小值为0，进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 【变式训练】（2025七年级上·北京·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．有理数就是正数和负数的统称 B．最小的有理数是 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类、有理数的性质、数轴与相反数的定义、绝对值的性质，掌握有理数的分类、相反数和绝对值的性质是解题的关键． 依据“有理数的概念”、“有理数无最小、最大值”、“相反数的定义”、“绝对值的性质”，逐一分析每个选项． 【详解】解：∵有理数包括正有理数、负有理数和零，∴错误； ∵有理数没有最小值，例如存在负有理数比小，∴错误； ∵相反数要求符号相反且绝对值相等，数轴上原点两侧的数不一定满足该条件，∴错误； ∵绝对值的定义：（当），（当），∴时，，即非负数，∴正确． 故选：． 题型十二 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】运用两个负数比较大小的法则：绝对值大的负数反而小，先计算两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可判断原数的大小关系． 【详解】解：，，且， 则． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）有理数0，，，1中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 题型十三 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）手机导航中常用“”（交通信息频道）来实时反映路况拥堵情况．通常用“”到“3”之间的整数表示，数值越小表示越拥堵．以下是某城市四个路段在早高峰时的值：甲：，乙：1，丙：，丁：0．则最拥堵的路段是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据值的定义，数值越小表示越拥堵，直接比较四个路段的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵数值越小表示越拥堵， ∴最拥堵的路段是丙， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）下列四个海拔中，最低的是（   ） A．0米 B．米 C．米 D．1米 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解题． 【详解】解：， ∴米最低， 故选：C． 题型十四 有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在数轴上从左到右有点A，B，C，D，其中点为原点，A，D所对应的数分别为，如图所示． (1)请在图中标出点C的位置； (2)点B为AD的中点，请直接写出点所对应的数；若在数轴上另取点，且，两点间的距离是7，求A，B，C，D，E所对应数的和． 【答案】(1)见详解 (2)点表示的数为；或 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，有理数加法计算，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意在数轴上表示即可； （2）先求出点B表示的数，然后分两种情况，先求出点E表示的数，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵A，D所对应的数分别为， ∴， ， 故每格为2个单位长度， 故点C在数轴表示如下所示： （2）解：∵点为的中点， ∴点表示的数为， 当点在点右侧时，∵两点间的距离是 7 ， ∴点表示的数为， ， ∴对应的数的和为； 当点在点左侧时，∵两点间的距离是 7 ， ∴点表示的数为， ， ∴对应的数的和为， 综上，对应的数的和为或． 【变式训练】（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键． 根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型十五 有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要根据运算法则，先处理括号和负号，然后进行计算． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可求解． （2）通过组合带分数和小数部分简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十六 有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）某种速冻水饺的储藏温度是，四个冷藏室的温度如下，则不适合储藏此水饺的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用．根据正负数的意义求出适合储藏此种水饺的温度范围即可得到答案． 【详解】解：， ∴适合储藏此种水饺的温度要大于等于，小于等于， ∴四个选项中只有不适合储藏此种水饺， 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·四川广安·期末）2025年4月7日是世界卫生日，主题为“健康起点，希望未来”，小亮决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，某天他从家出发，沿着家门口东西方向笔直的道路开始跑步（家到道路的距离忽略不计），如果规定向东跑步的米数记为正数，向西跑步的米数记为负数．当天小亮的跑步记录（单位：m）如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 假设小亮在同一次跑步记录下是单向行驶． (1)跑步结束时小亮距离家多远？ (2)在第几次记录时小亮距离家最远？ (3)若跑步平均每千米消耗60千卡热量，则小亮跑步共消耗多少千卡热量？ 【答案】(1)跑步结束时小亮距离家100； (2)第五次记录时小亮距离家最远； (3)小亮跑步共消耗246千卡热量． 【分析】本题考查了正负数和数轴，有理数的加减运算、有理数的应用，掌握有理数加减法的计算法则，能够理解正负数的含义是解题的关键． （1）将七次跑步记录相加即可； （2）第一次小亮距家400 ，第一次跑步记录加第二次跑步记录为小亮第二次距家的米数，然后，用结果加第三次跑步记录得数为第三次小亮距家的米数，以此类推，最后，结果的绝对值作比较即可； （3）将七次跑步记录的绝对值相加，结果变成千米，然后乘60即可． 【详解】（1）解： 答：跑步结束时小亮距离家100； （2）解：第一次记录时距离家：； 第二次记录时距离家：； 第三次记录时距离家：； 第四次记录时距离家：； 第五次记录时距离家：； 第六次记录时距离家：； 第七次记录时距离家：． ， ∴第五次记录时小亮距离家最远； （3）解：， ∵， ∴(千卡) ． 答：小亮跑步共消耗246千卡热量． 题型十七 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·广西百色·期末）如图，数轴上点，表示的数互为相反数．若点表示的数为，点在点的右侧，则点到原点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，数轴上点到原点的距离，掌握相反数的定义是解题关键． 先根据相反数的定义求出点表示的数，再计算该数的绝对值，即为点到原点的距离． 【详解】解：点，表示的数互为相反数，点表示的数为， 点表示的数为， 点到原点的距离为． 故选：． 【变式训练】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图，数轴上每格表示1个单位长度．若，两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了相反数，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数． 首先根据，两点表示的两个数互为相反数和，两点之间的距离求出点A表示的数为，点B表示的数为3，然后根据点C的位置求解即可． 【详解】解：∵，两点表示的两个数互为相反数， ∴点A表示的数为，点B表示的数为3， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 题型十八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘除法则计算即可； （2）先算括号，再算除法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·期末）请仔细阅读下面的计算过程，并解答问题． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)解答过程从第__________开始出错； (2)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算．原式先计算括号中的运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】（1）解：有错；解答过程从第二步开始出错，原因是同级运算中，没按从左到右的顺序进行计算． 故答案为：二； （2）解： ． 题型十九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南湘潭·阶段检测）计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解； （2）逆用乘法运算律简算即可； （3）根据去括号法则先去掉括号，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数乘法分配律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·河南周口·期末）定义新运算：，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，将对应数值代入给定的运算公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵定义新运算 ∴ 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”．下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多_____单； (2)求该外卖小哥这一周一共送餐多少单？ (3)外卖小哥送单补贴的方案如下：每天送单量不超过40单，每单补贴4元；超过40单，该天所有单每单补贴6元．该外卖小哥这一周收入多少元？ 【答案】(1)21 (2)该外卖小哥这一周一共送餐301单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1598元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正负数的实际意义以及有理数混合运算法则． （1）根据正负数的实际意义以及有理数的减法法则，用周四送餐量减去周五送餐量进行计算即可； （2）根据题意，列出算式，利用有理数的混合运算法则进行计算即可； （3）根据题意，列出算式，利用有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多（单）， 故答案为：21； （2）解： （单）， 答：该外卖小哥这一周一共送餐301单； （3）解： （元）． 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1598元． 【变式训练】（25-26七年级上·河南开封·期末）外卖小哥小张某天中午两个小时内骑电动车在东西走向的中山路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．具体行程（单位：）的记录如下：． (1)当将最后一个外卖送到目的地时，小张距出发地点的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，通常每天除了中午的两个小时送餐工作，晚饭时间还有两个小时的送餐，送餐路程和中午基本相同，另外，小张每天往返家等其他的路程大概是，请问：在该电动车满电而途中不再充电的情况下，小张是否可以完成一天的行程？请说明理由． 【答案】(1) (2)小张不能完成一天的行程，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，有理数加法的应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把所给的行程记录相加，所得结果的绝对值即为小张距出发地的距离； （2）求出小张的总路程，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：， 答：当将最后一个外卖送到目的地时，小张距出发地点的距离为； （2）解：小张不能完成一天的行程，理由如下： ， ∵， ∴小张不能完成一天的行程； 题型二十二 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值．_________，_________，_________； (2)点为数轴上一动点，现以点为折点，将数轴向右对折．若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，有理数的相关概念，求一个数的绝对值，两点之间的距离以及对折点表示的数，解题的关键是掌握相关的概念和数形结合的思想． （1）根据有理数的定义，相反数的定义和求一个数的绝对值进行求解即可； （2）根据对折的性质，求出折点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵b是a的相反数， ∴； ∵，且， ∴； 故答案为：； （2）解：根据对折的性质可得， 点P代表的数为． 【变式训练】（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，在一条可以折叠的数轴上，点、、表示的数分别是，，．以点为折点，将此数轴向右对折．若点与点重合，则（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．1012 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点的距离与点表示的数的运算关系是解答的关键．先根据A、C表示的数求得的长，再由折叠后点与点重合，求得的长，进而可确定点B表示的数． 【详解】解：，C表示的数分别是，， ， ∵以点为折点，将此数轴向右对折,点与点重合， ， ∴B点表示的数是， 故选：A． 题型二十三 乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知与互为相反数． (1)求a和b的值： (2)求下式的值：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值和平方的非负性、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相反数的定义得到，利用非负数的性质得到，，即可求出a和b的值； （2）代入，到代数式，再利用裂项求和的方法简便计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：当，时， 原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）下列说法中：①一定是负数：②一定是正数；③有理数不是整数就是分数；④绝对值等于它本身的数只有0；⑤互为相反数的两个数的绝对值相等；⑥若，则，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的定义、有理数的分类、绝对值、相反数、乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正负数的定义、有理数的分类、绝对值、相反数、乘方等知识点，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：当时，，所以不一定是负数，故①错误； 当时，，所以不一定是正数，故②错误； 有理数不是整数就是分数，故③正确； 绝对值等于它本身的数是非负数，不是只有0，故④错误； 互为相反数的两个数的绝对值相等，故⑤正确； 若，则或，故⑥错误； ∴正确的个数是2个． 故选：B． 题型二十四 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均用水量的四分之一，我们必须节约用水．若每人每天浪费水升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（   ）升． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法有关知识．首先算出100万，再利用科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将100万，用科学记数法表示为：． 故选：D． 【变式训练】2022年6月13日，由四川省文物考古研究院和三星堆研究院、三星堆博物馆联合主办的“考古中国”重要项目——三星堆遗址考古发掘阶段性成果新闻通气会在三星堆博物馆举行，会上发布三星堆遗址祭祀区考古工作阶段性重大成果：6座坑共计出土编号文物近13000件．将数据13000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示13000，应记作1.3×104． 故选：C． 题型二十五 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级上·广西梧州·期末）用科学记数法表示的数是，原来的数是（   ） A．20880 B．208800 C．2088000 D．20880000 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，利用科学记数法写出原数是解题的关键． 利用科学记数法写出原数进行计算即可． 【详解】∵ = ， 故选： D ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期末）一个整数用科学记数法表示为，则原数为（　　） A．80100 B．801000 C．8010 D．8010000 【答案】D 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数．将科学记数法表示的数（其中，且n为正整数）还原为原数需把小数点向右移动n位即可． 【详解】解：． 故选：D 题型二十六 算"24"点 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【答案】（本题答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算．解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 根据题意，抽到的四个数为：，，，，然后写出一个结果为的算式即可． 【详解】解：由题意可得， 抽到的四个数为：，，，， ， 凑成所列的算式是， 故答案为：本题答案不唯一． 【变式训练】（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于的整数进行加减乘除混合运算（每个数都用，且只用一次），使其结果等于．现有四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意写出算式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：运算如下： ①； ②； ③． 题型二十七 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)22 (2)10 (3) (4)39 【分析】（1）去括号依次加减即可； （2）先将除法化为乘法，再计算即可； （3）利用分配律进行简便计算即可； （4）先计算平方、乘法、绝对值，再相加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型二十八 求一个数的近似数 【典例精讲】（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【答案】 【分析】精确到即保留两位小数，需观察千分位上的数字，依据四舍五入法进行取舍即可． 【详解】解：精确到即保留两位小数，观察的千分位数字为7，因为，根据四舍五入法，向百分位进1，百分位上的5加1后变为6，所以． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）自然常数精确到0.01的近似数是______． 【答案】2.72 【分析】此题考查了近似数，根据四舍五入进行解答即可． 【详解】解：，精确到0.01即保留两位小数，第三位小数是8，由于，向百分位进一，百分位由1变为2，故结果为2.72, 故答案为：2.72． 题型二十九 求近似数的精确度 【典例精讲】（25-26七年级上·青海西宁·期中）近似数，精确到__________位. 【答案】百分 【分析】本题考查了求近似数的精确度，掌握精确度的定义是解题的关键．根据近似数的精确度取决于最后一位数字所在的数位回答即可． 【详解】解：近似数中，数字0位于百分位，因此精确到百分位． 故答案为：百分． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）港珠澳大桥自开通以来，充分助力粤港澳大湾区深度融合，其主桥长约千米，近似数千米精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数的最后一位数字6位于十分位，因此精确到十分位． 【详解】解：∵ 近似数的最后一位数字6在十分位上， ∴ 它精确到十分位． 故选：A． 题型三十 近似数推断取值范围 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某同学测量茶杯口的直径长度说大约是，那么下列给出的直径的实际数据不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入是解题的关键． 先根据四舍五入确定实际直径x应满足的取值范围，然后再判断即可． 【详解】解：∵ 近似值是通过四舍五入到小数点后一位得到的，   ∴ 实际直径x应满足．   ∴C选项不可能，符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）已知是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是，这个两位小数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要考虑是一个两位数的近似数，有两种情况∶“五入”得到的最小是，”四舍”得到的最大是，由此解答问题即可． 此题考查了近似数，取一个数的近似数，有两种情况∶“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 【详解】 解：∵是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是， ∴这个两位小数最小是；最大是； ∴这个两位小数的取值范围是， 故选：B． 【真题演练1】（2025·陕西安康·中考真题）如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法．根据数轴上点A、B、C的位置得出，结合得出，或，再结合可得出原点的位置在线段上． 【详解】解：∵，， ∴，或， ∵， ∴， ∴，， ∴原点的位置点与点之间． 故选：D． 【真题演练2】（2025·浙江金华·中考真题）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按，，，，，循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当输入的的值为2时， 第1次输出的结果是1； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； ， 由此可见，从第2次输出的结果开始按，，，，，循环， 又因为余2， 所以第2025次输出的结果是． 故选：D． 【真题演练3】（2025·安徽宿州·中考真题）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查数字规律，通过计算的个位数字，发现其规律为以1、3、7、5每4个循环一次，根据2025除以4的余数，可确定的个位数字． 【详解】解：，，，，，… 可以发现：个位数字依次为1、3、7、5，每4个循环一次， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为1． 故答案为：1． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和新定义问题，理解定义，通过构造图形表示是解题的关键． 构造面积为1的正方形，表示出即可求解． 【详解】解：如图，构造面积为1的正方形， 由图可知：， ∵， ∴， 故答案为1． 【真题演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”．下面各数中，不是“完全数”的是（    ） A．6 B．28 C．35 D．496 【答案】C 【分析】根据“完全数”的定义，找出各选项中的数除本身外的所有因数，计算这些因数的和，判断和是否等于原数，进而确定不是完全数的选项． 【详解】解：∵6的因数（本身除外）为1、2、3，， ∴6是完全数； ∵28的因数（本身除外）为1、2、4、7、14，， ∴28是完全数； ∵35的因数（本身除外）为1、5、7，， ∴35不是完全数； ∵496的因数（本身除外）为1、2、4、8、16、31、62、124、248， ∴496是完全数； 综上，不是“完全数”的是35． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图 根据数轴可得，， ∴，． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法运算，乘法运算，减法运算，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴得，， ∴，①符合题意， ，②不符合题意， ，③符合题意， ，④不符合题意， 综上，①③符合题意； 故选：D． 4．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如果，那么“”内的运算符号为_____（从“，，，”四种运算符号中选择一种填入）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算出的结果，再根据题目中的式子，即可得到“□”内的运算符号． 【详解】解：∵ ， ， ∴“□”内的运算符号为， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）计算＝_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：. 6．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 7．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级上·山西临汾·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)－4 (2)－14 【分析】（1）先把有理数的减法转化为加法，然后利用加法交换律和结合律进行计算即可解答； （2）先进行乘方运算、绝对值，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘除法，再计算加减即可； （2）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等．说明见解析 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）解∶ 与的值不相等 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）观察下列数字规律 2          8  32        128     则第8行第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律等知识，考查了乘方运算，有理数的加法等知识，发现数字变化规律是解题关键．观察数字，得到第n个数字可以表示为．所以第k行有个数，从而得到第8行第10个数为第个数，把代入，即可求解． 【详解】解：由题意得 这些数字由上往下依次为 ， 所以第n个数字可以表示为． 因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数， 所以第k行有个数， 所以到第8行第10个数共有个数， 当时，． 故选：A 2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1．现有密文，则对应的最终明文是（   ） A．7 B．5 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算得出从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环是解题的关键． 根据所给破译的方式，依次求出每次破译的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 密文第1次破译得4， 第2次破译得9， 第3次破译得2， 第4次破译得7， 第5次破译得0， 第6次破译得5， 第7次破译得8， 第8次破译得3， 第9次破译得6， 第10次破译得1， 第11次破译得4， ， 由此可见，从第1次破译的结果开始按4，9，2，7，0，5，8，3，6，1循环． 因为， 所以第2025次破译得0． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期中）有理数、在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与有理数在数轴上的大小比较，有理数四则运算，绝对值的意义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据数轴可得：，根据相关定义、法则依次判断各个式子即可得． 【详解】解：由数轴可知：，到原点的距离小于到原点的距离， ∴①、②正确， ∵因为、异号，故，， ∴③、④正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴⑤错误， ∵， ∴⑥错误， ∴结论正确的有①②③④． 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】39 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的加减混合运算，先计算原式的正确结果，与错误结果比较得出差值，根据差值判断写错的符号类型及对应的数字，从而确定写错的运算符号位置． 【详解】解：由题知， 因为，且算错的结果为30， 则， 所以是将偶数前面的“-”错写成了“+”． 又因为， 所以数字前面的运算符号为第个运算符号，故写错的是第个运算符号． 故答案为：39． 5．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）在数轴上A、B、C三点表示的数分别是、、，是平方等于本身的数，是倒数等于本身的负数，且，点到、的距离和是，则点表示的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了倒数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识点．先求出，根据点到、的距离和是，分类讨论列出绝对值方程求解，再根据进行验证即可． 【详解】解：∵是平方等于本身的数，是倒数等于本身的负数， ∴或，， 当，时，由题意得，， 当时，则，解得， 此时，符合题意； 当时，，不成立； 当时，，解得， ，不符合题意； 当，时，由题意得，， 当时，，解得， 此时，符合题意 当时，，不成立； 当时，，解得， 此时，不符合题意， 综上：点表示的数是或， 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·重庆·期中）规定：一个四位正整数M，若M各个数位上的数字互不相同，且均不为0，且个位比百位上的数字小1，十位比千位上的数字小1，则称M为“智慧数”．规定：四位正整数的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，记；规定N的千位数字和十位数字组成的两位数为，百位数字和个位数字组成的两位数为，记．规定，求________．若四位数A、B均为“智慧数”，A的十位数字为5，且，B的十位数字为，B的百位数字为y，当能被6整除时，则B的最大值为________． 【答案】 6958 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意并正确计算是解题的关键． 直接根据“智慧数”的定义即可求出，的值，然后代入计算即可求解的值；设的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据“智慧数”的定义求出和，在求出的值，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：由题意得：， 即：，，， ，，， 将，代入， 得：， 根据“智慧数”定义，，， 即：， ，，， ，， ， ， ，即， ∵各个数位上的数字互不相同，时，，， ∴，不符合题意， ∴或， 设的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则，，， ，，， ，，， ， 能被6整除， 能被6整除， 当有最大值时，取最大值且满足：，，， 当时：， ∵能被6整除， ∴， 当时，即时， 要使最大，则最大， ∴要最大为， ∴，，，即：； 当时，即时，此时没有符合条件的值； 所以的最大值为 故答案为：；． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 【答案】(1)1，2 (2)9 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上数表示的点到数2025表示的点的距离，当时，取得最小值； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示数的点到数表示的点以及到数2025表示的点的距离和， ∴当时，的值最小为； 同理，当时，取得最小值为； 故答案为：1，2； （2）∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为． 8．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 9．（25-26七年级上·四川资阳·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足，． (1) ； ； (2)在（1）的条件下，若点P 为数轴上一动点，其对应的数为 x ，则代数式有最 （填“大 ”或“小 ”）值为 ； (3)点 P 从点A 处以 1 个单位/秒的速度向左运动，同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度向左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为t（秒），求第几秒时，点P，Q之间的距离是点C、Q之间的距离的2倍？ 【答案】(1)，9 (2)小，12 (3)第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）根据折叠点为点A与点C的中点，列式求解即可． （3）先求得线段的长，然后分情况计算：当时，当时，分别表示出点P表示的数，点Q表示的数，然后根据分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，9； （2）∵，， ∴， ∴代数式表示点P到的距离与点P到9的距离之和， ∴当点P在和9之间时有最小值为， 故答案为：小，12； （3）∵， ∴， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ， ∵， ∴， ∴当时， 解得：； 当时， 解得：， 综上，第秒，第秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍． 10．（25-26七年级上·全国·期中）已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull